行列式的计算技巧总结Word文件下载.docx
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a23
a31
a32
a33
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
a11a23a32a12a21a33a13a22a31-
从二、三阶行列式的内在规律引出
n阶行列式的定义.
设有n2个数,排成n行n列的数表
an1
an2
a1n
a2n
ann
即n阶行列式.这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的
乘积
的代数和,这里jij2
则带有符号:
当jij2
jn是1,2,,n的一个排列,每一项⑴都按下列规
jn是偶排列时,⑴带正号;
当jij2jn是奇排列
时,⑴带负号.
ai1ai2
a21a22
a1n
a2n
ann
1
j1j2jn
j』jn
a1j1a2j2
anjn
即
这里表示对所有n级排列求和.
J1J2Jn
1.2行列式的性质
性质2
一个数乘行列式的一行
(或列),等于用这个数乘此行列
性质1行列互换,
行列式不变.
an
kai1
kai2
kain
k
ai1
ain
an1
性质3如果行列式的某一行(或列)是两组数的和,那么该行列
式就等于两个行列式的和,且这两个行列式除去该行(或列)以外的
各行(或列)全与原来行列式的对应的行(或列)一样.即
M
bc
ai2K
b2C2Kbncn
an2K
K
3
b2
bn
Ci
C2
Cn
ani
性质
4如果行列式中有两行
(或列)
对应元素相同或成比例,那
么行列式为零.即
al1
ain
ani
=0.
性质5把一行的倍数加到另一行,行列式不变.即
ai1cak1
ai2Cak2
ak1
ak2
3n2
ain
ainCakn
akn
aki
性质6对换行列式中两行的位置,行列式反号•即
性质7行列式一行(或列)元素全为零,则行列式为零.即
ai1ai2C’n-Iain
00000.
an1an2an,n-1ann
2、行列式的几种常见计算技巧和方法
2.1定义法
适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计算量大,有一定的局限性.
计算行列式0
解析:
这是一个四级行列式,在展开式中应该有424项,但由
于出现很多的零,所以不等于零的项数就大大减少.具体的说,展开
式中的项的一般形式是a2j2a3j3a4j4.显然,如果h4,那么a“0,
从而这个项就等于零•因此只须考虑ji4的项,同理只须考虑
j23,j32,j41的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有
ai4a23a32a41
4321
6,所以此项取正号•故
a14a23a32a41
24.
0=
2.2利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形•该
方法适用于低阶行列式.
2.2.1化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:
1a1a2
例2计算行列式Dn1
1a1b1a2
anbn
a3n
a11a22ann,
311322Ann・
an1an2an3
观察行列式的特点,主对角线下方的元素与第一行元素对
应相同,故用第一行的1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元
素全部变为零•即:
化为上三角形.
解:
将该行列式第一行的
倍分别加到第2,3•••(n1)行上去,
可得
Dn1
abM
a2
O
b]b2Kbi.
222连加法
这类行列式的特征是行列式某行(或列)加上其余各行(或列)
后,使该行(或列)元素均相等或出现较多零,从而简化行列式的计
算•这类计算行列式的方法称为连加法.
x1m
X2
Xn
例3计算行列式
Dn
x2m
Xi
Xnm
D
n
i1
m
Xim.
223滚动消去法
当行列式每两行的值比较接近时,可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍,这种方法叫滚动消去法.
例4计算行列式Dn
2
n1
从最后一行开始每行减去上一行,
有
12n2
2.2.4逐行相加减
对于有些行列式,
虽然前
n行的和全相同,但却为零•用连加法明
显不行,这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.
a1
例5计算行列式D
a3
ar
将第一列加到第二列,新的第二列加到第三列,以此类推,得:
a100
0a20
D00a3
000
00
an0
1n1a1a2
1n1a1a2an.
例6解行列式Dn
x1
a?
a1
2.3降阶法
将高阶行列式化为低阶行列式再求解.
2.3.1按某一行(或列)展开
x10
0x1
00x
anan1an2
按最后一行展开,得
Dna1xn1a2xn2an1xan.
2.3.2按拉普拉斯公式展开
拉普拉斯定理如下:
设在行列式D中任意选定了k1kn-1个
行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即
DM1A1M2A2MnAn,其中Ai是子式Mi对应的代数余子式.
Bnn
Ann
Cnn
0Bnn
Ann?
B
nn・
aaaa
b
例7解行列式Dnb
从第三行开始,每行都减去上一行;
再从第三列开始,每列都加
到第二列,得
Dn0
aaa
n1aa
n2
n1a
?
bn2
n2n1ab
2.4升阶法
就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式,再通过性质化简算出结果,这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后,就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0,这样就达到简化计算的效果.
其中,添加行与列的方式一般有五种:
首行首列,首行末列,末行首列,末行末列以及一般行列的位置.
11
一110
例8解行列式D=
01
10
使行列式D变成n1阶行列式,即
111
001
010
再将第一行的1倍加到其他各行,得:
D=
从第二列开始,每列乘以
1加到第一列,得:
(n1)11
1n1.
