《概率论与数理统计》第02章习题解答docxWord下载.docx
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・
6、解：
（1）X〜龙（10）
（2）VX〜龙仇）
・・・|=P{x>
o}=l-p{x=o}=1-爸
・・・p{x
二0}=丄
2
:
.e~A=
丄Z=In2=0.7
或p{x»
2}=l—p{x=o}—p{x=1}=1-*一一=*_*ln2
（2）设Y表示一分钟内，5个讯息员屮未接到讯息的人数，贝IJY〜3（5疋一2）
•••P{y=4}=C；
（八『（1_-2）=000145
OOOO—2Ck
（3）
工（P{X胡心工（〒）5k=0k=0K•
8、一教授当下课铃打响时，他述不结束讲解，他常结束他讲解在下课铃响后一分钟以内,以X表示响铃至结束讲解的时间，设X的概率密度为
△=（2X）2_4（5X-4）>
—J?
f（x）tZx"
—J23%-^Zv—x
33
9、解：
方程r2+2Xr+5X-4=0有实根，即
得X>
4^X<
1,所以有实根的概率为
P{（X>
4）U（X<
1）}=P{X>
4}+P{X<
1}
=J；
0.003兀2〃+£
'
°
0.003x2^=0.937
r2■
fXJ__l_
10、解“
（1）P{Xvl}=Jf{x）dx=£
-^f^dx==\-e^-0.005
其概率密度为
11、设实验室的温度X（以°
Cit）为随机变量,
-l<
x<
其它
（1）某种化学反应在温度X>
1时才能反应，求在实验室中这种化学反应发生的概率；
（2）在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生是相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律；
288415
=1=—
i92792727
求p{r=2},p{y>
2}o
解:
（1）P{X>
1}=f（x）dx=j"
-（4-x2）dr=（-X-—X3）
"
9927
（2）―叫刃’叩沟心］刃
22
27
10-R
£
二0丄2,…，10
27■■
592
（3）P{y=2}=C^（—）2x（—）8=0.2998
s99s9?
p{r>
2}=1-p{r=0}-p{y=1}=1-（—）°
x（―）10-^0（—）J（—）9=0.5778
12、
（1）设随机变量丫的概率密度为
0.2
/（y）=0.2+Cy
-1<
y<
00<
y<
l其它
试确定常数c,求分布函数F（y）,并求p{o<
o.5},p{r>
o.5|r>
o.i]
（2）设随机变量X的概率密度为
f（x）=\x/8
1<
2
2<
y<
4
求分布函数F（y）,P{1<
3},P{X>
1|X<
3}
（1）由］=匸/（y）〃y=J：
0・2dy+j：
（0・2+Cy）dy
oC
+（0.2y+-/）
-iz
•・J（y）=0.2+1.2y
Fy（y）=if（t）dt=<
J—oo
=0-4+f
<
0
0<
J<
1
Odt
Q.2dt
J-l
匸0.2dy+J（：
（0.2+1.2y）dy
J；
—oo
yv_1
0<
\
0.2y+0.2
0.6/+0.2j+0.2
1
-1
l
沖1
P{0<
Y<
0.5}=F（0.5）-F（0）=0.2+0.2x0.5+0.6x（0.5）2-0.2=0.25
P{y>
0.1}=1-F（0」）=1一0.2-0.2x0」一0.6x0=0.774
P{Y>
0.5}=1-F（0.5）=1-0.24-0.2x0.5-0.6x0.52=0.55
一X
—'
y
8
9
JT
16
x>
「5
b8
『丄如J
k）8J28
（2）
Q17
P{l<
3}=F（3）-F（l）=---=-
P{X<
3}=F⑶二善
・・・p{xni|xw3}=刊：
xw3}=羊=?
1Jp{x<
3}_9_
13、解：
p{x=i.Y=j}=丄x—!
