初一数学绝对值典型例题精讲文档格式.docx
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|b|D.若∣a∣=b,则一定有a=（-b）
（4）设a,b是有理数，则∣a+b∣+9有最小值还是最大值？
其值是多少？
分析：
（1）结合数轴画图分析。
绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±
3,±
4,有4个
（2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。
（3）选择D。
（4）根据绝对值的非负性可以知道∣a+b≥0,则∣a+b≥9,有最小值9
［巩固］绝对值小于3.1的整数有哪些？
它们的和为多少？
<
分析>
:
绝对值小于3.1的整数有0,±
1,±
2,±
3,和为0。
［巩固］有理数a与b满足∣a∣>
∣b,则下面哪个答案正确（）
A.a>
bB.a=bC.a<
bD.无法确定
分析：
选择D。
［巩固］若∣x-3∣=3-x,则X的取值范围是
若∣x-3∣=3-x,则x-3≤0,即X≤3。
对知识点3的复习巩固
［巩固］若a>
b,且∣a∣<
∣b∣,则下面判断正确的是（）
A.av0B.a>
0C.bV0D.b>
选择C
［巩固］设a,b是有理数，则-8-∣a-b|是有最大值还是最小值？
∣a-b≥0,-8-∣a-b∣≤-8,所以有最大值-8
［例2］
（1）（竞赛题）若3∣x-2∣+∣y+3∣=0,则1的值是多少？
X
2_4
（2）若∣x+3∣+（y-1）2=0,求（）n的值
y_x
（1）∣x-2∣=0,∣y+3∣=0,x=2,y=-3,
2
（2）由∣x+3∣+（y-1）=0,可得x=-3,y=1。
n为偶数时，原式=1;
n为奇数时，原式=-1
小知识点汇总：
（本源∣a≥0b2≥0）
若（x-a）+（x-b）=0,则x-a=0且x-b=0；
若∣x-a∣+（x-b）=0,则x-a=0且x-b=0；
若∣x-a∣+∣x-b∣=0，则x-a=0且x-b=0；
0,两个非
当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为
负数互为相反数时，两者均为0
简单的绝对值方程
【例3】
（1）已知X是有理数，且IXI=I-4|,那么X=
（2）已知X是有理数，且-∣x∣=-∣2∣,那么X=
（3）已知X是有理数，且-∣-x∣=-∣2∣,那么X=
（4）如果x,y表示有理数，且x,y满足条件|x|=5,|y|=2,∣x-y∣=y-x,那么x+y的值是多少？
（1）4,-4
（2）2,-2,（3）2,-2
（4）X=±
5,y=±
2,且∣x-y∣=y-x,x-y≤0；
当x=5,y=2时不满足题意；
当x=5,y=-2时不满足题意；
当x=-5,y=2时满足题意；
x+y=-3;
当x=-5,y=-2时满足题意，x+y=-7。
【巩固】巩固|x|=4,|y|=6,求代数式|x+y|的值
因为|x|=4,所以X=±
4,因为|y|=6,所以y=±
6
当x=4,y=6时，∣x+y∣=∣10∣=10;
当x=4,y=-6时，∣x+y∣=∣-2∣=2;
当x=-4,y=6时，∣x+y∣=∣2∣=2;
当x=-4,y=-6时，∣x+y∣=∣10∣=10
【例4】
解方程：
3
（1）|x・5|_5=0
（2）∣4x+8∣=12
（3）∣3x+2∣=-1
12
（4）已知∣x-1∣=2,∣y∣=3,且X与y互为相反数，求X-∙xy-4y的值
（1）原方程可变形为：
∣x+5∣=10,所以有x+5=±
10,进而可得：
x=-—,-空；
3333
（2）4x+8=±
12，x=1，x=-5
（3）此方程无解
（4）|x-1|=2，X-仁±
2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±
3,且X与y互为相反数，所以x=3，
y=-3，X-χy-4y=24
【例5】若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求ab_b的值
a2+ab+1
a与b互为相反数，那么a+b=0。
当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4;
当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4;
综上可得
a-abb
aab1
化简绝对式
【例6】
（1）
11
已知a=-，b=_—，
23
|2a4b|_4
（a2b）2|a2b|
的值
|4b3-|2a-3||
（2）若|a|=b，求|a+b|的值
（3）
化简：
|a-b|
（2）|a|=b，我们可以知道b≥0,当a<
0时，a=-b，|a+b|=0；
当a≥0时，a=b，|a+b|=2b
当a-b>
0时，即a>
b,∣a-b∣=a-b;
当a-b=0时，即a=b,∣a-b∣=O;
当a-bv0时，即avb,∣a-b∣=b-a°
【巩固】化简：
（1）∣3.14-∏|⑵∣8-x∣（X≥8）
（1）3.14<
π，3.14-πV0，∣3.14-πFn-3.14
（2）x≥8,8-x≤0,∣8-x∣=x-8。
【例7】有理数a,b,C在数轴上对应点如图所示，化简∣b+a∣+∣a+c∣+∣c-b∣
II[I.
