312用二分法求方程的近似解教案人教A版必修1Word文档格式.docx

1、【提示】报价值为竞猜前手机价格所在范围的中间值对于在区间a，b上连续不断且f（a）f（b）0的函数yf（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法在上述猜物品价格的实例中，竞猜的过程是否有规律可循？【提示】竞猜过程归结为：设原价为x，则（1）给定价格区间a，b；（2）求区间（a，b）的中点c；（3）若cx，则在区间（a，c）内竞猜；若cx，则在区间（c，b）内竞猜；（4）依次类推，直到猜出原价x.给定精确度，用二分法求f（x）零点近似值的步骤如下（1）确定区间a，b，验证f（a）f（b）0，给定精确度；（3）计算f（

2、c），若f（c）0，则c就是零点；若f（a）f（c）0，则令bc（此时零点x0（a，c）；若f（c）f（b）0，则令ac（此时零点x0（c，b）（4）判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a（或b），否则重复（2）（4）.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）【思路探究】【自主解答】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号在B中，不满足f（a）f（b）0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点故选B.【答案】B判断一个函数能否用二分法求零点的依据是：函数图象在零点附近是连续不断的，且该零点是变号零点下列函数中不

3、能用二分法求零点的是（）Af（x）3x1 Bf（x）x3Cf（x）|x| Df（x）lnx【解析】结合函数f（x）|x|的图象可知，该函数在x0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点【答案】C用二分法求函数的零点用二分法求函数f（x）x3x1在区间1,1.5内的一个零点（精确度0.01）【自主解答】经计算，f（1）0，所以函数在1,1.5内存在零点x0.取区间（1,1.5）的中点x11.25，经计算f（1.25）0，因为f（1.5）f（1.25）0，所以x0（1.25,1.5）如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：（a，b）（a，b）的中点f（a）f（b）f（1,1

4、.5）1.25f（1）（1.25,1.5）1.375f（1.375）（1.25,1.375）1.312 5f（1.312 5）（1.312 5， 1375）1.343 75f（1.3125）（1.312 5， 1343 75）1.328 125f（1.343 75） f（1.328 125） （1.312 5， 1328 125）1.320 312 5f（1.320 312 5） 因为|1.3281251.3203125|0.00781250，区间长度0.50.2，分二次，f0.250.2，分三次f所以最多分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2.【答案】A用二分法求方程的近似解用二分法求方程

5、2x33x30的一个正实数近似解（精确度0.1）【思路探究】构造函数f（x）2x33x3确定初始区间（a，b）二分法求方程的近似解验证|ab|0.1是否成立下结论【自主解答】令f（x）2x33x3，经计算，f（0）30，f（0）0，所以函数f（x）在（0,1）内存在零点，即方程2x33x3在（0,1）内有解取（0,1）的中点0.5，经计算f（0.5）所以方程2x33x30在（0.5,1）内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：中点cf（）（0,1）0.5f（0）f（0.5）（0.5,0.75）0.625f（0.625）（0.625,0.75）0.687 5f（0.687 5）由

6、于|0.68750.75|0.06250.1，所以方程2x33x30的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的求方程f（x）0的近似解，即按照用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤求解用二分法求2xx4在1,2内的近似解（精确度为0.2）参考数据：x1.1251.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67【解】令f（x）2xx4，则f（1）2140.区间区间中点值xnf（xn）的值及符号（1,2）x11.5f（x1）0.33x21.25f（x2）0.37x31.3

7、75f（x3）0.035（1.375,1.5）|1.3751.5|0.1250.2，2xx4在（1,2）内的近似解可取为1.375.巧用二分法求根式的近似值（12分）求的近似值（精确到0.01）【思路点拨】【规范解答】设x，则x320，令f（x）x32，则函数f（x）的零点的近似值就是的近似值.2分以下用二分法求其零点的近似值由于f（1）10，故可以取区间1,2为计算的初始区间.4分用二分法逐步计算，列表如下：中点中点函数值1,21,1.50.046 91.25,1.50.599 61.25,1.3750.261 01.25,1.312 51.281 250.103 31.25,1.281 2

8、51.265 6250.027 31.25,1.265 6251.257 810.011.257 81,1.265 625由于区间1.257 81,1.265 625的长度1.265 6251.257 810.007 8150.01，所以这个区间的中点1.26可以作为函数f（x）零点的近似值，即的近似值是1.26.12分1求根式的近似值，实质上就是将根式转化为方程的无理根，利用函数零点的性质，通过二分法求解2二分法思想实质上是一种逼近思想，所求值与近似值间的差异程度取决于精确度.1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精

9、确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：（1）在区间a，b上连续不断；（2）f（a）上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.1已知函数f（x）的图象如图311，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为（）图311A4,4 B3,4C5,4 D4,3【解析】由图象知函数f（x）与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f（a）0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点【答案】D2用二分法求函数f（x）x35的零点可以取的初始区间为 （）A2,1 B1,0C0,1 D1,2【解析】由f（2）0知初

