312用二分法求方程的近似解教案人教A版必修1Word文档格式.docx

312用二分法求方程的近似解教案人教A版必修1Word文档格式.docx

《312用二分法求方程的近似解教案人教A版必修1Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《312用二分法求方程的近似解教案人教A版必修1Word文档格式.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

【提示】　报价值为竞猜前手机价格所在范围的中间值．

对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·

f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

在上述猜物品价格的实例中，竞猜的过程是否有规律可循？

【提示】　竞猜过程归结为：

设原价为x，则

（1）给定价格区间[a，b]；

（2）求区间（a，b）的中点c；

（3）若c>

x，则在区间（a，c）内竞猜；

若c<

x，则在区间（c，b）内竞猜；

（4）依次类推，直到猜出原价x.　

给定精确度ε，用二分法求f（x）零点近似值的步骤如下

（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·

f（b）＜0，给定精确度ε；

（3）计算f（c），

若f（c）＝0，则c就是零点；

若f（a）·

f（c）＜0，则令b＝c（此时零点x0∈（a，c））；

若f（c）·

f（b）＜0，则令a＝c（此时零点x0∈（c，b））．

（4）判断是否达到精确度ε：

即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b），否则重复

（2）～（4）.

　下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（　　）

【思路探究】　

【自主解答】　利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f（a）·

f（b）<

0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.

【答案】　B

判断一个函数能否用二分法求零点的依据是：

函数图象在零点附近是连续不断的，且该零点是变号零点．

下列函数中不能用二分法求零点的是（　　）

A．f（x）＝3x－1　B．f（x）＝x3

C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx

【解析】　结合函数f（x）＝|x|的图象可知，该函数在x＝0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．

【答案】　C

用二分法求函数的零点

用二分法求函数f（x）＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点（精确度0.01）．

→

【自主解答】　经计算，f

（1）<

0，f（1.5）>

0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.

取区间（1,1.5）的中点x1＝1.25，经计算f（1.25）<

0，因为f（1.5）·

f（1.25）<

0，所以x0∈（1.25,1.5）．

如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：

（a，b）

（a，b）的中点

f（a）

f（b）

f

（1,1.5）

1.25

f

（1）<

f（1.5）>

（1.25,1.5）

1.375

f（1.375）>

（1.25,1.375）

1.3125

f（1.3125）<

（1.3125，1．375）

1.34375

f（1.3125）<

f（1.34375）>

（1.3125，1．34375）

1.328125

f（1.34375）>

f（1.328125）>

（1.3125，1．328125）

1.3203125

f（1.3203125）<

因为|1.328125－1.3203125|＝0.0078125<

0.01，所以函数f（x）＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328125.

1．用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则

（1）需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）．

（2）取区间端点的平均数c，计算f（c），确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．

2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀

定区间，找中点，中值计算两边看．

同号丢，异号算，零点落在异号间．

重复做，何时止，精确度来把关口．

已知f（x）＝

－lnx在区间（1,2）内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值（精确度0.2），则最多需要将区间等分的次数为（　　）

A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6

【解析】　由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次f

>

0，区间长度

＝0.5>

0.2，分二次，f

＝0.25>

0.2，

分三次f

<

＝

所以最多分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2.

【答案】　A

用二分法求方程的近似解

　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解（精确度0.1）．

【思路探究】　构造函数f（x）＝2x3＋3x－3→确定初始区间（a，b）→二分法求方程的近似解→验证|a－b|<

0.1是否成立→下结论

【自主解答】　令f（x）＝2x3＋3x－3，经计算，f（0）＝－3<

0，f

（1）＝2>

0，f（0）·

0，

所以函数f（x）在（0,1）内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在（0,1）内有解．

取（0,1）的中点0.5，经计算f（0.5）<

0，又f

（1）>

所以方程2x3＋3x－3＝0在（0.5,1）内有解．

如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：

中点c

f（

）

（0,1）

0.5

f（0）<

f

（1）>

f（0.5）<

（0.5,1）

0.75

f（0.75）>

（0.5,0.75）

0.625

f（0.625）<

（0.625,0.75）

0.6875

f（0.6875）<

由于|0.6875－0.75|＝0.0625<

0.1，

所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.