CB0A
∣b+a∣+∣a+c∣+∣c-b∣=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c
【巩固】已知a,b,C在数轴上的位置如图所示，化简∣a∣+∣c-b∣+∣a-c∣+∣b-a∣
1J
III
I.
a（
JCI
b，
∣a∣+∣c-b∣+∣a-c∣+∣b-a∣=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a
【巩固】数a,b在数轴上对应的点如图所示，是化简∣a+b∣+∣b-a∣+Ibl-Ia-Iall
∣a+b∣+∣b-a∣+∣b∣-∣a-∣a∣∣=-（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=ba
【例8]
（1）若a<
-b且0,化简∣a∣-∣b∣+∣a+b∣+∣ab∣
b
（2）若-2≤a≤0,化简∣a+2∣+∣a-2∣
（3）已知x<
0<
z,xy>
0,∣y∣>
∣z∣>
∣x∣,求∣x+z∣+∣y+z∣-∣x-y∣的值
a
（1）若a<
-b且0,a<
0,b<
0,a+b<
0,ab>
∣a∣-∣b∣+∣a+b∣+∣ab∣=-a+b-a-b+ab=ab-2a
（2）因为-2≤a≤0,所以a+2≥0,a-2≤0,∣a+2∣+∣a-2∣=（a+2）-（a-2）=4
（3）由x<
0可得：
y<
z,又∣y∣>
∣x∣,可得：
x<
z;
原式=x+z-y-z-x+y=O
【巩固]如果0<
m<
10并且m≤X≤10,化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|
|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x
【例9]
（1）已知x<
-3,化简|3+|2-|1+x|||
（1）当x<
-3时，|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-XI=-X
⑵2a-|3a|=2a3a=旦=-5
∣∣3aI—aI|,a—a|—4a4
abC
【例10】若abc≠0,贝U的所有可能值
|a||b||c|
从整体考虑：
（1）a，b,C全正，则—b-=3；
C
（2）a，b，
C两正一负，
则
++
=1；
IaI
IbII
cI
（3）a，b，
C一正两负，
•++■
=-1；
人宀Ma丄b丄C
（4）a，b，C全负，则=-3
【巩固】有理数a，b，c，d，满足IabCd1=一1,求La-ILb-1J-c-1■Ld-1的值
abcdabCd
有LabCdJ-_1知abcd<
0,所以a，b，c，d里含有1个负数或3个负数:
abcd
（2）
若含有1个负数，则IaIIbIl£
l.LL1=2；
若含有3个负数，则回•回•也•回=-2
【例11】化简Ix+5I+I2x-3I
先找零点。
x+5=0，x=-5；
2x-3=0，X=,零点可以将数轴分成几段。
当x≥3，x+5>
0,2x-3≥0，Ix+5I+I2x-3I=3x+2;
当-5≤XV，x+5≥0,2x-3V0，Ix+5I+I2x-3I=8-x;
当x<
-5，x+5<
0,2x-3，Ix+5I+I2x-3I=-3x-2
【巩固】化简：
I2x-1I
1
2x-仁0，X=丄，依次零点可以将数轴分成几段
（1）x<
2,2x-1<
0，I2x-1I=-（2x-1）=1-2x;
（2）X=，2x-仁0，I2x-1I=0
（3）x>
2x-1>
0,∣2x-1∣=2x-1。
也可将
（2）与
（1）合并写出结果
【例12】求∣m∣+∣m-1+∣m-2∣的值
先找零点，m=0,m-1=0，m-2=0，解得m=0,1,2
依这三个零点将数轴分为四段：
mv0,0≤mv1,1≤mv2,m≥2。
当m<
0时，原式=—m—（m-1）-（m-2）=-3m+3
当0≤mv1时，原式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3
当1≤mv2时，原式=m+（m-1）-（m-2）=m+1
