届一轮复习北师大版第一讲 空间几何体单元测试.docx
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届一轮复习北师大版第一讲空间几何体单元测试
限时规范训练
A组——高考热点强化练
一、选择题
1．（2016·高考全国卷Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）
A．17πB．18π
C．20πD．28π
解析：
由三视图知该几何体为球去掉了所剩的几何体（如图），设球的半径为R，则×πR3＝，故R＝2，从而它的表面积S＝×4πR2＋×πR2＝17π.故选A.
答案：
A
2．（2016·高考天津卷）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
解析：
由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．
该几何体的侧视图为选项B.故选B.
答案：
B
3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．8－B．8－
C．8－πD．8－2π
解析：
由三视图可知，该几何体的体积是一个四棱柱的体积减去半个圆柱的体积，
即V＝2×2×2－×π×12×2＝8－π.故选C.
答案：
C
4．已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为（ ）
A.B．2
C.D．3
解析：
由题意知，该三棱柱可以看作是长方体的一部分，且长方体同一顶点处的三条棱长分别为3、4、12，又∵三棱柱的外接球即为长方体的外接球，（2R）2＝32＋42＋122，∴R＝.故选C.
答案：
C
5．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，其中AC＝6，
BC＝8，∠ACB＝90°，则AB＝10.要使该石材加工成的球的半径最大，只需球与直三棱柱的三个侧面都相切，则半径r等于直角三角形ABC的内切圆半径，即r＝＝2，故能得到的最大球的半径为2，故选B.
答案：
B
6．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）
A．4，8B．4，
C．4（＋1），D．8,8
解析：
由题意知该四棱锥为正四棱锥，其底面边长为2，正四棱锥的高为2，故侧面三角形的高为.所以该四棱锥的侧面积为4××2×＝4，体积为×22×2＝，故答案B.
答案：
B
7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（ ）
A．4B．5
C．3D．3
答案：
D
8．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．12B．6
C．4D．2
解析：
该几何体为四棱锥PABCD，其中PA⊥平面ABCD，如图，
则该几何体的体积为V＝×2××（2＋1）×2＝2.
答案：
D
9．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）
A．34＋6B．6＋6＋4
C．6＋6＋4D．17＋6
解析：
由三视图得该几何体的直观图如图，其中，ABCD为矩形，AD＝6，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰三角形，且此四棱锥的高为4，故该几何体的表面积等于6×2＋2××2×5＋×6×2＋×6×4＝34＋6，故选A.
答案：
A
10．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（ ）
A．2B.
C.D．3
解析：
由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为×（1＋2）×2＝3，四棱锥的高为x，因为该几何体的体积为3，所以×3x＝3，解得x＝3，故选D.
答案：
D
11．已知某几何体的三视图（单位：
cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．108cm3B．100cm3
C．92cm3D．84cm3
解析：
由三视图可知原几何体是一个长、宽、高分别为6,3,6的长方体切去一个三棱锥，因此该几何体的体积＝6×3×6－×4××4×3＝108－8＝100（cm3），故选B.
答案：
B
12．如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A．5＋B．5＋2
C．4＋2D．4＋2
解析：
由三视图可知该几何体是一个六面体ABCDEFG，其中底面ABCD为正方形，AF∥CG.且AF＝CG＝1，DE∥AF，且DE＝2AF，易计算出EF＝BF＝BG＝EG＝，所以四边形EFBG为菱形，其对角线长分别为和，故该几何体的表面积S＝1×1＋×1×1×2＋×（1＋2）×1×2＋××＝5＋，
故选A.
答案：
A
二、填空题
13．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为________．
解析：
该几何体是一个单位正方体被截去了一部分，其直观图如图所示，其体积为1－××1×1×1＝.
答案：
14．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________．
解析：
由题可知该几何体由两个相同的半圆柱和一个长方体拼接而成，
因此该几何体的体积V＝1×2×4＋π×12×2＝8＋2π.
答案：
8＋2π
15．如图所示，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC1＝2.若用平行于三棱柱A1B1C1ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为______．
解析：
由题意知，拼接后的长方体有两种情形：
一是长方体的高为2，底面是边长为2的正方形；二是长方体的高为2，底面是长为4，宽为1的矩形．所以其表面积分别为24,28，故长方体表面积的最小值为24.