根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f（x）＝0的近似解，即按照用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤求解．

用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解（精确度为0.2）．参考数据：

x

1.125

1.5

1.625

1.75

1.875

2x

2.18

2.38

2.59

2.83

3.08

3.36

3.67

【解】　令f（x）＝2x＋x－4，则f

（1）＝2＋1－4<

0，f

（2）＝22＋2－4>

0.

区间

区间中点值xn

f（xn）的值及符号

（1,2）

x1＝1.5

f（x1）＝0.33>

x2＝1.25

f（x2）＝－0.37<

x3＝1.375

f（x3）＝－0.035<

（1.375,1.5）

∵|1.375－1.5|＝0.125<

0.2，∴2x＋x＝4在（1,2）内的近似解可取为1.375.

巧用二分法求根式的近似值

　（12分）求

的近似值（精确到0.01）．

【思路点拨】　

【规范解答】　设x＝

，则x3－2＝0，令f（x）＝x3－2，则函数f（x）的零点的近似值就是

的近似值.2分

以下用二分法求其零点的近似值．由于f

（1）＝－1<

0，f

（2）＝6>

0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.4分

用二分法逐步计算，列表如下：

中点

中点函数值

[1,2]

[1,1.5]

－0.0469

[1.25,1.5]

0.5996

[1.25,1.375]

0.2610

[1.25,1.3125]

1.28125

0.1033

[1.25,1.28125]

1.265625

0.0273

[1.25,1.265625]

1.25781

－0.01

[1.25781,1.265625]

由于区间[1.25781,1.265625]的长度1.265625－1.25781＝0.007815<

0.01，所以这个区间的中点1.26可以作为函数f（x）零点的近似值，即

的近似值是1.26.12分

1．求根式的近似值，实质上就是将根式转化为方程的无理根，利用函数零点的性质，通过二分法求解．

2．二分法思想实质上是一种逼近思想，所求值与近似值间的差异程度取决于精确度ε.

1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．

2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：

（1）在区间[a，b]上连续不断；

（2）f（a）·

上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.

1．已知函数f（x）的图象如图3－1－1，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为（　　）

图3－1－1

A．4,4　B．3,4

C．5,4D．4,3

【解析】　由图象知函数f（x）与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f（a）·

0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．

【答案】　D

2．用二分法求函数f（x）＝x3＋5的零点可以取的初始区间为（　　）

A．[－2,1]B．[－1,0]

C．[0,1]D．[1,2]

【解析】　由f（－2）·

0知初始区间可以取[－2,1]．

3．用二分法求函数y＝f（x）在区间[2,4]上零点的近似解，经验证有f

（2）·

f（4）<

0.取区间的中点x1＝

＝3，计算得f

（2）·

f（x1）<

0，则此时零点x0∈________（填区间）．

【解析】　∵x1＝3，且f

（2）·

f（3）<

0，∴x0∈（2,3）．

【答案】　（2,3）

4．求方程x2＝2x＋1的一个近似解（精确度为0.1）．

【解】　设f（x）＝x2－2x－1，因为f

（2）＝－1<

0，f（3）＝2>

0，所以可以确定区间（2,3）作为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：

端点（中点）

端点或中点的

函数值的符号

取值区间

f

（2）<

0，f（3）>

（2,3）

x1＝

＝2.5

f（2.5）>

（2,2.5）

x2＝

＝2.25

f（2.25）<

（2.25,2.5）

x3＝

＝2.375

f（2.375）<

（2.375,2.5）

x4＝

＝2.4375

f（2.4375）>

（2.375,2.4375）

由上表的计算可知，|2.375－2.4375|＝0.0625<

0.1.因此方程x2＝2x＋1的一个近似解为2.4375.

一、选择题

1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（　　）

【解析】　根据二分法的思想，函数f（x）在区间[a，b]上的图象连续不断，且f（a）·

0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．

2．为了求函数f（x）＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f（x）的部分对应值[f（x）的值精确到0.01]如下表所示：

0.6

1.0

1.4

1.8

2.2

2.6

3.0

f（x）

1.16

1.00

0.68

0.24

－0.25

－0.70

－1.00

则函数f（x）的一个零点所在的区间是（　　）

A．（0.6,1.0）B．（1.4,1.8）

C．（1.8,2.2）D．（2.6,3.0）

【解析】　∵f（1.8）·

f（2.2）＝0.24×

（－0.25）<

0，∴零点在区间（1.8,2.2）上．故选C.

