高考数学大一轮复习 81空间几何体的表面积和体积学案 理 苏教版.docx

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高考数学大一轮复习81空间几何体的表面积和体积学案理苏教版

2019-2020年高考数学大一轮复习8.1空间几何体的表面积和体积学案理苏教版

导学目标：

1.了解球、柱、锥、台的表面积及体积的计算公式（不要求记忆）.2.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行计算．

自主梳理

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

面积

体积

圆柱

S侧＝________

V＝____＝________

圆锥

S侧＝________

V＝________＝________

＝πr2

圆台

S侧＝________

V＝（S上＋S下＋）h

＝π（r＋r＋r1r2）h

直棱

柱

S侧＝____

V＝____

正棱锥

S侧＝________

V＝________

正棱台

S侧＝________

V＝（S上＋S下＋）h

球

S球面＝________

V＝________

2．几何体的表面积

（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是________________．

（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于________________________________．

自我检测

1．一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的对角线长为________．

2．（教材改编）表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．

3．（教材改编）球的体积为，一个正方体的顶点都在球面上，则正方体的体积为________．

4．圆台的一个底面周长为另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面半径为_________________________________________________________．

5．（xx·南京模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为____________________________________________________________．

探究点一　多面体的表面积及体积

例1　三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．

变式迁移1　已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面面积为________．

探究点二　旋转体的表面积及体积

例2　

如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中∠BAC＝30°）及其体积．

变式迁移2　直三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．

探究点三　割补法与等积变换法

例3如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，

且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．

变式迁移3

（1）如图所示，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截下部分的体积是____________．

（2）（xx·辽宁改编）正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为________．

1．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．

2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利．

（1）几何体的“分割”：

几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．

（2）几何体的“补形”：

与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．

（满分：

90分）

一、填空题（每小题6分，共48分）

1．（xx·东北育才学校三模）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于________．

2．（xx·陕西改编）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．

3．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是________．

4．（xx·南京联考）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为________．

5．（xx·全国改编）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．

6．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．

7．（xx·苏州模拟）一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形（如图），用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.

8．（xx·湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________cm.

二、解答题（共42分）

9．（14分）（xx·徐州模拟）如图组合体中，三棱柱ABC—A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面．点C是弧AB的中点，求四棱锥A1—BCC1B1与圆柱的体积比．

10．（14分）（xx·抚顺模拟）如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

（1）求证：

BC⊥AD；

（2）试问该四面体的体积是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，说明理由．

11．（14分）（xx·南京模拟）如图，已知三棱锥P－ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB中点，M为PB中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.

（1）求证：

DM∥平面PAC；

（2）求证：

平面PAC⊥平面ABC；

（3）求三棱锥M－BCD的体积．

学案42　空间几何体的表面积和体积

答案

自主梳理

1．2πrh　Sh　πr2h　πrl　Sh　πr2h　π（r1＋r2）l

Ch　Sh　Ch′　Sh　（C＋C′）h′　4πR2　πR3　2.

（1）各面面积之和　

（2）侧面积与底面面积之和

自我检测

1.　2.2

3．1

解析　设球半径为R，则πR3＝，R＝，∴正方体对角线长为，棱长为1，体积为1.

4．7

解析　设上、下底半径为r、R，则2πR＝3·2πr，即R＝3r.

又π（R＋r）·l＝84π，∴R＋r＝＝28，∴r＝7.

5.a3

解析　设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，沿AC折起后依题意得，

当BD＝a时，BE⊥DE，所以DE⊥平面ABC，

于是三棱锥D－ABC的高为DE＝a，

所以三棱锥D－ABC的体积V＝·a2·a＝a3.

课堂活动区

例1　解题导引　对于斜棱柱表面积及体积的求解必须求各个侧面的面积和棱柱的高．

解决此类斜棱柱侧面积问题的关键：

在已知棱柱高的条件下，用线面垂直⇒线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相应的直角三角形中求解侧面的高．

解　

如图，过点A1作A1O⊥面ABC于点O，连结AO.

