成考专升本高数公式大全.docx
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高等数学公式
（tgx）=sec2x
（ctgx）-_csc2x（secx）=secxtgx（cscx）=-cscxctgx（ax）•-axIna
1
（logax）
xlna
（arcsinx）
1
1_x2
（arccosx）=_
1
（arctgx）十
（arcctgx）=
1
1x2
导数公式：
基本积分表:
Jtgxdx=—Incosx+C
Jctgxdx=lnsinx+CJsecxdx=lnsecx+tgx+CJcscxdx=lncscx—ctgx+C
1x
arctgC
aa
丄
2a
C
2aa-x
.x
=arcsin，
a
dx=seSxdx=tgxCcosx
dx2
—=cscxdx=-ctgxCsinx
secxtgxdx二secxC
dx
J2,2
ax
dx
J~2
x-a
dx
J~2
a-x
「dx
a
C
cscxctgxdx二-cscxC
x
axdx旦CIna
shxdx二chxC
2
-x
chxdx二shxC
Pdx
b:
~~2
.x二a
22
=ln（xx-a）C
n
2
=sinnxdx二cos
00
」n-11
xdxIn2
n
2
[Jx2+a2dx=^lx2+a2+Jn（x+Px2+a2）+C•22
i,2
Nx2_a2dx=£x2_a2_乞'22
i2
22.x22a・X—
a-xdxa-xarcsinC
22a
In
lnx+lx2—a2+C
三角函数的有理式积分:
2
2u1-u,x
sinx=牙,cosx=2,u=tg—,
1+u1+u2
dx
2du
一些初等函数:
两个重要极
限:
x.x
双曲正弦：
shx=e—
2
X「_x
双曲余弦：
chx丄—
2
双曲正切:
thx二坐£叮
chxe+earshx二ln（xx21）
archx=ln（xx2-1）
sinxlim
x刃x
=1
lim（1」）x=e=2.718281828459045.Jx
arthx=」ln
2
1x
1-x
三角函数公式:
•诱导公式：
\函数\
角A\
sin
cos
tg
ctg
-a
-sina
COsa
-tga
-Ctga
90°a
COSa
sina
ctga
tga
90°a
COSa
-sina
-Ctga
；-tga
180°a
sina
-COSa
-tga
-Ctga
180°a
-sina
-COSa
tga
Ctga
270°a
-COSa
-sina
Ctga
tga
270°+a
-COSa
sina
-Ctga
；-tga
360°a
-sina
COSa
-tga
-Ctga
360°+a
sina
COSa
tga
Ctga
Rot+Pa-P
sin：
sin：
=2sincos
22
sin（'二l：
）=sin_：
icosl-：
二cosrsin:
cos（川二l：
）=cos_：
icos「"sin_：
：
sin:
tg：
-tg'■
tg（、・二l'）二--
1+tgatgP
冉ctgactgP+1
ctg（.m）：
Ra+Pa-P
sin-sin：
=2cossin
22
cost'cos--2cos
a+P
2
ctgL-ctg-■
Ra+Pa-P
cos：
-cos--2sinsin
22
-和差角公式:
-和差化积
公式:
•倍角公式:
sin2：
-2sin：
cos：
cos2：
=2cos2：
-1=1_2sin2匚-cos2?
-sin2：
2
cctga-1
ctg2：
2ctga
x-2tga
tg2—
1-tga
sin3：
=3sin：
--4sin3：
3
cos3：
=4cos：
-3cos：
tg3：
口
3tga-tga
1-3tg2：
-半角公式:
a：
1—cosa
sin.
2.2
丄:
-1—COS_：
i1-cos：
tg———
2Jcos：
sin:
sin-：
：
1cos二
a‘1+cosa
cos—二
2'■2
1cos：
1cosjsin二
ctg一
21—cos〉sinj1-cost
•正弦定理:
a
b
c
2R
sinA
sinB
sinC
•余弦定理：
c2二a2b2—2abcosC
-反三角函数性质:
ji
arcsinx=arccosx
2
ji
arctgx=——arcctgx
2
高阶导数公式一一莱布尼兹（Leibniz）公式:
n
（uv）⑴八Wy
k=0
=u（n）v・nu（Zv^^u^v•…mn"）（n-k•%+）•.■uv（n）2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）-f（a）二f（）（b-a）
柯西中值定理：
如血二山
F（b）-F（a）F&
当F（x）二x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：
ds=J1+yQdx,其中y"=tgo（
平均曲率：
K=「」..「•：
从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；.is：
MM弧长。
M点的曲率:
Aa
JdaL
y!
