泊松分布的应用.docx

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泊松分布的应用

泊松分布的应用

泊松分布的应用

其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔内出现质点数目的计数。

一、泊松分布的概念：

泊松分布常用于描述单位时间、单位平面或单位空间中罕见“质点”总数的随机分布规律。

定义1设随机变量的可能取值为且为常数。

则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X～P（λ）。

定义2　设ε是任意一个随机变量,称是ε的特征函数。

主要结论：

定理1　如果X是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E（X）=λ且D（X）=λ。

证明　设X是一随机变量,若存在,则称它为X的方差,记作D（X）,即。

设X服从泊松分布P（X）,即有:

则

从而

故

定理2　设随机变量服从二项分布,其分布律为

。

又设是常数,则。

证明　由得:

显然,当k=0时,故。

当k≥1且k→∞时,有

从而，故。

定理3　设是服从参数为λ的泊松分布的随机向量,则:

证明　已知的特征函数为,故的特征函数为:

对任意的t,有。

于是。

从而对任意的点列,有。

但是是N（0,1）分布的特征函数,由于分布函数列弱收敛于分布函数F（x）的充要条件是相应的特征函数列{Φn（t）}收敛于F（x）的特征函数Φ（t）。

所以成立;又因为是可以任意选取的,这就意味着成立。

图一泊松分布示意图

三、泊松分布及泊松分布增量

1.泊松分布产生的一般条件

在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件,我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流。

若事件流具有平稳性、无后效性、普通性,则称该事件流为泊松事件流（泊松流）。

例如一放射性源放射出的α粒子数;某电话交换台收到的电话呼叫数;到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数;等这些事件都可以看作泊松流。

2.泊松分布及泊松分布增量的概率

（1）泊松分布的概率:

对泊松流,在任意时间间隔（0,t）内,事件出现的次数服从参数为λt的泊松分布,λ称为泊松流的强度。

设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,⋯,且概率分布为:

其中是常数,则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X～P（λ）。

（2）泊过分布增量的概率:

由上式易知增量的概率分布是参数=的泊松分布,且只与时间有关。

3.泊松分布的期望和方差：

由泊松分布知

特别地,令,由于假设N（0）=0,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为：

泊松过程的强度λ（常数）等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值。

即对泊松分布有:

四、泊松分布的特征

1．泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。

要观察到这类事件,样本含量n必须很大。

2.是泊松分布所依赖的唯一参数。

值愈小,分布愈偏倚,随着的增大,分布趋于对称。

3.当=20时分布泊松分布接近于正态分布;当=50时,可以认为泊松分布呈正态分布。

在实际工作中,当≥20时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。

五、泊松分布与二项分布、正态分布之间的关系

1.二项分布与泊松分布之间的关系 

  定理（泊松定理）在n重伯努利试验中，事件A在每次实验中发生的概率为Pn，它与试验次数有关，，则对任意给定的m，有 

由该定理可知，当二项分布b（n,p）的参数n很大，p很小，而λ=np大小适中时，实际中n>100，p<0.1，np<10时，二项分布可用参数为λ=np的泊松分布来近似，即 

这就是二项分布的泊松逼近。

当然n应尽可能地大，否则近似效果往往不佳。

二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件（即每次试验中事件出现的概率p很小），当伯努利试验的次数n很大时，事件发生的频数的分布。

实际表明，在一般情况下，当 p<0.1时，这种近似是很好的，甚至n不必很大都可以，这点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。

例如，当p=0.01时，甚至n=2时，这种近似程度已经很好了。

表1说明了这一情况，其中np=0.02。

表一二项分布与泊松分布的比较

2.泊松分布与正态分布之间的关系 

由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似，也可以用正态分布近似。

显然，泊松分布和正态分布在一定条件下也具有近似关系，下面的定理说明泊松分布的正态逼近。

定理对任意的a

如前文所述，二项分布的泊松近似和正态近似各自适用的条件是不同的。

当p很小时，即使n不是很大，用泊松分布近似二项分布，已经相当吻合。

但是在这种倩形下，用正态分布去近似二项分布，却会产生较大的误差。

直观上也可以想象得到，p很小，n又不大，则np=λ一定不会很大。

由上述定理可知，正态分布就不能很好地近似泊松分布，因而也就不能近似被泊松分布十分逼近的二项分布。

在n充分大，P既不接近于0也不接近于1时（实际上最好满足0.1

  表2是用泊松分布与正态分布去近似二项分布b（n,p）的比较，其中，n=2500，p=0.02，np=50,7。

可见，在数值上三者是大致相等的。

表二泊松分布、正态分布、二项分布的比较

  由上述定理易知，泊松分布X~π（λ）当极限分布是正态分布N（λ,λ）。

综上所诉，二项分布b（n,p）的参数n很大，p很小，而λ=np大小适中时，二项分布可用参数为λ=np的泊松分布来近似；泊松分布泊松分布X~π（λ）当λ充分大时的极限分布是正态分布N（λ,λ），并且泊松分布的分布函数π（λ）与正态分布的分布函数N（λ,λ）近似相等。

