行列式的计算技巧总结Word文件下载.docx

1、a23a31a32a33a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32a11a23a32 a12a21 a33 a13a22a31 -从二、三阶行列式的内在规律引出n阶行列式的定义.设有n2个数，排成n行n列的数表an1an2a1na2nann即n阶行列式.这个行列式等于所有取自不同行不同列的 n个元素的乘积的代数和，这里jij2则带有符号：当jij2jn是1,2, , n的一个排列，每一项都按下列规jn是偶排列时，带正号；当ji j2 jn是奇排列时，带负号.ai1 ai2a 21 a 22a 1 na 2 na nn1j1j2 jnjjna1j1a2j2anjn即这里 表示对所

2、有n级排列求和.J1J2 Jn1.2行列式的性质性质2一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列性质1行列互换，行列式不变.ankai1kai2kainkai1aina n1性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样.即Mb cai2 Kb2 C2 K bn cnan2 KK3b2bnCiC2Cnani性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零.即al1a ina ni=0.性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即ai1 ca k1ai

3、2 Cak2ak1ak23n2ai na in Ca knakna ki性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号即性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零.即ai1 ai2 Cn-I ain0 0 0 0 0.an1 an2 an,n-1 ann2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计 算量大，有一定的局限性.计算行列式0解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有 4 24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少.具体的说，展开式中的项的一般形式是a2j2 a3j3a4j4 .显然，如果h 4，那么a“ 0，从而

4、这个项就等于零因此只须考虑ji 4的项，同理只须考虑j2 3, j3 2, j4 1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有ai4a23a32a4143216，所以此项取正号故a14a23a32a4124.0 =2.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 该方法适用于低阶行列式.2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：1 a1 a2例2计算行列式Dn 11 a1 b1 a2an bna3na11 a22 ann ，311322 Ann an1 an2 an3观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的 1倍加到下

5、面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零即：化为上三角形.解：将该行列式第一行的倍分别加到第2,3 （ n 1）行上去,可得Dn 1a b Ma2Obb2K bi.222连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算这类计算行列式的方法称为连加法.x1 mX2Xn例3计算行列式Dnx2 mXiXn mDni 1mXi m .223滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或 者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法.例4计算行列式Dn2n 1从最后一行开始每行减去上一行,有1 2n 22.2.

6、4逐行相加减对于有些行列式,虽然前n行的和全相同，但却为零用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.a1例5计算行列式Da3ar将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得:a1 0 00 a2 0D 0 0 a30 0 00 0an 01 n 1 a1a21 n 1 a1a2 an.例6 解行列式Dnx 1a? a 12.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展开x 1 00 x 10 0 xan an 1 an 2按最后一行展开，得Dn a1xn 1 a2xn 2 an 1x an.2.3.2按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式

7、 D中任意选定了 k1 k n-1个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的 和等于行列式D.即D M1A1 M2A2 MnAn，其中Ai是子式Mi对应的代数余子式.BnnAnnCnn0 BnnAnn?Bnna a a ab例7解行列式D n b从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得Dn 0a a an 1 a an 2n 1 a?b n 2n 2 n 1 ab2.4升阶法就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质 化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法升阶法 的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升阶之后

8、，就可以利 用行列式的性质把绝大多数元素化为 0，这样就达到简化计算的效果.其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末 行首列，末行末列以及一般行列的位置.1 1一 1 1 0例8解行列式D=0 11 0使行列式D变成n 1阶行列式，即1 1 10 0 10 1 0再将第一行的 1倍加到其他各行，得:D=从第二列开始，每列乘以1加到第一列，得:（n 1） 1 11 n 1 .2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出 假设，再利用数学归纳法去证明对于高阶行列式的证明问题，数学 归纳法是常用的方法.cos2 cos例9计算行列式Dn用数学归纳法证明当