As
ds；（T
V）3
5
直线：
K=0;
半径为a的圆:
K=1
a
定积分的近似计算:
b
矩形法：
f（x）
a
b
梯形法：
f（x）
a
b
抛物线法：
f（x）
b-az、
（yo%ynJ
n
罟［如。
yn）"山
b-a
aFyoyn）2（y2y4m35
定积分应用相关公式:
引力：
F二为引力系数
r
b
函数的平均值：
y—f（x）dx
b—aa
均方根:
/-a
b
.f2（t）dt
a
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离：
d=MrM?
=^（X2—xj2+（y2—yj2+（z2—zj2向量在轴上的投影：
p门uAB=ABcos®,®是AB与u轴的夹角。
Prju（ara2）=PrjarPrja2
ab=|abcos日=axbx+ayby+azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角：
axbx+aybypbzcos二
■222/,2,2,2
a*ayazbxbybz
ijc=axb=axay
bxby
k
az,c=absin0例：
线速度:
bz
ax
向量的混合积:
[abc]=（ab）c=
bx
Cx
ay
by
Cy
az
bzua^b，ccosa,a为锐角时,
Cz
代表平行六面体的体积
平面的方程：
1、点法式:
A（x-x。
）B（y-y。
）C（z-z。
）=0,其中n二{A,B,C},“。
仏』％
2、一般方程：
AxByCzD=0
3、截距世方程：
xy
abc
平面外任意一点到该平面的距离：
d」Axo+By°+Czo十D
Ja2+b2+c2
"x=x0+mt
空间直线的方程：
—_=—=—=t,其中s={m,n,p};参数方程：
y=y0+nt
mnp
、z=%+pt
二次曲面：
222
1、椭球面:
务与务=1
abc
22
2、抛物面：
冬•匕二乙（p,q同号）
P2q八
3、双曲面：
222
单叶双曲面：
务•占-令=1
abc
222
双叶双曲面：
—生=1（马鞍面）
a2b2c2
多元函数微分法及应用
Z」fzu；:
u：
：
u」
全微分：
dz=—dx+—dydu=—dx+—dy+—dzexdy£xdycz
全微分的近似计算：
zdz二fx（x,y）.：
xfy（x,y）y
多元复合函数的求导法：
dz；z
dt；:
u
.:
z
Z二f[u（t）,v（t）]
Z二f[u（x,y）,v（x,y）]
.u.z:
v
.tv.t
:
z；:
ujz；v
二-r4*-»
.x.u.x:
v:
x
当u=u（x,y）,v=v（x,y）时，
du
.:
u；:
u,
dxdy
:
x；y
dvdxdydxdy
隐函数的求导公式:
隐函数F（x，y）=0,齐卡
隐函数F（x,y,z）-0,—
ex
Fx
Fz
2
雪」（上）+上（_匕）包
dx；：
xFyjyFydx
:
zFy
yFz
隐函数方程组:
F（x，y，u，v）"
.G（x,y,u,v）=0
cF
cF
j/（F，G）=c（u,v）
du
瓦
Fu
Fv
cG
cG
Gu
Gv
.:
u:
v
:
u
1
——
：
：
（F,G）
:
v
1
二—
.x
J
：
：
（x,v）
:
x
J
-：
u
：
：
（F,G）
:
v
丄
:
y
J
：
：
（y,v）
:
y
J
：
：
（F,G）:
：
（u,x）f（F,G）
：
：
（u,y）
微分法在几何上的应用:
X_X。
_y_y°_z_Z0
飞（t。
）J（t。
）
'x=®（t）
空间曲线¥二（t）在点M（x0,y0,z0）处的切线方程:
z=；（t）
在点M处的法平面方程：
「（to）（x-X。
）宀（to）（y-y。
）亠心（to）（z-z。
）=0
若空间曲线方程为：
』F（x,y,z）=°,则切向量T={FyFz,FzFx,FxFy}
G（x,y,z）=0GyGzGzGxGxGy
曲面F（x,y,z）=。
上一点MdsysZ。
）,贝V：
1、过此点的法向量：
n二{Fx（x。
，『。
^。
疔丫伽小卫）^^。
』。
^）}
2、过此点的切平面方程:
Fx（x。
，丫。
忆。
）&-X。
）Fy（x。
，y°,z°）（y-y。
）Fz（x。
，丫。
^。
"-z。
）二。
3、过此点的法线方程:
x-x。
y_y。
z_z。
Fx（x。
，y。
，z。
）Fy（x。
，y°,z。
）FzEy^z。
）
向导数与梯度：
函数z二f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向I的方向导数为：
丄二丄cos-—sinclexcy
其中「为x轴到方向I的转角。
.•、f:
f—
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）ij
exby
f
它与方向导数的关系是：
一二gradf（x,y）e其中e=cos「・isin寸，为I方向上的a
单位向量。
.丄是gradf（x,y）在l上的投影。
.:
l
多元函数的极值及其求法：
设fx（x。
y。
）=fy（x。
y。
）=0,令：
fxx（x。
，y。
）=A,fxy（x。
，y。
）=B,fyy（X0,y°）=C
AC-B2皿寸,;人7（3。
）为极大值
小＞。
&。
，y0）为极小值
贝V：
AC-B2V。
时，无极值
AC-B2=。
时,不确定
L
重积分及其应用：
iif（x,y）dxdyf（rcosv,rsinv）rdrdv
DD■
JJxP（x,y）dcr
平面薄片的重心：
x=匹=丄
（x,y）d匚
D
平面薄片的转动惯量：
对于x轴lx=y2「（x,y）d二,
M..y「（x,y）d匚y且“
M|7P（x,y）dcr
D
对于y轴Iy=x2「（x,y）d二
DD
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a■0）的引力：
F={Fx,Fy,Fz},其中:
（x,y）xdcFz=-fa..3
D（x2y2a2）"
Fx=f..
