《概率论与数理统计》第02章习题解答docxWord下载.docx
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・
6、解:
(1)X〜龙(10)
(2)VX〜龙仇)
・・・|=P{x>
o}=l-p{x=o}=1-爸
・・・p{x
二0}=丄
2
:
.e~A=
丄Z=In2=0.7
或p{x»
2}=l—p{x=o}—p{x=1}=1-*一一=*_*ln2
(2)设Y表示一分钟内,5个讯息员屮未接到讯息的人数,贝IJY〜3(5疋一2)
•••P{y=4}=C;
(八『(1_-2)=000145
OOOO—2Ck
(3)
工(P{X胡心工(〒)5k=0k=0K•
8、一教授当下课铃打响时,他述不结束讲解,他常结束他讲解在下课铃响后一分钟以内,以X表示响铃至结束讲解的时间,设X的概率密度为
△=(2X)2_4(5X-4)>
—J?
f(x)tZx"
—J23%-^Zv—x
33
9、解:
方程r2+2Xr+5X-4=0有实根,即
得X>
4^X<
1,所以有实根的概率为
P{(X>
4)U(X<
1)}=P{X>
4}+P{X<
1}
=J;
0.003兀2〃+£
'
°
0.003x2^=0.937
r2■
fXJ__l_
10、解“
(1)P{Xvl}=Jf{x)dx=£
-^f^dx==\-e^-0.005
其概率密度为
11、设实验室的温度X(以°
Cit)为随机变量,
-l<
x<
其它
(1)某种化学反应在温度X>
1时才能反应,求在实验室中这种化学反应发生的概率;
(2)在10个不同的实验室中,各实验室中这种化学反应是否会发生是相互独立的,以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数,求Y的分布律;
288415
=1=—
i92792727
求p{r=2},p{y>
2}o
解:
(1)P{X>
1}=f(x)dx=j"
-(4-x2)dr=(-X-—X3)
"
9927
(2)―叫刃’叩沟心]刃
22
27
10-R
£
二0丄2,…,10
27■■
592
(3)P{y=2}=C^(—)2x(—)8=0.2998
s99s9?
p{r>
2}=1-p{r=0}-p{y=1}=1-(—)°
x(―)10-^0(—)J(—)9=0.5778
12、
(1)设随机变量丫的概率密度为
0.2
/(y)=0.2+Cy
-1<
y<
00<
y<
l其它
试确定常数c,求分布函数F(y),并求p{o<
o.5},p{r>
o.5|r>
o.i]
(2)设随机变量X的概率密度为
f(x)=\x/8
1<
2
2<
y<
4
求分布函数F(y),P{1<
3},P{X>
1|X<
3}
(1)由]=匸/(y)〃y=J:
0・2dy+j:
(0・2+Cy)dy
oC
+(0.2y+-/)
-iz
•・J(y)=0.2+1.2y
Fy(y)=if(t)dt=<
J—oo
=0-4+f
<
0
0<
J<
1
Odt
Q.2dt
J-l
匸0.2dy+J(:
(0.2+1.2y)dy
J;
—oo
yv_1
0<
\
0.2y+0.2
0.6/+0.2j+0.2
1
-1
l
沖1
P{0<
Y<
0.5}=F(0.5)-F(0)=0.2+0.2x0.5+0.6x(0.5)2-0.2=0.25
P{y>
0.1}=1-F(0」)=1一0.2-0.2x0」一0.6x0=0.774
P{Y>
0.5}=1-F(0.5)=1-0.24-0.2x0.5-0.6x0.52=0.55
一X
—'
y
8
9
JT
16
x>
「5
b8
『丄如J
k)8J28
(2)
Q17
P{l<
3}=F(3)-F(l)=---=-
P{X<
3}=F⑶二善
・・・p{xni|xw3}=刊:
xw3}=羊=?
1Jp{x<
3}_9_
13、解:
p{x=i.Y=j}=丄x—!