10、始区间可以取2,13用二分法求函数yf（x）在区间2,4上零点的近似解，经验证有f（2）f（4）0.取区间的中点x13，计算得f（2）f（x1）0，则此时零点x0_（填区间）【解析】x13，且f（2）f（3）0，x0（2,3）【答案】（2,3）4求方程x22x1的一个近似解（精确度为0.1）【解】设f（x）x22x1，因为f（2）10，所以可以确定区间（2,3）作为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下：端点（中点）端点或中点的函数值的符号取值区间f（2）（2,3）x12.5f（2.5）（2,2.5）x22.25f（2.25）（2.25,2.5）x32.375f（2.375）（2.375,2

11、.4375）由上表的计算可知，|2.3752.4375|0.06250.1.因此方程x22x1的一个近似解为2.4375.一、选择题1以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（）【解析】根据二分法的思想，函数f（x）在区间a，b上的图象连续不断，且f（a）0，即函数的零点是变号零点，才能将区间a，b一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点2为了求函数f（x）2xx2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f（x）的部分对应值f（x）的值精确到0.01如下表所示

12、：0.61.01.41.82.22.63.0f（x）1.161.000.680.240.250.701.00则函数f（x）的一个零点所在的区间是（）A（0.6,1.0） B（1.4,1.8）C（1.8,2.2） D（2.6,3.0）【解析】f（1.8）f（2.2）0.24（0.25）0，零点在区间（1.8,2.2）上故选C.3用二分法研究函数f（x）x33x1的零点时，第一次经计算得f（0）0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容分别为（）A（0,0.5），f（0.25） B（0,1），f（0.25）C（0.5,1），f（0.25） D（0,0.5），f（0.125）【解

13、析】f（0）0，f（0）0，故f（x）的一个零点x0（0,0.5），利用二分法，则第二次应计算ff（0.25）4下面关于二分法的叙述，正确的是（）A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循D只有在求函数零点时才用二分法【解析】A不正确，二分法只能求变号零点的近似值B正确，因为二分法的近似解取决于精确度.C不正确，二分法每次均是取（a，b）的中点，并验证|ab|是否成立，故二分法有规律可循D不正确，二分法思想应用广泛，可以应用于生产实际中5（2014合肥高一检测）函数f（x）2xm的零点落在（1,0）内，则m的取值范围为（）A（2,

14、0） B（0,2）C2,0 D0,2【解析】由题意f（1）f（0）（m2）m00m2二、填空题6用二分法求方程lnx2x0在区间1,2上零点的近似值，先取区间中点c，则下一个含根的区间是_【解析】令f（x）lnx2x，f（1）10，fln0，下一个含根的区间是.【答案】7在用二分法求方程f（x）0在0,1上的近似解时，经计算f（0.625）0，f（0.6875）0，则可得出方程的一个近似解为_（精确度为0.1）【解析】因为|0.750.6875|0.0625所以0.75,0.6875内的任意一个值都可作为方程的近似解【答案】0.75（答案不唯一）8（2014广州高一检测）一块电路板的线路AB之

15、间有64个串联的焊接点（如图所示），如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测_次图312【解析】第1次取中点把焊点数减半为32（个），第2次取中点把焊点数减半为16（个），第3次取中点把焊点数减半为8（个），第4次取中点把焊点数减半为4（个），第5次取中点把焊点数减半为2（个），第6次取中点把焊点数减半为1（个），所以至多需要检测的次数是6.【答案】6三、解答题9用二分法求函数f（x）3xx4的一个近似零点，其参考数据如下：f（1.600 0）0.200f（1.587 5）0.133f（1.575 0）0.067f（1.562 5）0.003f（1.55

16、6 2）0.029f（1.550 0）0.060根据此数据，求方程3xx40的一个近似解（精解度0.01）【解】因为f（1.562 5）f（1.556 2）0，所以函数的零点在区间（1.556 2,15 625）内，因为|1.562 51.556 2|0.006 30.01，所以方程3xx40的一个近似解可取为1.562 5.10画出函数f（x）x2x1的图象，并利用二分法说明方程x2x10在0,2内的根的情况【解】图象如图所示，因为f（0）10，所以方程x2x10在（0,2）内有根x0；取（0,2）的中点1，因为f（1）10，所以f（1）0，根x0在区间（1,2）内；再取（1,2）的中点1.

17、5，f（1.5）0.25f（1.75）0，根x0在区间（1.5,1.75）内这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根11在26个钢珠中，混入了一个外表和它们完全相同的铜珠（铜珠稍重），现只有一台天平，你能否设计一个方案，称最少的次数把铜珠找出来【解】把26个钢珠等分成两份，放在天平里，铜珠一定在较重的13个中，把这13个钢珠随便拿出一个，再将剩下的12个等分成两份，放在天平上，若质量相等，则拿出的那个就是铜珠；否则，在质量较重的6个中，再等分为两份放在天平上，铜珠还是在稍重的3个中，再拿出一个，其余的两个放在天平上，若天平平衡，则拿出的一个便是铜珠，否则天平上稍重的那个便是，因而最少称4次便可把铜珠找出来.