9、n 1 时，D1 cos当n 2时，d2猜想，Dn cosn由上可知，当n假设当n k时,也成立.k 1时,将Dk因为Dk2cos2cos2 1 cos22时，结论成立.结论成立.即：cosk .现证当n1时，结论Dk 11按最后一行展开,cosk ,1 ?Dk Dk1.cos kcoskcosk cos sink sin所以cosk cossink sin1.这就证明了当 n k 1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自 然数，结论都成立 Dn cosn .2.6 递推法技巧分析：若n阶行列式D满足关系式aDn bDn 1 cDn 2 0.则作特征方程ax 2 bx c 0.1若 0，则

10、特征方程有两个不等根，则 Dn Ax1n 1 Bx2n 1 2 求出若 0 ，则特征方程有重根 x1 x2 ，则 Dn A nB x1n 1在中， A，B 均为待定系数，可令 n 1,n954例10计算行列式Dn按第一列展开，得D n 9Dn 1 20 Dn 2 .D n 9D n 1 20Dn 2 0 作特征方程x 9x 20 0.解得x1 4, x2 5.则Dn A?4n1 B?5n1.当 n 1 时，9 A B ;当 n 2 时，61 4A 5B.A 16, B 25 ,Dn 5n 1 4n 1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或

11、称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两 个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值拆行（列）法有两种 情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项； 二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和.3.1.2例题解析1 a1a2 a3例11计算行列式Dn1 an把第一列的兀糸看成两项的和进仃拆列,得1 0 1 a21 a3a n 1an 1上面第一个行列式的值为1,Dn 1 a11 a?1 a1D n 1 .这个式子在对于任何n都成立,因此有a1D na1 1a2 Dn 21 da? ani i1 aj .3.2构造法3.2.1概念及计算方法有

12、些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求虽然Dn不是范德蒙德行列式，行列式来间接求出Dn的值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得但可以考虑构造 n 1阶的范德蒙德解的行列式，从而求出原行列式的值.3.2.2例题解析X1例12求行列式DnXf XA 门 1 a nAn,n 1 X An 1,n 1X ，将f X按第n 1列展开，得f X A,n 1 Azn iX其中，x的系数为An,n 1,n n 11 Dn Dn .又根据范德蒙德行列式的结果知f x X %X2 X Xn Xi Xj1 j i n由上式可求得Xn 1的系数为Xn Xi Xj .故有Dn X13.3特征值法3.3.1

13、概念及计算方法设1, 2, n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式A 1 2 n .A的行列A可逆当且故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出 式.3.3.2例题解析例13若1, 2, n是n级矩阵A的全部特征值，证明：仅当它的特征值全不为零.证明：因为A 1 2 n，则A 可逆 A 0 1 2 n 0 i 0i 1,2 n .A可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念形如an a1231nan3这样的行列式,形状像个三角形，故称为“三角形”行列式.4.1.2计算方法由行列式的定义可知,a1 na3n a11a22 ann

14、,&11&22 ann 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念aob1C1Ca Cbib1 ao字型行列式.“爪”“爪”字，故称它们为这样的行列式，形状像个422计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式.此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横.4.2.3例14计算行列式，其中 ai 0,i 1,2, n.分析:这是一个典型的字型行列式，计算时可将行列式的第i（i 2,3, n.）列元素乘以后都加到第一列上，原行列式可化为三ai角形行列式.ao b1 b2概念4.3.2计算方法4.3a1 1 11 a2an a1“么”i 2 ai字型行列式4.3.1bn

15、 b2 d aoa c C2a2 b2C2 &an CnC1 aoao b b2 bnC1 aC2 a2a2 C2a gCn anbn b2 b1 ao样的行列式,字,b2 b1 ao形状像个“么”c因此常称它们为“么”th利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角 形行列式.此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消.注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用an消去Cn，然后再用ani消去Cni，依次类推.4.3.3例题解析例15计算n 1阶行列式Dn i1 1 b1bn 1从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得i 1 n1 bin n 1 11 2n n 3bn 1 bn4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念