第二十三章旋转教案文档格式.docx
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秒针转了多少度?
老师点评:
时针、分针、秒针在不停地转动,它们都绕时针的中心。
如果从现在到下课时针转了_______度,分针转了_______度,秒针转了______度。
2、再看我自制的好像风车风轮的玩具,它可以不停地转动.如何转到新的位置?
(老师点评略)
3、第1、2两题有什么共同特点呢?
共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形,那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度。
像这样,把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
下面我们来运用这些概念来解决一些问题。
例1、如图,如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF,在这个旋转过程中:
(1)旋转中心是什么?
旋转角是什么?
(2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置?
解:
(1)旋转中心是O,∠AOE、∠BOF等都是旋转角.
(2)经过旋转,点A和点B分别移动到点E和点F的位置.
例2、如图,四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形。
(1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的?
(2)请画出旋转中心和旋转角。
(3)指出,经过旋转,点A、B、C、D分别移到什么位置?
(1)可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的。
(2)画图略。
(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H。
最后强调,这个旋转中心是固定的,即正方形对角线的交点,但旋转角和对应点都是不唯一的。
三、巩固练习
1、两个边长为1的正方形,如图所示,让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合。
不难知道重合部分的面积为
,现把其中一个正方形固定不动,另一个正方形绕其中心旋转,问在旋转过程中,两个正方形重叠部分面积是否发生变化?
说明理由。
分析:
设任转一角度,如图中的虚线部分,要说明旋转后正方形重叠部分面积不变,只要说明S△OEE`=S△ODD`,那么只要说明△OEF′≌△ODD′。
面积不变。
理由:
设任转一角度,如图所示。
在Rt△ODD′和Rt△OEE′中
∠ODD′=∠OEE′=90°
∠DOD′=∠EOE′=90°
-∠BOE
OD=OD
∴△ODD′≌△OEE′
∴S△ODD`=S△OEE`
∴S四边形OE`BD`=S正方形OEBD=
方法:
课件出示题目;
学生独立解答。
组内交流,教师巡视;
指名回答,集体订正。
四、归纳小结:
本节课要掌握:
1、旋转及其旋转中心、旋转角的概念。
2、旋转的对应点及其它们的应用。
五、布置作业:
1、教材P63练习1、2、3、教材P66复习巩固1、2、3。
六、板书设计:
旋转
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
第二课时、旋转
【教学内容】对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
旋转前后的图形全等及其它们的运用。
理解对应点到旋转中心的距离相等;
理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
理解旋转前、后的图形全等.掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用。
先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念,接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质。
培养运动几何的观点,增强审美意识。
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
图形的旋转的基本性质及其应用。
运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质。
课件、学具。
老师口问,学生口答。
1、什么叫旋转?
什么叫旋转中心?
什么叫旋转角?
2、什么叫旋转的对应点?
3、请独立完成下面的题目。
如图,O是六个正三角形的公共顶点,正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形?
能。
看做是一条边(如线段AB)绕O点,按照同一方法连续旋转60°
、120°
、180°
、240°
、300°
形成的。
上面的解题过程中,能否得出什么结论,请回答下面的问题:
1、A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等?
2、对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等?
3、旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA全等吗?
(1)距离相等,
(2)夹角相等,
(3)前后图形全等,那么这个是否有一般性?
下面请看这个实验。
请看我手里拿着的硬纸板,我在硬纸板上挖下一个三角形的洞,再挖一个点O作为旋转中心,把挖好的硬纸板放在黑板上,先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC),然后围绕旋转中心O转动硬纸板,在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′),移去硬纸板。
分组讨论:
根据图回答下面问题。
一组推荐一人上台说明。
1、线段OA与OA′,OB与OB′,OC与OC′有什么关系?
2、∠AOA′,∠BOB′,∠COC′有什么关系?
3、△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系?
1、OA=OA′,OB=OB′,OC=OC′,也就是对应点到旋转中心相等。
2、∠AOA′=∠BOB′=∠COC′,我们把这三个相等的角,即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角。
3、△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等,即全等。
综合以上的实验操作和刚才作的(3),得出
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)旋转前、后的图形全等。
例1、如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B对应点的位置,以及旋转后的三角形。
绕C点旋转,A点的对应点是D点,那么旋转角就是∠ACD,根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,即∠BCB′=ACD,又由对应点到旋转中心的距离相等,即CB=CB′,就可确定B′的位置,如图所示。
(1)连结CD
(2)以CB为一边作∠BCE,使得∠BCE=∠ACD
(3)在射线CE上截取CB′=CB
则B′即为所求的B的对应点。
(4)连结DB′
则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形。
例2、如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=
,△ABF是△ADE的旋转图形.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)AF的长度是多少?
(4)如果连结EF,那么△AEF是怎样的三角形?