D（x2
「（x,y）xdc
「（x,y）yd二
3，
y2a2尸
3，
D（x2y2a2尸
1+M+
1s
）
dxdy
曲面z二f（x,y）的面积A=
D
柱面坐标和球面坐标:
"x=rcosB
柱面坐标：
*y=rsin^,[|7f（x,y,z）dxdydz=JJJF（r,T,z）rdrdTdz,
z=z5Q
其中：
F（r,v,z）二f（rcosv,rsin）,z）
x=rsin:
cos
球面坐标：
*y=rsin®sin日,dv=rd®・rsin®dO，dr=r2sin®drd®d日z=rcos®
2二二r（：
，T
hif（x,y,z）dxdydz：
111F（r,：
^）r2sin:
drd:
d）-d-F（r,：
^）r2sin:
drQQ
1
重心：
xx?
dv,
M五
转动惯量：
Ix二（y2
1
y;?
dv,M门
z2”dv,Iy
000
1z-z「dv,
M门
!
!
!
（x2-z2）?
dv,
Q
其中M=x=?
dv
Q
（x2y2）「dv
Q
第一类曲线积分（对弧
设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：
丿
长的曲线积分）：
HI®心），则:
P
.f（x,y）ds「f[「（t）「（t）]：
2（tr'-2（t）dt（:
-<
L：
■
P）特殊情况：
*
x=t
T（t）
10
曲线积分:
格林公式：
（卫
D泳
:
P
）dxdy=:
PdxQdy
:
yl
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
设L的参数方程为/“⑴：
片屮（t）
P
P（x,y）dxQ（x,y）dy「{P［（t）,-（t）］「（t）Q［「（t）「⑴卜（t）}dt
L
两类曲线积分之间的关系：
Pdx•Qdy二（PcostnQcos一：
）ds其中〉和：
分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
:
P:
Q
）dxdy=-PdxQdy格林公式：
（一yLDx
当p=_y,Q=x,即：
2一兰=2时，得到D的面积：
A二dxdy=1xdy-ydxexcyD2L
平面上曲线积分与路径无关的条件：
1G是一个单连通区域；
2、P（x,y）,Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，且卫=—。
注意奇点，女口（0,0）,应excy
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
二元函数的全微分求积：
在2=-P时，PdxQdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中:
.x；:
y
（x,y）
u（x,y）二P（x,y）dxQ（x,y）dy,通常设xo=y0=0°
（x°,yo）
曲面积分：
对面积的曲面积分：
JJf（x,y,z）ds=JJf[x,y,z（x,y）]J+z：
（x,y）+z：
（x,y）dxdy
丈Dxy
对坐标的曲面积分:
iiP（x,y,z）dydzQ（x,y,z）dzdxR（x,y,z）dxdy,其中：
Z
R（x,y,z）dxdy：
iiRx,y,z（x,y）]dxdy,取曲面的上侧时取正号；
ZDxy
P（x,y,z）dydz二P[x（y,z）,y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号；
二：
Dyz
..Q（x,y,z）dzdx二Q[x,y（乙x）,z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。
':
二Dzx
两类曲面积分之间的关系：
PdydzQdzdxRdxdy=（Pcos：
Qcos：
Rcos）ds
ZZ
11
高斯公式:
iii（「「■）dv二PdydzQdzdxRdxdy11（Pcos一：
「Qcos：
Rcos）ds
x织辽、、
高斯公式的物理意义——通量与散度：
散度：
di^=—二2■—,即：
单位体积内所产生的流体质量，若div、•.：
：
：
0,则为消失
excycz
通量：
！
!