—nn-1
p[x=i.Y=i}=0心j,i,j=\,2,......,n
当“3时，（x,y）联合分布律为
Y
X
3
1/6
1/6
1/6
14、设有一加油站有两套用来加油的设备设备A是加油站工作人员操作的，设备B是顾客自己操作的，〃均装有两根加油软管，随机取一时刻，〃正在使用软管数分别为x,yox,丫的联合分布律为
0」0
0.08
0.06
0.04
0.20
0.14
0.02
0.30
15、设随机变量（X,r）的概率密度为
是确定常数C；
并求P{X>
2}；
P{X>
Y}；
P{X+Yvl}
•・•]=（/（兀）6k=J（）£
Ce~^x^y^dxdy=-
P{X+Y<
1}=JJy）dxdy=j*dxXSe'
（2x+4y）dy
x+y<
=^2e~2x（-e-4y）'
Xdx=^（2e-2x-2e2x-4）dx=（-e-2x-e2x'
4）'
=（1-^2）2
o
兀2
16、设随机变量（X,K）在由曲线y=x\y=—,x=］所围成的区域G均匀分布
（1）求（X,y）的概率密度；
（2）求边缘概率密度fxMJY（y）
17、
（1）在14题中求边缘概率密度;
（1）
012P{X=Xi}
0」00.080.060.24
0.040.200.140.38
0.020.060.300.38
Pgi}
0.160.340.501
22、
（1）设一离散型随机变量的分布律为
・1
Pk
e
\-0
又岭，丫2是两个相互独立的随机变量，且K，丫2与Y有相同的分布律，求岭与丫2的联合分布律,并求P{Y[=Y2}\
（2）在14题中X与丫是否相互独立。
H4笋少）K4
且P{Z=E}=P{Z=i，W=i}+P{Z=°
，W=O}+P{Z=l，W=l}
斗+（"
）+宁討_2却
（2）p{x=0,y=0}=0.10又vp{x=o}-p{y=o}=0.0384p{x=o,y=0}hp{x=0}•p{y=o},・・・x与y不相互独立
23、设X,y是两个相互独立的随机变量，X〜（7（0,1）,Y的概率密度为心卜°
<
>
叫
0其它
试写出X,Y的联合概率密度，并求P{X>
Y}o
fY（y）=\y°
v<
2,且x与y相互独立
o其它
・•・/（兀,y）=/x（兀）••Ab）n8'
O-vgy*
P{X>
K}=jjSydxdy=『（8y-y2）dy=（4y2-
24、设随机变量X具有分布律
-2
6
15
11
30
求y=x2+i的分布律。
■2
-1
i
y=x2+i
10
11
—
_+一
615
即
25、
当w<
O0t,Fv（w）=P{U<
u}=P{\X|<
u}=0,•••恥）=0
当w>
0H寸,Fu（u）=P（U<
u）=P（\X\<
u）=P（—u<
u）=Fx（u）一Fx（-w）
zi丄i
•••九（u）=伦（u）=0x（“）+0X（—U）=花=幺2+花=£
故u=\x\的概率密度为：
九（比）=
[0u<
Q
26、解:
（1）Y=乐,・・•人（兀）二"
%>
当（0,+oo）时，yG（0,+oo）
X0X<
当）圧0时，FY（y）=P（Y<
y）=P（Vx<
y）=0,・••齐（y）=0
当y>
OU寸，耳（y）=P（Y<
y）=P（X<
y2）=Fx（y2）
fY（y）=F；
（u）=2yfx（y2）=2ye-y
v+1
当0vyv1时，FY（y）=P（Y<
y）=P（丁<
y）=P（X<
2y-1）=Fx（2y-\）
••・人（刃=你'
0）=办（2丿一1）・2=1
当八1时，的0）=1,齐（y）=o
10<
0其他
Yii
故Y二仝尹的概率密度为：
fy（y）=
o1上
（3）Y=X2,*.*fx（X）=.——e2-oo<
x<
+oo,当xw（_oo,+oo）吋，yw[0,+x）J2兀
当ySOBt，FY（y）=P（Y<
y）=P（X2<
y）=O,・・.厶（刃=0
当y〉00寸，Fr（y）=P（Y<
y）=P（—“<
^）=Fx^）-Fx（―“）
27、设一圆的半径X是一随机变量，其概率密度为
/、-（3x+l）0<
/W=8V
l=^X2,v/x（x）=-8（3%+1）
求圆面积A的概率密度。
A<
2,当xw（0,2）时，y=^-x2G（0,4^）其它
当y<
0时，FA（y）=P{A<
y}=P{ttX2<
y}=09/.fA（y）=O
/（兀,刃=fx（x）fY（y）=q^e心（x,y）wR，
Z=Vx2+r2，当X、yw（—oo,+oo）吋，ZG[0,+oo）
当z5O0寸，F7（z）=P{yJX2^Y2<
z}=0,£
（z）=0
/z（z）=/^'
（Z）=（l_£
2a?