—nn-1
p[x=i.Y=i}=0心j,i,j=\,2,......,n
当“3时,(x,y)联合分布律为
Y
X
3
1/6
1/6
1/6
14、设有一加油站有两套用来加油的设备设备A是加油站工作人员操作的,设备B是顾客自己操作的,〃均装有两根加油软管,随机取一时刻,〃正在使用软管数分别为x,yox,丫的联合分布律为
0」0
0.08
0.06
0.04
0.20
0.14
0.02
0.30
15、设随机变量(X,r)的概率密度为
是确定常数C;
并求P{X>
2};
P{X>
Y};
P{X+Yvl}
•・•]=(/(兀)6k=J()£
Ce~^x^y^dxdy=-
P{X+Y<
1}=JJy)dxdy=j*dxXSe'
(2x+4y)dy
x+y<
=^2e~2x(-e-4y)'
Xdx=^(2e-2x-2e2x-4)dx=(-e-2x-e2x'
4)'
=(1-^2)2
o
兀2
16、设随机变量(X,K)在由曲线y=x\y=—,x=]所围成的区域G均匀分布
(1)求(X,y)的概率密度;
(2)求边缘概率密度fxMJY(y)
17、
(1)在14题中求边缘概率密度;
(1)
012P{X=Xi}
0」00.080.060.24
0.040.200.140.38
0.020.060.300.38
Pgi}
0.160.340.501
22、
(1)设一离散型随机变量的分布律为
・1
Pk
e
\-0
又岭,丫2是两个相互独立的随机变量,且K,丫2与Y有相同的分布律,求岭与丫2的联合分布律,并求P{Y[=Y2}\
(2)在14题中X与丫是否相互独立。
H4笋少)K4
且P{Z=E}=P{Z=i,W=i}+P{Z=°
,W=O}+P{Z=l,W=l}
斗+("
)+宁討_2却
(2)p{x=0,y=0}=0.10又vp{x=o}-p{y=o}=0.0384p{x=o,y=0}hp{x=0}•p{y=o},・・・x与y不相互独立
23、设X,y是两个相互独立的随机变量,X〜(7(0,1),Y的概率密度为心卜°
<
>
叫
0其它
试写出X,Y的联合概率密度,并求P{X>
Y}o
fY(y)=\y°
v<
2,且x与y相互独立
o其它
・•・/(兀,y)=/x(兀)••Ab)n8'
O-vgy*
P{X>
K}=jjSydxdy=『(8y-y2)dy=(4y2-
24、设随机变量X具有分布律
-2
6
15
11
30
求y=x2+i的分布律。
■2
-1
i
y=x2+i
10
11
—
_+一
615
即
25、
当w<
O0t,Fv(w)=P{U<
u}=P{\X|<
u}=0,•••恥)=0
当w>
0H寸,Fu(u)=P(U<
u)=P(\X\<
u)=P(—u<
u)=Fx(u)一Fx(-w)
zi丄i
•••九(u)=伦(u)=0x(“)+0X(—U)=花=幺2+花=£
故u=\x\的概率密度为:
九(比)=
[0u<
Q
26、解:
(1)Y=乐,・・•人(兀)二"
%>
当(0,+oo)时,yG(0,+oo)
X0X<
当)圧0时,FY(y)=P(Y<
y)=P(Vx<
y)=0,・••齐(y)=0
当y>
OU寸,耳(y)=P(Y<
y)=P(X<
y2)=Fx(y2)
fY(y)=F;
(u)=2yfx(y2)=2ye-y
v+1
当0vyv1时,FY(y)=P(Y<
y)=P(丁<
y)=P(X<
2y-1)=Fx(2y-\)
••・人(刃=你'
0)=办(2丿一1)・2=1
当八1时,的0)=1,齐(y)=o
10<
0其他
Yii
故Y二仝尹的概率密度为:
fy(y)=
o1上
(3)Y=X2,*.*fx(X)=.——e2-oo<
x<
+oo,当xw(_oo,+oo)吋,yw[0,+x)J2兀
当ySOBt,FY(y)=P(Y<
y)=P(X2<
y)=O,・・.厶(刃=0
当y〉00寸,Fr(y)=P(Y<
y)=P(—“<
^)=Fx^)-Fx(―“)
27、设一圆的半径X是一随机变量,其概率密度为
/、-(3x+l)0<
/W=8V
l=^X2,v/x(x)=-8(3%+1)
求圆面积A的概率密度。
A<
2,当xw(0,2)时,y=^-x2G(0,4^)其它
当y<
0时,FA(y)=P{A<
y}=P{ttX2<
y}=09/.fA(y)=O
/(兀,刃=fx(x)fY(y)=q^e心(x,y)wR,
Z=Vx2+r2,当X、yw(—oo,+oo)吋,ZG[0,+oo)
当z5O0寸,F7(z)=P{yJX2^Y2<
z}=0,£
(z)=0
/z(z)=/^'
(Z)=(l_£
2a?