2.5数学归纳法
有些行列式,可通过计算低阶行列式的值发现其规律,然后提出假设,再利用数学归纳法去证明•对于高阶行列式的证明问题,数学归纳法是常用的方法.
cos
2cos
例9计算行列式Dn
用数学归纳法证明
当n1时,D1cos
当n2时,d2
猜想,Dncosn
由上可知,当n
假设当nk时,
也成立.
k1时,
将Dk
因为
Dk
2cos
2cos21cos2
2时,结论成立.
结论成立.
即:
cosk.现证当n
1时,结论
Dk1
1按最后一行展开,
cosk,
1?
DkDk1.
cosk
cosk
coskcossinksin
所以
coskcos
sinksin
1.
这就证明了当nk1时也成立,从而由数学归纳法可知,对一切的自然数,结论都成立.
Dncosn.
2.6递推法
技巧分析:
若n阶行列式D满足关系式
aDnbDn1cDn20.
则作特征方程
ax2bxc0.
1若0,则特征方程有两个不等根,则DnAx1n1Bx2n1.
2求出.
若0,则特征方程有重根x1x2,则DnAnBx1n1.
在①②中,A,B均为待定系数,可令n1,n
9
5
4
例10计算行列式Dn
按第一列展开,得
Dn9Dn120Dn2.
Dn9Dn120Dn20•
作特征方程
x9x200.
解得
x14,x25.
则
DnA?
4n1B?
5n1.
当n1时,9AB;
当n2时,614A5B.
A16,B25,
Dn5n14n1.
3、行列式的几种特殊计算技巧和方法
3.1拆行(列)法
3.1.1概念及计算方法
拆行(列)法(或称分裂行列式法),就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,然后再求行列式的值•拆行(列)法有两种情况,一是行列式中有某行(列)是两项之和,可直接利用性质拆项;
二是所给行列式中行(列)没有两项之和,这时需保持行列式之值不
变,使其化为两项和.
3.1.2
例题解析
1a1
a2a3
例11
计算行列式Dn
1an
把第一列的兀糸看成两项的和进仃拆列,
得
101a2
1a3
an1
an1
上面第一个行列式的值为
1,
Dn1a1
1a?
1a1Dn1.
这个式子在对于任何n
都成立,
因此有
a1Dn
a11
a2Dn2
1da?
an
ii
1aj.
3.2构造法
3.2.1概念及计算方法
有些行列式通过直接求解比较麻烦,这时可同时构造一个容易求
虽然Dn不是范德蒙德行列式,
行列式来间接求出Dn的值.
构造n1阶的范德蒙德行列式,得
但可以考虑构造n1阶的范德蒙德
解的行列式,从而求出原行列式的值.
3.2.2例题解析
X1
例12求行列式Dn
X
fX
A门1an
An,n1XAn1,n1X,
将fX按第n1列展开,得
fXA,n1AzniX
其中,x的系数为
An,n1
nn1
1DnDn.
又根据范德蒙德行列式的结果知
fxX%
X2XXnXiXj
1jin
由上式可求得
Xn1的系数为
XnXiXj.
故有
DnX1
3.3特征值法
3.3.1概念及计算方法
设1,2,n是n级矩阵A的全部特征值,则有公式
A12n.
A的行列
A可逆当且
故只要能求出矩阵A的全部特征值,那么就可以计算出式.
3.3.2例题解析
例13若1,2,n是n级矩阵A的全部特征值,证明:
仅当它的特征值全不为零.
证明:
因为A12n,则
A可逆A012n0i0i1,2n.
A可逆当且仅当它的特征值全不为零.
4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法
4.1三角形行列式
4.1.1概念
形如
ana12
31n
an3
这样的行列式,
形状像个三角形,故称为“三角形”行列式.
4.1.2计算方法
由行列式的定义可知,
a1n
a3na11a22ann,
&
11&
22ann•
4.2“爪”字型行列式
4.2.1概念
ao
b1
C1
C
a〔C[
bi
b1ao
字型行列式.
“爪”
“爪”字,故称它们为
这样的行列式,形状像个
422计算方法
利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”,均可把行列式化
成“三角形”行列式.此方法可归纳为:
“爪”字对角消竖横.
4.2.3
例14
计算行列式
,其中ai0,i1,2,n.
分析:
这是一个典型的
字型行列式,计算时可将行列式的第
i(i2,3,n.)列元素乘以
—后都加到第一列上,原行列式可化为三
ai
角形行列式.
aob1b2
概念
4.3.2计算方法
4.3
a111
1a2
ana1
“么”
i2ai
字型行列式
4.3.1
bnb2dao
a〔c〔
C2
a2b2
C2&
anCn
C1ao
aobb2bn
C1a〔
C2a2
a2C2
a〔g
Cnan
bnb2b1ao
样的行列式,
字,
b2b1ao
形状像个“么”
c
因此常称它们为“么”
th
利用“么”字的一个撇消去另一个撇,就可以把行列式化为三角形行列式.此方法可以归纳为:
“么”字两撇相互消.
注意:
消第一撇的方向是沿着“么”的方向,从后向前,利用an消
去Cn,然后再用ani消去Cni,依次类推.
4.3.3例题解析
例15计算n1阶行列式Dni
11b1
bn1
从最后一行开始后一行加到前一行(即消去第一撇)
,得
i1n
1bi
nn1
1
12
nn3
bn1bn
4.4“两线”型行列式
4.4.1概念