当m≥2时，原式m+（m-1）+（m-2）=3m-3
绝对值几何意义的应用
Ia的几何意义：
在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离
∣a-b∣的几何意义：
在数轴上，表示数a,b对应数轴上两点间的距离
【例13】求∣x-3∣+∣x-5∣+∣x-2∣+∣x+1∣+∣x+7∣的最小值
由上题可知，本题中的式子值应为X所对应的点分别到3,5,2,-1,-7所对应的点距
离和。
通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16。
这里我们可以把
小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：
【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，
为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？
IllIl
ABCDE
我们来分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距
离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。
也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。
那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使
B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。
最后，只需要考虑C点到邮筒
的距离最近就行了。
那么当然也就是把邮筒放在C点了。
这里就体现了一个“向中
心靠拢的思想”
题后小结论：
求|x-a1|+|x-a21+,+|x-an|的最小值：
当n为奇数时，把a1、a2、，an从小到大排列，X等于最中间的数值时，该式子的值最小。
当n为偶数时，把a1、a2、，an从小到大排列，X取最中间两个数值之间的数（包括
最中间的数）时，该式子的值最小。
【巩固】探究Ia与∣a-b∣的几何意义
|a即为表示a的点A与原点之间的距离，也即为线段Ao的长度。
关于∣a-b∣,我们可以引入具体数值加以分析：
当a=3,b=2时，∣a-b∣=1;
当a=3,b=-2时，∣a-b∣=5;
当a=3,b=0时，∣a-b∣=3;
当a=-3,b=-2时，∣a-b∣=1;
从上述四种情况分别在数轴上标注出来，我们不能难发现：
|a-b对应的是点A与点
B之间的距离，即线段AB的长度。
【巩固】设a1、a2、a3、a4、a5为五个有理数，满足a1<
a2<
a3<
a4<
a5,求|x-a1|+|x-a2|+|x-
a3|+|x-a4|+|x-a51的最小值
当X=a3时有最小值，a4+a5-a1-a2
【例14】设a<
b<
c<
d,求y=|x_a|+|x_b|+|x_c|+|x_d|的最小值，并求出此时X的取值
根据几何意义可以得到，当b≤x≤C时，y有最小值为c+d-a-b
'
e
附加习题
【例1】若∣a∣=1,∣b∣=2,∣c∣=3,且a>
b>
c,那么a+b-c=
根据题意可得：
a=±
1,b=-2,c=-3，那么a+b-c=0或2
【例2】已知（a+b）2+∣b+5∣=b+5,且∣2a-b-1∣=0,那么ab=
因为（a+b）2+∣b+5∣=b+5,我们可以知道b+5>
0,所以原式可以表示为:
（a+b）+b+5=b+5,（a+b）=0,a=-b,又因为|2a-b-1|=0,进而2a-b-1=0,进而
111
2a-b-1=0,3a=1,a=,b,ab=-
339
【例3】对于|m-1|,下列结论正确的是（）
我们可以用特殊值
0,3种数帮助找到
我们可以分类讨论，但那样对于做选择题都过于麻烦了。
法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、准确答案。
易得答案为CO
