最新人教版高中数学必修1第二章《幂函数》教学设计.docx
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最新人教版高中数学必修1第二章《幂函数》教学设计
教学设计
2.3 幂函数
教学分析
幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数．学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成．因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝
等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：
当幂指数α＞0时，幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1），且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时，幂函数的图象都经过点（1,1），且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习．
将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质．其中，学生在初中已经学习了y＝x，y＝x2，y＝x－1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识．现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构．学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：
指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法．因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径．
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析．
三维目标
1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象，通过观察图象，了解幂函数图象的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，培养学生的概括抽象和识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣．
2．了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质，通过画图比较，使学生进一步体会数形结合的思想，利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望．
3．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力，了解类比法在研究问题中的作用，渗透辩证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力．
重点难点
教学重点：
从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．
教学难点：
根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小．
课时安排
1课时
导入新课
思路1
1．如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？
根据函数的定义可知，这里p是w的函数．
2．如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．
3．如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．
4．如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a＝
，这里a是S的函数．
5．如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度v＝t－1km/s，这里v是t的函数．
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？
（右边指数式，且底数都是变量）．
（适当引导：
从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题：
幂函数）．
思路2．我们前面学习了三类具体的初等函数：
二次函数、指数函数和对数函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书课题：
幂函数．
推进新课
提出问题
（1）给出下列函数：
y＝x，y＝
，y＝x2，y＝x－1，y＝x3，考察这些解析式的特点，总结出来，是否为指数函数？
（2）根据
（1），如果让我们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？
请给出一个一般性的结论．
（3）我们前面学习指对数函数的性质时，用了什么样的思路？
研究幂函数的性质呢？
（4）画出y＝x，y＝
，y＝x2，y＝x－1，y＝x3五个函数图象，完成下列表格.
（5）通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？
哪个象限一定没有幂函数的图象？
哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？
（6）通过对以上五个函数图象的观察和填表，你能类比出一般的幂函数的性质吗？
活动：
考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示．
讨论结果：
（1）通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数．
（2）由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子，即幂函数的定义：
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
如y＝x2，y＝
，y＝x3等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是基本初等函数．
（3）我们研究指数、对数函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般；一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数的性质也应如此．
（4）学生用描点法，也可应用函数的性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象．利用描点法，在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝
，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象．
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝
…
0
1
1.41
1.73
…
y＝x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y＝x3
…
－27
－8
－1
0
1
8
27
…
y＝x－1
…
－
－
－1
1
…
描点、连线．画出以上五个函数的图象如图1.
图1
让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质．
通过观察图象，完成表格.
（5）第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断．
（6）幂函数y＝xα的性质．
①所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点（1,1）（原因：
1x＝1）；
②当α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，＋∞）上是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）．
特别地，当α＞1时，x∈（0,1），y＝xα的图象都在y＝x图象的下方，形状向下凸，α越大，下凸的程度越大．
当0＜α＜1时，x∈（0,1），y＝xα的图象都在y＝x的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．
③当α＜0时，幂函数的图象在区间（0，＋∞）上是减函数．
思路1
例1判断下列函数哪些是幂函数．
①y＝0.2x；②y＝x－3；③y＝x－2；④y＝
.
活动：
学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答．根据幂函数的定义判别，形如y＝xα的函数称为幂函数，变量x的系数为1，指数α是一个常数，严格按这个标准来判断．
解：
①y＝0.2x的底数是0.2，因此不是幂函数；
②y＝x－3的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；
③y＝x－2的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；
④y＝
的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数．
点评：
判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.
变式训练
判别下列函数中有几个幂函数？
①
；②y＝2x2；③
；④y＝x2＋x；⑤y＝－x3.
解：
①③的底数是变量，指数是常数，因此①③是幂函数；
②的变量x2的系数为2，因此不是幂函数；
④的变量是和的形式，因此也不是幂函数；
⑤的变量x3的系数为－1，因此不是幂函数.
例2求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性．
（1）
；
（2）
；（3）y＝x－2.
活动：
学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价．根据你的学习经历，回顾求一个函数的定义域的方法，判断函数奇偶性、单调性的方法．判断函数奇偶性、单调性的方法，一般用定义法．解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑：
列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域．
解：
（1）要使函数
有意义，只需y＝
有意义，即x∈R.所以函数
的定义域是x∈R.又f（－x）＝f（x），所以函数
是偶函数，它在（－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞）上是增函数．
（2）要使函数
有意义，只需y＝
有意义，即x∈R＋，所以函数
的定义域是R＋，由于函数
的定义域不关于原点对称，所以函数
是非奇非偶函数，它在（0，＋∞）上是减函数．
（3）要使函数y＝x－2有意义，只需y＝
有意义，即x≠0，所以函数y＝x－2的定义域是x≠0，又f（－x）＝f（x），所以函数y＝x－2是偶函数，它在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上是减函数．
点评：
在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组．
例3证明幂函数f（x）＝
在[0，＋∞）上是增函数．
活动：
学生先思考或讨论，再回答，教师根据实际，可以提示引导．证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性．
证明：
任取x1，x2∈[0，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝
－
＝
＝
，因为x1－x2＜0，
＋
＞0，所以
＜0.所以f（x1）＜f（x2），即f（x）＝
在[0，＋∞）上是增函数．
点评：
证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写，利用作商的方法比较大小，f（x1）与f（x2）的符号要一致．
思路2
例1函数y＝
的定义域是（ ）
A．{x|x≠0，或x≠2}B．（－∞，0）∪（2，＋∞）
C．（－∞，0]∪[2，＋∞）D．（0,2）
解析：
函数y＝
化为y＝
，要使函数有意义需x2－2x＞0，即x＞2或x＜0，所以函数的定义域为{x|x＞2，或x＜0}．
答案：
B
变式训练
函数y＝
的值域是（ ）
A．[0，＋∞）B．（0,1]C．（0,1）D．[0,1]
活动：
学生独立解题，先思考，然后上黑板板演，教师巡视指导．函数的值域要根据函数的定义域来求．函数可化为根式形式，偶次方根号的被开方数大于零，转化为等式或不等式来解，可得定义域，这是复合函数求值域问题，利用换元法．
分析：
令t＝1－x2，则y＝
，
因为函数的定义域是{x|－1≤x≤1}，所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.
答案：
D
点评：
注意换元法在解题中的应用.
例2比较下列各组数的大小：
（1）1.10.1,1.20.1；
（2）0.24－0.2,0.25－0.2；（3）0.20.3,0.30.3,0.30.2.
活动：
学生
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