六、泊松分布的应用

1.二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件,即每次试验中事件出现的概率p很小,而贝努里试验的次数n很大时,事件发生的概率。

例1通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为p=0.0001,假设在某路段时间内有1000辆汽车通过此路口,试求在此时间内发生事故次数X的概率分布和发生2次以上事故的概率。

分析　首先在某时间段内发生事故是属于稀有事件,观察通过路口的1000辆汽车发生事故与否,可视为是n=1000次伯努里试验,出现事故的概率为p=0.0001,因此X是服从二项分布的,即。

由于n=1000很大,且p=0.0001很小,上面的式子计算工作量很大,则可以用:

求近似.注意到,故有.

2.泊松分布可以计算大量试验中稀有事件出现频数的概率。

这里的频数指在相同条件下,进行大量试验,在这大量试验中,稀有事件发生的次数。

例2已知患色盲者占0.25%,试求:

①为发现一例色盲者至少要检查25人的概率;②为使发现色盲者的概率不小于0.9,至少要对多少人的辨色力进行检查?

分析　设X表示恰好发现一例患色盲者所需要检查的人数,则。

解　

设至少对n个人的辨色能力进行检查,于是p{x≤n}≥0.9。

从而:

由,得.因此至少要检查920人。

3.泊松分布在生物学中的应用：

在生物学研究中,服从泊松分布的随机变量是常见的，如每升饮水中大肠杆菌数,计数器小方格中血球数,单位空间中某些野生动物或昆虫数等都是服从泊松分布的。

泊松分布在生物学领域中有着广阔的应用前景，对生物学中所涉及到的概率研究起到了重要的指导作用。

例3：

泊松分布在估计一个基因文库所需克隆数中的应用

判断基因克隆过程的分布情况：

由于基因组DNA是从大量细胞中提取的,每个细胞中均含有全部基因组DNA,那么每一种限制性片段的数目是大量的,因此可以说各限制性片段的数目是相等的。

在基因克隆中,基因组DNA用限制性酶切割后与载体混合反应以及随后的过程均是随机的生化反应过程。

一,对克隆来说一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆,只有这两种结果;第二,由于总体限制性片段是大量的,被克隆的对总体影响很小;第三,在克隆中一片段被克隆的概率为f（f较小）,不被克隆的概率为1-,f且克隆时这两种概率都不变。

综上所述,基因克隆过程符合泊松分布。

设p为基因被克隆的概率;N为要求的克隆的概率为p时一个基因文库所需含有重组DNA的克隆数;f为限制性片段的平均长度与基因组DNA总长度之比,若基因组DNA被限制性酶切割成n个DNA片段,f即。

则在克隆数为N时，任一段被克隆一次或一次以上的概率为，可推出,一般要求目的基因序列出现的概率p的期望值定为99%，那么。

在分子生物学中，上述一个完整的基因文库所需克隆数的估计对基因克隆实验方案的设计具有重要意义。

4.泊松分布在物理学中的应用：

泊松分布在物理学中的应用十分广泛，如热电子的放射，某些激光场的分布等等都服从泊松分布。

例4：

对某一放射性物质而言,各相邻原子群体之间,其中一个原子核的衰变,对相邻的原子核而言,可视为外界的变化,而这种外界的变化,不会影响相邻原子核的衰变过程。

即在某一放射性物质中,各个原子核的衰变过程,互不影响,相互独立。

因此衰变过程满足独立性。

放射性原子核的衰变过程是一个相互彼此无关的过程，所以放射性原子核衰变的统计计数可以看成是一种伯努利试验问题。

若在一个原子核体系中，单位时间原子核发生衰变的概率为，则没有发生衰变的概率为。

由二项分布得到，在t时间内的核衰变数为n的概率为。

（1）

由于在放射性衰变中，原子核数目很大，而p相对很小，并且满足，所以上式可以近似化为泊松分布，因为此时，对于附近的值可得到：

带入

（1）式中得到：

令，得到:

即为泊松分布。

并且有。

参考文献

[1]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社.

1983.10.

[2]复旦大学编.概率论（第一册）.概率论基础[M].人民教育出版

社.1979.

[3]王梓坤.概率论基础及应用[M].科学出版社1976.9.

[4]潘孝瑞,邓集贤1概率引论及数理统计应用[M]1北京:

高等教育出版社,19861

[5]赵瑛.关于泊松分布及其应用.辽宁省交通高等专科学校学报. 

[6]庄军，林奇英.泊松分布在生物学中的应用.激光生物学报