答案：
24
16．（2016·高考四川卷）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
解析：
在长方体（长为2，宽、高均为1）中作出此三棱锥，如图所示，
则VPABC＝××2×1×1＝.
答案：
B组——12＋4高考提速练
一、选择题
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．6B．3
C．2D．3
解析：
由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以几何体的体积V＝S·h＝×3＝3.
答案：
B
2．某个几何体的三视图如图所示，其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A．92＋24πB．82＋24π
C．92＋14πD．82＋14π
解析：
依题意，题中的几何体是在一个长方体的上表面放置了半个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是5、4、4，圆柱的底面半径是2，高是5，因此该几何体的表面积等于3×（4×5）＋2×（4×4）＋π×22＋×（2π×2）×5＝92＋14π，故选C.
答案：
C
3．如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为（ ）
A．1∶1B．2∶1
C．2∶3D．3∶2
解析：
由题意可得正视图的面积等于矩形ADD1A1面积的，侧视图的面积等于矩形CDD1C1面积的，
又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等，即正视图与侧视图的面积之比是1∶1，故选A.
答案：
A
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．8＋2B．8＋8
C．12＋4D．16＋4
解析：
该几何体是一个四棱柱，其直观图如图所示，其中上、下、左、右四个面是边长为2的正方形，前、后两个面均是底边长为2，高为的平行四边形，故其表面积为4×2×2＋2×2×＝16＋4.
答案：
D
5．已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1和平面A1BCD1的距离是（ ）
A．5B.
C.D．8
解析：
∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面A1BCD1，BC⊂平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.
从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．过点B1作B1E⊥A1B于E点（图略）．∵BC⊥平面A1ABB1，
且B1E⊂平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，即线段B1E的长即为所求．
在Rt△A1B1B中，B1E＝＝＝，因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离是，故选C.
答案：
C
6．在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为10,5,4，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．141πB．45π
C．3πD．24π
解析：
三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，
长方体的对角线就是球的直径，
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，由题意得，ab＝20，ac＝10，bc＝8，
解得，a＝5，b＝4，c＝2，所以球的直径为＝3，
它的半径为，球的表面积为4π·2＝45π.故选B.
答案：
B
7．如图，圆锥的底面直径AB＝2，母线长VA＝3，点C在母线VB上，且VC＝1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
把圆锥的半侧面展开，侧面展开图中，＝π，半径r＝3，故圆心角∠AVB＝，如图，
在△VAC中，根据余弦定理得AC＝＝，此即为蚂蚁爬行的最短距离．
答案：
B
8．已知长方体ABCDA1B1C1D1的各个顶点都在表面积为16π的球面上，且AB＝AD，AA1＝2AD，则四棱锥D1ABCD的体积为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
设AD＝x，长方体的外接球的半径为R，则AD2＋AB2＋AA＝（2R）2，又4πR2＝16π，
∴x2＋（x）2＋（2x）2＝4R2＝16，解得x＝，∴四棱锥D1ABCD的体积
V＝AA1·S四边形ABCD＝×2×××＝.故选B.
答案：
B
9．已知Rt△ABC，其三边长分别为a，b，c（a>b>c）．分别以三角形的边a，b，c所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S1，S2，S3和V1，V2，V3.则它们的关系为（ ）
A．S1>S2>S3，V1>V2>V3B．S1C．S1>S2>S3，V1＝V2＝V3D．S1解析：
S1＝π··（b＋c），V1＝π2a，S2＝πac＋πc2，V2＝πbc2，S3＝πab＋πb2，V3＝πb2c.由a>b>c，
可得S1答案：
B
10．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的半径为（ ）
A.B.
C．2D.
解析：
球心O一定在与平面BCD垂直且过底面正三角形中心O′的直线上，也在平面ADO中AD的垂直平分线上，如图．OE＝O′D＝××＝1，DE＝AD＝×2×＝，
故所求外接球的半径r＝＝.
答案：
B
11．已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）
A.B．8π
C.D.
解析：
∵AB＝BC＝，AC＝2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圆的圆心为边AC的中点O1，如图所示，
若使四面体ABCD体积取得最大值只需使点D到平面ABC的距离最大，又O
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