y=-^-e2/
z-y>
y>
0n°
g,
由卷积公式:
(z)=匚fx(z-y)fr(y)dy
当z500寸,/z(z)=0
_2当Z>
0时,£
⑵=匚fx(z-y)fY(y)dy=[Ae~A{:
~y)Z2ye~Aydy=^e~A2+
故Z=X+Y的概率密度为:
(z)=
fz>
z<
3K解:
fx(x)=
0其它,fAy)=
穿<】,且X与Y相互独立
14
仗)=匸/'
x(z-y)/心)=
z<
l<
2=^
z-l
32、设随机变量X,Y相互独立,它们的联合概率密度为
/(兀,刃=<
0,0<
^<
求边缘概率密度fx(Q,几(y);
求Z=max(X,Y)的分布函数;
解
(1)fx(x)=j^f(x9y)dy=
/心)=匸/(兀,刃必=
•e3a
-e~3xdxo2
(2)Fx(x)=rfx(t)dt=<
J—co
你(刃'
fy(t)dt=<
A3e~3fdt
IJO
;
y-dt
b2
)72
・•・g(Z)=P{max(X,Y)<
Z}=FX(Z)・Fy(Z)=
_y
-3z
-3Z
33、解:
(1)X在(0J)上服从均匀分布,概率密度MU)=V
[2JmdXmax2222424
%<
/
21,2
34、解:
(1)1/的可能取值是0,1,2,3
P{U=0}=P{X=0,Y=0}=右
p{f;
=i}=p{x=o,y=i}+P{x=i,r=o}+p(x=i,r=i}
1112
=—I1—=—
6443
p{^=2}=p{x=2,y=o)+P{x=2,r=i}+P{x=2,r=2}+P{x=o,y=2}
111129
+P{X=l,y=2}=—+——+0+——+—二——
8202440120
P{[/=3}=P{X=3,Y=0}+P{X=3,Y=1}+P{X二3,丫=2}二丄+0+0二丄
120120或
u
p
12
111
-+-+-644
11n11
一+—+0+—+—8202440
1+0+0
120
E|J:
29
p{v=o}=p{x=o9y=o}+P{x=o,y=i}+P{x=o,y=2}+P{x=i,r=o}
40
+P‘2,"
0}+P2心。
}詁+”右+*+”击
P{V=1}=P{X=1,Y=1}^P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}+P[X=3,Y=l}
111n13
4402040
P{V=2}=P{X=2,7=2}+P{X=3,y=2}=0+0=0
V
111111+++十十
1262448120
111n
一+—+—+0
44020
0+0
13
(3)W的可能取值是0,1,2,3,4,5
p{w=o}=P{x=o,y=o}=—p{w=i}=P{x=i,r=o}+P{x=o,y=i}=-+-=
46
P{W=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=1.Y=\}+P{X=0,Y=2}
1115
=—+——H=—
842412
p(w=3}=P{x=3,r=o}+P{x=2,r=i}+P{x=i,r=2}
1111
—I1—
120204012
P{W=4}=P{X=2,r=2}+P{X=3,y=l}=0+0
P{W=5}=P{X=3,y=2}=0
或
W
P
—+-
111_+_+_
8424
111++
1202040
w