由△ABF是△ADE的旋转图形,可直接得出旋转中心和旋转角,要求AF的长度,根据旋转前后的对应线段相等,只要求AE的长度,由勾股定理很容易得到。
△ABF与△ADE是完全重合的,所以它是直角三角形。
(1)旋转中心是A点。
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的
∴B是D的对应点
∴∠DAB=90°
就是旋转角
(3)∵AD=1,DE=
∴AE=
=
∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点
∴AF=
(4)∵∠EAF=90°
(与旋转角相等)且AF=AE
∴△EAF是等腰直角三角形。
三、巩固练习:
1、如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使
L、M在AK的同旁,连接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系。
要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明。
∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形
∴AB=AD,AK=AM,且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°
∴△ADM是以A为旋转中心,∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成
∴BK=DM
学生组内交流,教师巡视;
本节课应掌握:
1、对应点到旋转中心的距离相等;
2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
3、旋转前、后的图形全等及其它们的应用。
教材P64练习1、2、3。
教材P66复习巩固4、综合运用5、6。
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
旋转前、后的图形全等及其它们的应用。
第三课时、旋转
、
【教学内容】选择不同的旋转中心或不同的旋转角,设计出不同的美丽的图案。
理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度,会出现不同的效果,掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案。
复习图形旋转的基本性质,着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图,设计出美丽的图案。
让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动,享受成功的喜悦,激发学习热情。
旋转中心、旋转角度、图案。
用旋转的有关知识画图。
根据需要设计美丽图案。
课件、学具、小黑板。
1、老师口问,学生口答。
(1)各对应点到旋转中心的距离有何关系呢?
(2)各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系?
(3)两个图形是旋转前后的图形,它们全等吗?
2、请同学独立完成下面的作图题。
如图,△AOB绕O点旋转后,G点是B点的对应点,作出△AOB旋转后的三角形。
要作出△AOB旋转后的三角形,应找出三方面:
第一,旋转中心:
O;
第二,旋转角:
∠BOG;
第三,A点旋转后的对应点:
A′。
从上面的作图题中,我们知道,作图应满足三要素:
旋转中心、旋转角、对应点,而旋转中心、旋转角固定下来,对应点就自然而然地固定下来.因此,下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究。
1、旋转中心不变,改变旋转角
画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心,旋转角分别为30°
、60°
的旋转图形。
2、旋转角不变,改变旋转中心
画出以下图,四边形ABCD分别为O、O为中心,旋转角都为30°
因此,从以上的画图中,我们可以得到旋转中心不变,改变旋转角与旋转角不变,改变旋转中心会产生不同的效果。
所以,我们可以经过旋转设计出美丽的图案。
例1、如下图是菊花一叶和中心与圆圈,现以O为旋转中心画出分别旋转45°
、90°
、135°
、225°
、270°
、315°
的菊花图案。
只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化,旋转长度为菊花的最长OA,按菊花叶的形状画出即可。
(1)连结OA
(2)以O点为圆心,OA长为半径旋转45°
,得A。
(3)依此类推画出旋转角分别为90°
的A、A、A、A、A、A。
(4)按菊花一叶图案画出各菊花一叶。
那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形。
学生组内操作、交流,教师巡视。
例2、如图,如果上面的菊花一叶,绕下面的点O′为旋转中心,请画出图案,它还是原来的菊花吗?
显然,画出后的图案不是菊花,而是另外的一种花了。
例3、如图,如何作出该图案绕O点按逆时针旋转90°
的图形。
该备案是一个比较复杂的图案,是作出几个复合图形组成的图案,因此,要先画出图中的关键点,这些关键点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等,然后再根据旋转的特征,作出这些关键点的对应点,最后再按原图案作出旋转后的图案。
(1)连结OA,过O点沿OA逆时针作∠AOA′=90°
,在射线OA′上截取OA′=OA;
(2)用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H的对应点B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′;
(3)作出对应线段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A′G′、G′D′、D′H′、H′A′;
(4)所作出的图案就是所求的图案。
1、选择不同的旋转中心、不同的旋转角,设计出美丽的图案;
2、作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案,要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等。
1、教材P67综合运用7、8、9。
2、补充作业。
作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案,要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等。
学生作品。
第四课时、中心对称
【教学内容】两个图形关于这个点对称或中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及其运用它们解决一些实际问题。
了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题。
复习运用旋转知识作图,旋转角度变化,设计出不同的美丽图案来引入旋转180°
的特殊旋转──中心对称的概念,并运用它解决一些实际问题。
让学生通过独立思考,自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵,获得知识,体验成功,享受学习乐趣。
中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念。
利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题。
从一般旋转中导入中心对称。
请同学们独立完成下题。
如图,△ABC绕点O旋转,使点A旋转到点D处,画出旋转后的三角形,并写出简要作法。
点评:
分析,本题已知旋转后点A的对应点是点D,且旋转中心也已知,所以关键是找出旋转角和旋转方向,显然,逆时针或顺时针旋转都符合要求,一般我们选择小于180°
的旋转角为宜,故本题选择的旋转方向为顺时针方向;
已知一对对应点和旋转中心,很容易确定旋转角。
如图,连结OA、OD,则∠AOD即为旋转角。
接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可。
作法:
(1)连结OA、OB、OC、OD;
(2)分别以OB、OB为边作∠BOM=∠CON=∠AOD;
(3)分别截取OE=OB,OF=OC;
(4)依次连结DE、EF、FD;
即:
△DEF就是所求作的三角形,如图所示。
问题:
作出如图的两个图形绕点O旋转180°
的图案,并回答下列问题:
1、以O为旋转中心,旋转180°
后两个图形是否重合?