过点A1作A1E⊥AB于点E，过点A1作A1F⊥AC于点F，连结EO，FO，易得OE⊥AB，OF⊥AC，

∵AA1和AB与AC都成60°角，

∴△A1AE≌△A1AF，∴A1E＝A1F.

∵A1O⊥面ABC，∴EO＝FO.

∴点O在∠BAC的角平分线上，延长AO交BC于点D，

∵△ABC是正三角形，

∴BC⊥AD.∴BC⊥AA1.

∵AA1∥BB1，∴侧面BB1C1C是矩形，

∴三棱柱的侧面积为S＝2×3×4×sin60°＋3×4＝12＋12.

∵AA1＝3，AA1与AB和AC都成60°角，

∴AE＝.∵∠BAO＝30°，

∴AO＝，A1O＝.

∴三棱柱的体积为V＝×16×＝12.

变式迁移1　2＋4

解析　

如图所示，设D为BC的中点，连结A1D，AD.

∵△ABC为等边三角形，

∴AD⊥BC，∴BC⊥平面A1AD，

∴BC⊥A1A，

又∵A1A∥B1B，∴BC⊥B1B，

又∵侧面与底面边长都等于2，

∴四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.

作DE⊥AB于E，连结A1E，则AB⊥A1E，

又∵AD＝＝，DE＝＝，

∴AE＝＝，

∴A1E＝＝，

∴S四边形ABB1A1＝，∴S三棱柱侧＝2＋4.

例2　解题导引　解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算．求全面积时不要忘记“内表面”．

解　如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，

在半圆中可得∠BCA＝90°，

∠BAC＝30°，

AB＝2R，

∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，

∴S球＝4πR2，

S圆锥AO1侧＝π×R×R

＝πR2，S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，

∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧

＝πR2＋πR2＝πR2，

∴旋转所得到的几何体的表面积为πR2.

又V球＝πR3，V圆锥AO1＝·AO1·πCO

＝πR2·AO1，

V圆锥BO1＝BO1·πCO＝πR2·BO1，

∴V几何体＝V球－（V圆锥AO1＋V圆锥BO1）

＝πR3－πR3＝πR3.

变式迁移2　20π

解析　在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝2，由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径r＝2，设此圆圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，易得球半径R＝，故此球的表面积为4πR2＝20π.

例3　解题导引　求体积常用方法：

割补法和等积变换法．

（1）割补法：

对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常运用割补法：

将原几何体分割成几个可求体积的几何体，或利用平移、旋转或对称等手段，将原几何体补成便于求体积的几何体．

（2）等积变换法：

求锥体的体积，要选择适当的底面和高，任何一个面均可作为底面，且常用“等积性”求点到面的距离．

答案　

解析　如图所示，过BC作EF的直截面BCG，作面ADM∥面BCG，FO＝，FG＝.

∴GO＝＝，

∴S△BCG＝×1×＝，

V1＝VBCG－ADM＝S△BCG·AB＝，

V2＝2VF－BCG＝2×××＝.

∴V＝V1＋V2＝.

变式迁移3

（1）πr2　

（2）2∶1

解析　

（1）补上一个相同形状的几何体，如图所示，可得底面半径为r，高为（a＋b）的圆柱，故所求的体积为

πr2（a＋b）．

（2）由题意可知VB－GAC＝VP－GAC，

∵三棱锥VB－GAC＝VG－BAC，VD－GAC＝VG－ADC，

又∵三棱锥G－BAC与三棱锥G－ADC等高，且S△BAC∶S△ADC＝1∶2，

综上可知VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.

课后练习区

1.

解析　设圆柱的底面半径为r，则高为2r，

S＝2πr×2r，∴r＝，

V＝πr2×2r＝2πr3＝2π（）3

＝2π××＝.

2.

解析　由题意可知，此几何体是由同底面的两个正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1