背包问题动态规划法.docx

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背包问题动态规划法

0/1背包问题

 1.问题描述

          给定一个载重量为m，n个物品，其重量为wi，价值为vi，1<=i<=n，要求:

把物品装入背包，并使包内物品价值最大

2.问题分析

         在0/1背包问题中，物体或者被装入背包，或者不被装入背包，只有两种选择。

        循环变量i，j意义：

前i个物品能够装入载重量为j的背包中

        （n+1）*（m+1）数组value意义：

value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值

        若w[i]>j，第i个物品不装入背包

        否则，若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j]，则记录当前最大价值（替换为第i个物品装入背包后的价值）

         计算最大价值的动态规划算法如下：

    //计算

    for（i=1;i

    {

        for（j=1;j

        {

            //w[i]>j,第i个物品不装入背包

            value[i][j]=value[i-1][j];

            //w[i]<=j,且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j],则记录当前最大价值

            int temp=value[i-1][j-w[i]]+v[i];

            if（w[i]<=j && temp>value[i][j]）

                value[i][j]=temp;

        }

    }

     即该段程序完成以下n个阶段：

    1：

只装入1个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

    2：

装入2个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

    。

。

。

    n：

以此类推，装入n个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

3.问题求解

     确定装入背包的具体物品，从value[n][m]向前逆推：

          若value[n][m]>value[n-1][m]，则第n个物品被装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m-w[n]的背包中

          否则，第n个物品没有装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m的背包中

     以此类推，直到确定第一个物品是否被装入背包为止。

逆推代码如下：

    //逆推求装入的物品

    j=m;

    for（i=row-1;i>0;i--）

    {

        if（value[i][j]>value[i-1][j]）

        {

            c[i]=1;

            j-=w[i];

        }

    }

4.代码如下

     输入数据及输出数据均在文件中。

     输入数据格式：

          nm

           w1 w2 ...wn

           v1v2...vn

     输出数据格式：

          maxValue

          icount           //i表示物品编号，count表示该物品被选中次数

          ...

/************************************************************************

 * 0/1背包问题求解 （visual studio 2005）

 * 给定一个载重量为m,及n个物品,其重量为wi,价值为vi,1<=i<=n

 * 要求:

把物品装入背包,并使包内物品价值最大

 ************************************************************************/

#include 

#include 

#include 

#define FILENAMELENGTH 100

class CBeibao

{

public:

    int m_nNumber;        //物品数量

    int m_nMaxWeight;    //最大载重量

    int *m_pWeight;        //每个物品的重量

    int *m_pValue;        //每个物品的价值

    int *m_pCount;        //每个物品被选中的次数

    int m_nMaxValue;    //最大价值

public:

    CBeibao（const char *filename）;

    ~CBeibao（）;

    int GetMaxValue（）;

    int GetMaxValue（int n,int m,int *w,int *v,int *c）;

    void Display（int nMaxValue）;

    void Display（int nMaxValue,const char *filename）;

};

//读入数据

CBeibao:

:

CBeibao（const char *filename）

{

    FILE *fp=fopen（filename,"r"）;    

    if（fp==NULL）

    {

        printf（"can not open file!

"）;

        return;    //exit（0）;

    }

    //读入物品数量和最大载重量

    fscanf（fp,"%d%d",&m_nNumber,&m_nMaxWeight）;

    m_pWeight=new int[m_nNumber+1];

    m_pValue=new int[m_nNumber+1];

    m_pWeight[0]=0;

    //读入每个物品的重量

    for（int i=1;i<=m_nNumber;i++）

        fscanf（fp,"%d",m_pWeight+i）;

    m_pValue[0]=0;

    //读入每个物品的价值

    for（int i=1;i<=m_nNumber;i++）

        fscanf（fp,"%d",m_pValue+i）;

    //初始化每个物品被选中次数为0

    m_pCount=new int[m_nNumber+1];

    for（int i=0;i<=m_nNumber;i++）

        m_pCount[i]=0;

    fclose（fp）;

}

CBeibao:

:

~CBeibao（）

{

    delete[] m_pWeight;

    m_pWeight=NULL;

    delete[] m_pValue;

    m_pValue=NULL;

    delete[] m_pCount;

    m_pCount=NULL;

}

/************************************************************************

 * 动态规划求出满足最大载重量的最大价值

 * 参数说明：

n:

物品个数

 *           m:

背包载重量

 *           w:

重量数组

 *           v:

价值数组

 *           c:

是否被选中数组

 * 返回值：

最大价值

 ************************************************************************/

int CBeibao:

:

GetMaxValue（int n,int m,int *w,int *v,int *c）

{

    int row=n+1;

    int col=m+1;

    int i,j;    //循环变量:

前i个物品能够装入载重量为j的背包中

    //value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值

    int **value=new int*[row];

    for（i=0;i

        value[i]=new int[col];

    //初始化第0行

    for（j=0;j

        value[0][j]=0;

    //初始化第0列

    for（i=0;i

        value[i][0]=0;

    //计算

    for（i=1;i

    {

        for（j=1;j

        {

            //w[i]>j,第i个物品不装入背包

            value[i][j]=value[i-1][j];

            //w[i]<=j,且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j],则记录当前最大价值

            int temp=value[i-1][j-w[i]]+v[i];

            if（w[i]<=j && temp>value[i][j]）

                value[i][j]=temp;

        }

    }

    //逆推求装入的物品

    j=m;

    for（i=row-1;i>0;i--）

    {

        if（value[i][j]>value