3．用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f（0）<

0，f（0.5）>

0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为（　　）

A．（0,0.5），f（0.25）B．（0,1），f（0.25）

C．（0.5,1），f（0.25）D．（0,0.5），f（0.125）

【解析】　∵f（0）<

0，∴f（0）·

0，故f（x）的一个零点x0∈（0,0.5），利用二分法，则第二次应计算f

＝f（0.25）．

4．下面关于二分法的叙述，正确的是（　　）

A．用二分法可求所有函数零点的近似值

B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位

C．二分法无规律可循

D．只有在求函数零点时才用二分法

【解析】　A不正确，二分法只能求变号零点的近似值．

B正确，因为二分法的近似解取决于精确度ε.

C不正确，二分法每次均是取（a，b）的中点，并验证|a－b|<

ε是否成立，故二分法有规律可循．

D不正确，二分法思想应用广泛，可以应用于生产实际中．

5．（2014·

合肥高一检测）函数f（x）＝2x＋m的零点落在（－1,0）内，则m的取值范围为（　　）

A．（－2,0）B．（0,2）

C．[－2,0]D．[0,2]

【解析】　由题意f（－1）·

f（0）＝（m－2）m<

0∴0<

m<

2

二、填空题

6．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝

，则下一个含根的区间是________．

【解析】　令f（x）＝lnx－2＋x，∵f

（1）＝－1<

0，f

（2）＝ln2>

0，f

＝ln

－

0，∴下一个含根的区间是

.

【答案】　

7．在用二分法求方程f（x）＝0在[0,1]上的近似解时，经计算f（0.625）<

0，f（0.75）>

0，f（0.6875）<

0，则可得出方程的一个近似解为________（精确度为0.1）．

【解析】　因为|0.75－0.6875|＝0.0625<

所以[0.75,0.6875]内的任意一个值都可作为方程的近似解．

【答案】　0.75（答案不唯一）

8．（2014·

广州高一检测）一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点（如图所示），如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测______次．

图3－1－2

【解析】　第1次取中点把焊点数减半为

＝32（个），第2次取中点把焊点数减半为

＝16（个），第3次取中点把焊点数减半为

＝8（个），第4次取中点把焊点数减半为

＝4（个），第5次取中点把焊点数减半为

＝2（个），第6次取中点把焊点数减半为

＝1（个），所以至多需要检测的次数是6.

【答案】　6

三、解答题

9．用二分法求函数f（x）＝3x－x－4的一个近似零点，其参考数据如下：

f（1.6000）

＝0.200

f（1.5875）

＝0.133

f（1.5750）

＝0.067

f（1.5625）

＝0.003

f（1.5562）

＝－0.029

f（1.5500）

＝－0.060

根据此数据，求方程3x－x－4＝0的一个近似解（精解度0.01）．

【解】　因为f（1.5625）·

f（1.5562）<

0，所以函数的零点在区间（1.5562,15625）内，

因为|1.5625－1.5562|＝0.0063<

0.01，

所以方程3x－x－4＝0的一个近似解可取为1.5625.

10．画出函数f（x）＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的根的情况．

【解】　图象如图所示，

因为f（0）＝－1<

0，f

（2）＝1>

0，所以方程x2－x－1＝0在（0,2）内有根x0；

取（0,2）的中点1，因为f

（1）＝－1<

0，所以f

（1）·

0，根x0在区间（1,2）内；

再取（1,2）的中点1.5，f（1.5）＝－0.25<

0，所以f（1.5）·

0，根x0在区间（1.5,2）内；

取（1.5,2）的中点1.75，f（1.75）＝0.3125>

f（1.75）<

0，根x0在区间（1.5,1.75）内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．

11．在26个钢珠中，混入了一个外表和它们完全相同的铜珠（铜珠稍重），现只有一台天平，你能否设计一个方案，称最少的次数把铜珠找出来．

【解】　把26个钢珠等分成两份，放在天平里，铜珠一定在较重的13个中，把这13个钢珠随便拿出一个，再将剩下的12个等分成两份，放在天平上，若质量相等，则拿出的那个就是铜珠；

否则，在质量较重的6个中，再等分为两份放在天平上，铜珠还是在稍重的3个中，再拿出一个，其余的两个放在天平上，若天平平衡，则拿出的一个便是铜珠，否则天平上稍重的那个便是，因而最少称4次便可把铜珠找出来.