中考数学函数压轴题将军饮马问题的应用最短路径最小值问题专题训练docWord文件下载.docx
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下面我就几个例题来具体分析解决。
【典例探究】
（•梧州）如图,抛物线y=ax2+bx-4（aHO）与x轴交于A（4,0）、B（-1,0）两点，过点A的直线y二・x+4交抛物线于点C.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线AC上有一动点E,当点E在某个位置时，使ABDE的周长最小，求此时E点坐标；
（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A-C-B-D-A上运动吋，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；
若不存在，请说明理由.
【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先判断出周长最小时BE丄AC,即作点B关于直线AC的对称点F,连接DF,交AC于点E,联立方程组即可；
（3）三角形BDE是直角三角形时，由于BD>
BG,因此只有ZDBE二90°
或ZBDE二90°
两种情况，利用直线垂直求出点E坐标.
【解答】解：
（1）•・•抛物线y=ax2+bx-4（aHO）与x轴交于A（4,0）、B（-1,0）两点,
16a+4b-4=0
a~b-4二0
・・・严，
[b二_3
・••抛物线解析式为尸/・3%・4,
（2）如图1,
由
（1）得，抛物线解析式为y=x2-3x-4①,
・・・D（0,・4）,
•・•点C是直线y二・x+4②与抛物线的交点，
・••联立①②解得，（舍）或（X=_2,
[尸01尸6
AC（-2,6）,
VA（4,0）,
・•.直线AC解析式为y=-x+4,
•・•直线BF丄AC,且B（-1,0）,
・・・直线BF解析式为y=x+l,
设点F（m,m+1）,
AG（匹丄，时^）,
22
•・•点G在直线AC上,
-罗+4罟'
111=4,
・・・F（4,5）,
VD（0,-4）,
・•・直线DF解析式为y二2x・4,
4
・・•直线AC解析式为尸・x+4,
・・・直线DF和直线AC的交点E（上殳—）,
1313
（3）TBD二VI?
由
（2）有，点B到线段AC的距离为BG二丄BF二丄X5｛去宝2>
BD,
222
AZBED不可能是直角，
VB（・1,0）,D（0,・4）,
・•・直线BD解析式为y=・4x+4,
VABDE为直角三角形，
・••①ZBDE=90°
・・・BE丄BD交AC于B,
・・・直线BE解析式为y二丄x+丄，
44
•・•点E在直线AC：
y二・x+4的图象上，
・・・E（3,1）,
②ZBDE=90°
・・・BE丄BD交AC于D,
・・・直线BE的解析式为y二丄x・4,
•・・点E在抛物线y=x2・3x・4上，
・・・直线BE与抛物线的交点为（0,-4）和（丄色，-里），
416
・・.E（丄色,■里）,
即：
满足条件的点E的坐标为E（3,1）或（丄色，・里）.
【方法突破】
对于这种涉及求线段和的最小值问题或是求在运动过程中三角形的周长的最小的问题通常都属于将军饮马问题.
常见模型：
在直线同一侧有两个点A,B,在直线上找一点使得所找点与已知A,B两点距离和最小，通常是过其中一个点作已知直线的对称点，然后连接另一点，与直线的交点即为所求的点。
【学以致用】
1.如图，正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的
最小值是
2.如图,牧童在A处放牛，他的家在B处，1为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮-
饮水,饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短？
A.
•B
3.如图，点P为马厩,AB为草地边缘（下方为草地），CD为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草
地吃草，然后到河边饮水,最后冋到马厩.请帮他确定一条最短行走路线.
4.（•贺州）如图，矩形的边0A在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（10,8）,沿直线0D折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6,8）,抛物线y=ax2+bx+c经过0、A、E三点.
（2）求AD的长;
（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时，求点P的坐标.
（1）利用矩形的性质和B点的坐标可求出A点的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）设AD二x,利用折叠的性质可知DE=AD,在RtABDE中,利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得AD的长；
（3）由于0、A两点关于对称轴对称，所以连接0D,与对称轴的交点即为满足条件的点P,利用待定系数法可求得直线0D的解析式，再由抛物线解析式可求得对称轴方程，从而可求得P点坐标.