Ands=Ands=（Pcosx11Qcos：
Rcos）ds，
zzz
因此，高斯公式又可写成：
divAdv二1Ands
QZ
斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:
旋度：
rotA二
i
©
:
x
P
k-.:
ZR■J-:
yQ
cR
cQ
）dzd^（—-
-—）dxdy
=qPdx+
Qdy十
ex
ex
6
r
dydz
dzdx
dxdy
cosot
cosP
cos?
e
-■
-rr
c
-■
ex
dz
s
ex
dz
P
Q
R
P
Q
R
关的条件：
cRcQ
cP
cRcQ
cP
cy
cz
dz
1—
exex
询
空间曲线积分与路径无
Rdz
上式左端又可写成：
口
..（琶-马dydz（兰X:
y:
zz
等比数列：
+q+q2中…+q2=口-
1-q
（n1）n
向量场A沿有向闭曲线-的环流量：
PdxQdyRdz二-Atds
rr
常数项级数:
等差数列：
+2+3k+n=
2
调和级数：
1-■■-是发散的
23n
12
级数审敛法:
1正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：
Sd时，级数收敛
设：
P=limyur,贝时，级数发散
JP=1时，不确定
2、比值审敛法：
9<1时，级数收敛
设:
，贝IP>1时，级数发散
P=1时，不确定
3、定义法:
sn-U|•u2亠•亠un;limsn存在，贝叫攵敛；否则发散
n_
交错级数5-出U3•…（或【2-出•…,Un0）的审敛法莱布尼兹定理：
如果交错级数满足［imu=0,那么级数收敛且其和SW5,其余项rn的绝对值|rn^Un*Hn
绝对收敛与条件收敛:
（1）5U2亠亠Un…,其中Un为任意实数;
（2）5+吐|+出|+…+Un+…
如果
（2）收敛，则
（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;
如果
（2）发散，而
（1）收敛，则称
（1）为条件收敛级数。
调和级数：
1发散，而adL收敛；
nn
p二1时发散
p・1时收敛
13
幂级数:
23n,/|x£1时，收敛于
1+x+x+x+…+x+…L1—X
■|x_1时，发散
对于级数⑶a°亠a/-a2x2亠■亠anxn亠■，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
数轴上都收敛，则必存
在R，使｛x>R时发散，其中R称为收敛半径。
\x=R时不定
求收敛半径的方法：
设
an1
limn*a
其中a
an.勺是（3）的系数，则
—0时，rJ
P
—0时，Rz：
：
-•:
:
时，R=0
函数展开成幂级数:
函数展开成泰勒级数：
f（X）=f（X0）（X-X0）•f凹（X-X0）2•一（x-x0）n•…
2!
n!
余项：
Rn二
x0=0时即为麦克劳林公式：
f（x）二f（0）f（O）x—^^X2」©Xn…
2!
n!
（n1）/
f（）（X_X0）n1f（x）可以展开成泰勒级数的
（n+1）!
充要条件是：
limRn=0n:
.
一些函数展开成幂级数:
（1x）m=1mxXX
2!
n!
352n1
sinx=x—ZN—（—1）2」（—：
：
：
x：
：
：
）
3!
5!
（2n-1）!
（-1：
：
x：
：
1）
欧拉公式：
ix
ecosxisinx
三角级数：
ix丄-ixe+e
cosx=
2
ix-Jx
e—esinx=
14
辺a0乂
f（t）=A0'Ansin（ntn）—'（ancosnxbnsinnx）
n42n4
其中，a0二aAo，an二Ansinn,bn二Ancosn，，t=x。
正交性：
1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在［-二，二］
上的积分=0。
傅立叶级数:
a
f（x）0…二’（ancosnxbnsinnx）,周期=2二
2n二
・1K
an=—ff（x）cosnxdx（n=0,1,2…）
其中^f
1江
bn=—ff（x）sinnxdx（n=1,2,3…）
-J
132
62
111
22,2
234
11
+■
2
-（相加）
6
2■TT
-（相减）
12
2
an
二0,
S二一
f（x）sinnxdx
31
0
2
bn
=0,
an
f（x）cosnxdx
31
0
3242
正弦级数:
余弦级数:
n=1,2,3f（x）=、bnsinnx是奇函数
a
n=0,1,2…f（x）0ancosnx是偶函数
2
15
周期为2l的周期函数的傅立叶级数:
d2ydx2
P（x）dx
16
f（x）二匹、（ancosn-Xbnsin丄^）,周期二212n4ll
1\nnx
a*=-[f（x）cosdx（n=0,1,2”）
Il
其中＜丫1
1n双
bn=-Jf（
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