y=-^-e2/
z-y>
y>
0n°
g，
由卷积公式:
（z）=匚fx（z-y）fr（y）dy
当z500寸，/z（z）=0
_2当Z>
0时,£
⑵=匚fx（z-y）fY（y）dy=[Ae~A{:
~y）Z2ye~Aydy=^e~A2+
故Z=X+Y的概率密度为：
（z）=
fz>
z<
3K解：
fx（x）=
0其它，fAy）=
穿＜】，且X与Y相互独立
14
仗）=匸/'
x（z-y）/心）=
z<
l<
2=^
z-l
32、设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为
/（兀,刃=<
0,0<
^<
求边缘概率密度fx（Q,几（y）；
求Z=max（X,Y）的分布函数;
解
（1）fx（x）=j^f（x9y）dy=
/心）=匸/（兀,刃必=
•e3a
-e~3xdxo2
（2）Fx（x）=rfx（t）dt=<
J—co
你（刃'
fy（t）dt=<
A3e~3fdt
IJO
;
y-dt
b2
）72
・•・g（Z）=P{max（X,Y）<
Z}=FX（Z）・Fy（Z）=
_y
-3z
-3Z
33、解：
（1）X在（0J）上服从均匀分布，概率密度MU）=V
[2JmdXmax2222424
%<
/
21,2
34、解：
（1）1/的可能取值是0,1,2,3
P{U=0}=P{X=0,Y=0}=右
p{f；
=i}=p{x=o,y=i}+P{x=i,r=o}+p（x=i,r=i}
1112
=—I1—=—
6443
p{^=2}=p{x=2,y=o）+P{x=2,r=i}+P{x=2,r=2}+P{x=o,y=2}
111129
+P{X=l,y=2}=—+——+0+——+—二——
8202440120
P{[/=3}=P{X=3,Y=0}+P{X=3,Y=1}+P{X二3,丫=2}二丄+0+0二丄
120120或
u
p
12
111
-+-+-644
11n11
一+—+0+—+—8202440
1+0+0
120
E|J：
29
p{v=o}=p{x=o9y=o}+P{x=o,y=i}+P{x=o,y=2}+P{x=i,r=o}
40
+P‘2,"
0}+P2心。
}詁+”右+*+”击
P{V=1}=P{X=1,Y=1}^P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}+P[X=3,Y=l}
111n13
4402040
P{V=2}=P{X=2,7=2}+P{X=3,y=2}=0+0=0
V
111111+++十十
1262448120
111n
一+—+—+0
44020
0+0
13
（3）W的可能取值是0,1,2,3,4,5
p{w=o}=P{x=o,y=o}=—p{w=i}=P{x=i,r=o}+P{x=o,y=i}=-+-=
46
P{W=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=1.Y=\}+P{X=0,Y=2}
1115
=—+——H=—
842412
p（w=3}=P{x=3,r=o}+P{x=2,r=i}+P{x=i,r=2}
1111
—I1—
120204012
P{W=4}=P{X=2,r=2}+P{X=3,y=l}=0+0
P{W=5}=P{X=3,y=2}=0
或
W
P
—+-
111_+_+_
8424
111++
1202040
w
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