（1）・・•四边形ABCD是矩形,B（10,8）,
AA（10,0）,
乂抛物线经过A、E、0三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得
100a+10b+c=0
<
36a+6b+c=8，解得
.c二0
・・・抛物线的解析式为厂討爭
（2）由题意可知:
AD=DE,BE=10-6=4,AB=8,
设AD二x,则ED二x,BD=AB-AD=8-x,
在RtABDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2,即x2=42+（8-x）2,解得x=5,•••AD=5；
（3）・・・y二-丄x'
-丄°
x,
'
33
・•・其对称轴为x=5,
TA、0两点关于对称轴对称,
.\PA=PO,
当P、0、D三点在一条直线上时,PA+PD=P0+PD=0D,此吋Z\PAD的周长最小,
如图，连接0D交对称轴于点P,则该点即为满足条件的点P,
由
（2）可知D点的坐标为（10,5）,
设直线0D解析式为y=kx,把D点坐标代入nJ■得5二10k,解得k二丄，
2
直线0D解析式为y二丄x,
令x=5,可得y—,
・・・P点坐标为（5,§
）.
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质及方程思想.在
（2）中注意方程思想的应用，在（3）屮确定出满足条件的P点的位置是解题的关键•本题考查知识点虽然较多，但题目属于基础性的题目，难度不大.
5.如图，在矩形OABC中，己知A,C两点的坐标分别为A（4,0）,C（0,2）,D为0A的中点.设点P是ZAOC平分线上的一个动点（不与点0重合）.
（1）试证明：
无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，求P的坐标；
（3）已知E（1,-1）,当点P运动到何处时，APDE的周长最小？
求出此时点P的坐标和APDE的周长.
【分析】⑴由A（4,0）,C（0,2）,D为OA的中点,得到D点坐标为（2,0）,则0C=0D,而点P是ZAOC平分线上的一个动点（不与点0重合），根据角平分线的性质有
ZCOP二ZDOP二45°
，再根据三角形全等的判定方法易得厶POC^APOD,则PC-PD；
（2）过B作BP垂直ZA0C的平分线于P点，过P点作PN丄x轴于N,交BC于M点，0P交BC于H点，易得APH队AC0H和厶卩。
）]都是等腰直角三角形，APFIB是也等腰直角三角形,得到PM垂直平分BH,而CH二CO二2,则BH二2,得到PM二丄BH二1,于是有ON二PN二1+2二3,根据
坐标的表示方法即可得到P点坐标；
（3）连CE交ZA0C的平分线于P点，连PD、CD,ED,由0C二0D,0P平分直角AOC得到0P垂直平分CD,则PC二PD,得到PD+PE二PC+PE二CE,根据两点之间线段确定此时APDE的周长最小，然后利用待定系数法求出直线CE的解析式为y=-3x+2,根据P点的横纵坐标相等即可得到P点坐标为（丄，丄），再利用勾股定理分别计算出CE二亦盯尹二帧，
DE二寸严+]2二迈,即可得到此时APDE的周长.
【解答】
（1）证明:
VA（4,0）,C（0,2）,D为0A的中点,
・・・D点坐标为（2,0）,
・・・0C二OD,
又・・•点P是ZA0C平分线上的一个动点（不与点0重合）,
ZCOP=ZDOP=45°
•••△POC仝△POD,
・・・PC二PD,
即无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）解：
过B作BP垂直ZA0C的平分线于P点，过P点作PN丄x轴于N,交BC于M点,
0P交BC于H点,如图,
•・・0P平分ZA0C,
AZC0P=ZN0P=45°
•••△PHM、ZiCOH和APON都是等腰直角三角形，
AAPHB是等腰直角三角形，
・・・PM垂直平分BH,
・・・CH二CO二2,
・・・BH二4-2=2,
・・.［啪二丄BH=1,
.•.ON二PN二1+2二3,
・・・P点坐标为（3,3）；
（3）解：
连CE交ZA0C的平分线于P点,连PD、CD,ED,如图,
TOC二OD,OP平分直角AOC,
・・・0P垂直平分CD,・・・PC二PD,
•••PD+PE二PC+PE二CE,
此吋APDE的周长最小，
设直线CE的解析式为y二kx+b（kHO）,
把C（0,2）、E（1,・1）分别代入得，b=2,k+b二・1,解得k二・3,b二2,
・•・直线CE的解析式为y=-3x+2,
而P点的横纵坐标相等，设P（a,a）,把P点坐标代入y=・3x+2得，a=・3a+2,解得沪丄,
・・・P点坐标为护
VCE=^32+12-ViO,DE二（曾+严二砲,
・••此WAPDE的周长二顷.
【点评】本题考查了轴对称■最短路线问题：
通过对称，把两条线段的和转化为一条线段,利用两点Z间线段最短解决问题.也考查了垂线段最短、勾股定理、矩形的性质和坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式.
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