2、各对称点绕O旋转180°
后,这三点是否在一条直线上?
可以发现,如图所示的两个图案绕O旋转180°
都是重合的,即甲图与乙图重合,△OAB与△COD重合。
像这样,把一个图形绕着某一个点旋转180°
,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
例1、如图,四边形ABCD绕D点旋转180°
,请作出旋转后的图案,写出作法并回答。
(1)这两个图形是中心对称图形吗?
如果是对称中心是哪一点?
如果不是,请说明理由。
(2)如果是中心对称,那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点。
(1)根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形,对称中心就是旋转中心。
(2)旋转后的对应点,便是中心的对称点。
(1)延长AD,并且使得DA′=AD
(2)同样可得:
BD=B′D,CD=C′D
(3)连结A′B′、B′C′、C′D,则四边形A′B′C′D为所求的四边形,如图23-44所示。
答:
(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形,对称中心是D点。
(2)A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′,这里的D′与D重合。
例2、如图,已知AD是△ABC的中线,画出以点D为对称中心,与△ABD成中心对称的三角形。
因为D是对称中心且AD是△ABC的中线,所以C、B为一对的对应点,因此,只要再画出A关于D的对应点即可。
(1)延长AD,且使AD=DA′,因为C点关于D的中心对称点是B(C′),B点关于中心D的对称点为C(B′)
(2)连结A′B′、A′C′。
则△A′B′C′为所求作的三角形,如图所示。
1、如图,在△ABC中,∠C=70°
,BC=4,AC=4,现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置。
(1)若平移的距离为3,求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积。
(2)若平移的距离为x(0≤x≤4),求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y,写出y与x的关系式。
(1)∵BC=4,AC=4
∴△ABC是等腰直角三角形,易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1
(2)∵平移的距离为x,∴BC′=4-x
(1)∵CC′=3,CB=4且AC=BC
∴BC′=C′D=1
∴S△BDC`=
×
1×
1=
(2)∵CC′=x,∴BC′=4-x
∵AC=BC=4
∴DC′=4-x
(4-x)(4-x)=
x2-4x+8
1、中心对称及对称中心的概念;
2、关于中心的对称点的概念及其运用。
1、教材P73练习1。
中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°
第五课时、中心对称
【教学内容】关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。
理解关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分;
理解关于中心对称的两个图形是全等图形;
掌握这两个性质的运用。
复习中心对称的基本概念(中心对称、对称中心,关于中心的对称点),提出问题,让学生分组讨论解决问题,老师引导总结中心对称的基本性质。
关于中心对称的两个图形,对应点所连线都经过对称中心,而且被对称中心所平分。
中心对称的两条基本性质及其运用。
让学生合作讨论,得出中心对称的两条基本性质。
一、复习引入
1、什么叫中心对称?
什么叫对称中心?
2、什么叫关于中心的对称点?
3、请同学随便画一个三角形,以三角形一个顶点为对称中心,画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形,并分组讨论能得到什么结论。
二、新授:
在黑板上画一个三角形ABC,分两种情况作两个图形。
(1)作△ABC一顶点为对称中心的对称图形;
(2)作关于一定点O为对称中心的对称图形。
第一步,画出△ABC。
第二步,以△ABC的C点(或O点)为中心,旋转180°
画出△A′B′和△A′B′C′,如图1和用2所示。
(1)
(2)
从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形;
分别连接对称点AA′、BB′、CC′,点O在这些线段上且O平分这些线段。
下面,我们就以图2为例来证明这两个结论。
证明:
(1)在△ABC和△A′B′C′中,
OA=OA′,OB=OB′,∠AOB=∠A′OB′
∴△AOB≌△A′OB′
∴AB=A′B′
同理可证:
AC=A′C′,BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′
(2)点A′是点A绕点O旋转180°
后得到的,即线段OA绕点O旋转180°
得到线段OA′,所以点O在线段AA′上,且OA=OA′,即点O是线段AA′的中点。
同样地,点O也在线段BB′和CC′上,且OB=OB′,OC=OC′,即点O是BB′和CC′的中点。
因此,我们就得到:
1、关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。
2、关于中心对称的两个图形是全等图形。
例1、如图,已知△ABC和点O,画出△DEF,使△DEF和△ABC关于点O成中心对称。
中心对称就是旋转180°
,关于点O成中心对称是绕O旋转180°
,因此,我们连AO、BO、CO并延长,取与它们相等的线段即可得到。
(1)连结AO并延长AO到D,使OD=OA,于是得到点A的对称点D,如图所示。
(2)同样画出点B和点C的对称点E和F。
(3)顺次连结DE、EF、FD。
则△DEF即为所求的三角形。
例2、如图,已知四边形ABCD和点O,画四边形A′B′C′D′,使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称(只保留作图痕迹,不要求写出作法)。
学生分组讨论,教师巡视;
指名回答,教师小结。
1、填空题:
(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过__________,而且被对称中心所________。
(2)关于中心对称的两个图形是_________图形。
(