【例4】设a,b,C为实数，且|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|分析：
∣a∣+a=O,∣a∣=-a,a≤0;
∣ab∣=ab,ab≥0;
ICI-C=0,∣c∣=c,c≥0。
所以可以得到a≤0,b≤0,c≥0;
∣b∣-∣a+b∣-∣c-b∣+∣a-c∣=-b+（a+b）-（c-b）-（a-c）=b
【例5】化简：
∣∣x-1∣-2∣+∣x+1∣
x-1=0，x=1，∣x-1∣-2=0，∣x-1∣=2，X-仁2或x-1=-2,可得x=3或
者x=-1；
x+仁0，x=-1;
综上所得零点有1.，-1,3,依次零点可以将数轴分成几段。
（1）X≥3，x-1>
0，∣x-1∣-2≥0，x+1>
0,∣∣x-1∣-2∣+∣x+1∣=2x-2；
（2）1≤x<
3，x-1≥0，∣x-1∣-2<
0，x+1>
0，∣∣x-1∣-2∣+∣x+1∣=4；
（3）-1≤X≤1，x-1<
0，∣x-1∣-2<
0，x+1≥0，∣∣x-1∣-2∣+∣x+1∣=2x+2；
（4）x<
-1,x-1<
0,∣x-1∣-2<
0,x+1<
0,∣∣x-1∣-2∣+∣x+1∣=-2x-2
【例6】已知有理数a，b，C满足|a|■|b||cL1，求1abc1的值
abCabc
对于任意的整数a，有回=1,若LaJlb-1=I,则a，b，C中必
aabc
是两正一负，则abc<
0,1abC1=-1
abc
【例7】若a,b,c,d为互不相等的有理数，且Ia-CFIb-CF∣d-b∣=1,求|a-d|
从∣a-c∣=∣b-c我们可以知道，C到a,b的距离都是1,且三者不相等，那么在
数轴上就有：
IIlll」
aCb
（b）（a）
因为∣d-b∣=1,且a,b,c,d为互不相等的有理数，则有:
aCbd
显然易得∣a-d∣=3（a）
练习三
1、∣m+3∣+∣n-7∣+∣2p-1∣=0,求p+2m+3n的值
绝对值为非负数，∣m+3∣+∣n-£
∣+∣2p-1∣=0,所以m+3=0,n-7=0,2p-1=0,即得m=-3,
7117
n=,P=,所以p+2m+3n=-6+3×
=5
2222
2、
（1）已知∣x∣=2,∣y∣=3且x-y>
0,则x+y的值为多少?
（2）解方程：
∣4x-5∣=8
（1）X=±
2,y=±
3,
当x=2,y=3时，不满足x-y>
0;
x=2,y=-3时，满足x-y>
0,那么x+y=-1;
x=-2,y=3时，不满足x-y>
x=-2,y=-3时，满足x-y>
0,那么x+y=-5。
综上可得x+y的值为-1,-5
133
（2）4x-5=±
8,X=,x=-—
44
3、
（1）有理数a,b,C在数轴上对应点如图所示，化简∣a-b∣-∣a+b∣+Ib-Cl-ICl
→4―F÷
→
（2）若avb,求∣b-a+1∣-∣a-b-51的值
（3）若av0,化简∣a-∣-a∣∣
（1）a-bv0,b-c>
0,a+bv0
∣a-b∣-∣a+b∣+∣b-c∣-∣c∣=-（a-b）+（a+b）+（b-c）+c=3b
（2）∣b-a+1∣-∣a-b-5∣=b-a+1+a-b-5=-4
∣a-∣-a∣∣=∣a+a∣=∣2a∣=-2a
23
若a>
0,那么—笃~τ=1+1+仁3;
|a||a2||a3|
aa2a3
若av0,那么23=-1+1-1=-1
5、化简∣x-1∣-∣x-3∣
X-仁0,,x=1;
x-3=0,x=3,依照零点可以将数轴分成几段。
（1）X≥3,x-1>
0,x-3≥0,∣x-1∣-∣x-3∣=x-1-（x-3）=2;
（2）1≤XV3,x-1≥0,x-3V0,∣x-1∣-∣x-3∣=x-1+（x-3）=2x-4;
（3）XV1,x-1V0,x-3V0,∣x-1∣-∣x-3∣=-（x-1）+（x-3）=-2
6、设avbvc,求当X取何值时∣x-a∣+∣x-b∣+∣x-c∣的最小值
∣x-a∣+∣x-b∣+∣x-c∣实际表示X到a,b,C三点距离和，画图可知当x=b时，原式有最小
值c-a
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