高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第七节二项分布正态分布及其应用教师用书理Word文档格式.docx

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（3）正态曲线的特点

①曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定。

σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；

σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。

（4）正态分布中的3σ原则

①P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.682_6；

②P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝0.954_4；

③P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）＝0.997_4。

微点提醒

1．相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P（AB）＝P（A）P（B），互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）。

2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：

其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；

其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次。

3．P（A·

B）＝P（A）·

P（B）只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P（B）＝P（B|A）。

小|题|快|练

一、走进教材

1．（选修2－3P55练习T1改编）有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有二位同学能通过测试的概率为（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】　记“至少有二位同学能通过测试”为事件A，则其包含事件为“恰好有二位同学能通过测试”或“恰好有三位同学能通过测试”，而每位同学不能通过测试的概率都是1－＝，且相互独立，故P（A）＝

C3＋C3＝。

故选C。

【答案】　C

2．（选修2－3P74练习T1改编）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，则理论上在80分到90分的人数是（　　）

A．32B．16

C．8D．20

【解析】　因为数学成绩近似地服从正态分布N（80,102），所以P（|x－80|<

10）＝0.6826，根据正态曲线的对称性知：

位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半。

所以理论上在80分到90分的人数是×

0.6826×

48≈16。

故选B。

【答案】　B

二、双基查验

1．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（　　）

A.B.C.D.

【解析】　事件A：

“第一次拿到白球”，

B：

“第二次拿到红球”，

则P（A）＝＝，P（AB）＝·

＝，

故P（B|A）＝＝。

2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（　　）

A．0.8B．0.75

C．0.6D．0.45

【解析】　设某天空气质量优良，则随后一天空气质量也优良的概率为p，则得0.6＝0.75·

p，解得p＝0.8，故选A。

【答案】　A

3．某机械零件加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假定两道工序出废品的概率彼此无关，那么产品的合格率是（　　）

A．ab－a－b＋1B．1－a－b

C．1－abD．1－2ab

【解析】　由于第一道工序与第二道工序出废品的概率彼此无关，故产品的合格率为P＝（1－a）（1－b）＝ab－a－b＋1。

故选A。

4．（20xx·

唐山模拟）设随机变量ξ服从正态分布N（0,1），若P（ξ>

1）＝p，则P（－1<

ξ<

0）＝________。

【解析】　因为随机变量ξ服从正态分布N（0,1），所以正态分布曲线关于直线x＝0对称，

所以P（ξ>

0）＝P（ξ<

0）＝，

P（ξ>

1）＝P（ξ<

－1）＝p，

所以P（－1<

0）－P（ξ<

－1）＝－p。

【答案】　－p

5．（20xx·

四川高考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________。

【解析】　由题意知，试验成功的概率p＝，故X～B，所以E（X）＝2×

＝。

【答案】　

微考点　大课堂

考点一

条件概率

【典例1】　（20xx·

长春模拟）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：

“取到的2个数之和为偶数”，事件B：

“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）＝（　　）

A.　　　　　　　　B.

C.D.

【解析】　P（A）＝＝＝，

P（AB）＝＝。

由条件概率计算公式，得

P（B|A）＝＝＝。

【母题变式】　1.把本典例中的事件B：

“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则P（B|A）＝________。

【解析】　事件A＝“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：

（1,3），（1,5），（3,5），（2,4），

所以P（A）＝。

事件B：

“取到的2个数均为奇数”所包含的基本事件有（1,3），（1,5），（3,5），所以P（AB）＝，

所以P（B|A）＝＝。

2．把本典例事件A中的“和”变为“积”，其他条件不变，则P（B|A）＝________。

“取到的2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：

（1,2），（3,2），（4,2），（5,2），（4,1），（4,3），（4,5），所以P（A）＝。

“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2,4），所以P（AB）＝，所以P（B|A）＝＝＝。

反思归纳　条件概率的求法

1．定义法：

先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）＝求P（B|A）。

2．基本事件法：

借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再求事件AB所包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）＝。

【拓展变式】　袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回地每次抽取1个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率为________。

【解析】　解法一：

记第二次取到白球为事件B，

则P（B）＝＝。

解法二：

第一次取到白球为事件A，第二次取到白球为事件B，则P（A）＝，P（AB）＝＝，P（B|A）＝＝＝。

考点二

相互独立事件的概率

【典例2】　（20xx·

北京高考节选）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：

小时）：

A班

6　6.5　7　7.5　8

B班

6　7　8　9　10　11　12

C班

3　4.5　6　7.5　9　10.5　12　13.5

（1）试估计C班的学生人数；

（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙。

假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率。

【解析】　

（1）由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名。

根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×

＝40。

（2）设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1,2，…，5，事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1,2，…，8。

由题意可知，P（Ai）＝，i＝1,2，…，5；

P（Cj）＝，j＝1,2，…，8。

P（AiCj）＝P（Ai）P（Cj）＝×

＝，i＝1,2，…，5…，j＝1,2，…，8。

设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”。

由题意知

E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4。

因此P（E）＝P（A1C1）＋P（A1C2）＋P（A2C1）＋P（A2C2）＋P（A2C3）＋P（A3C1）＋P（A3C2）＋P（A3C3）＋P（A4C1）＋P（A4C2）＋P（A4C3）＋P（A5C1）＋P（A5C2）＋P（A5C3）＋P（A5C4）＝15×

【答案】　

（1）40　

（2）

反思归纳　解答此类问题的方法技巧

1．首先判断几个事件的发生是否相互独立；

2．求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：

（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解。

（2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算。

【变式训练】　设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立。

（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

（2）实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用。

若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值。

【解析】　记Ai表示事件：

同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2，

B表示事件：

甲需使用设备，

C表示事件：

丁需使用设备，

D表示事件：

同一工作日至少3人需使用设备，

E表示事件：

同一工作日4人需使用设备，

F表示事件：

同一工作日需使用设备的人数大于k。

（1）D＝A1·

B·

C＋A2·

B＋A2·

·

C，

P（B）＝0.6，P（C）＝0.4，P（Ai）＝C×

0.52，i＝0,1,2，

所以P（D）＝P（A1·

C）

＝P（A1·

C）＋P（A2·

B）＋P（A2·

＝P（A1）P（B）P（C）＋P（A2）P（B）＋P（A2）P（）P（C）

＝0.31。

（2）由

（1）知，若k＝2，则P（F）＝0.31>

0.1。

又E＝B·

C·

A2，

P（E）＝P（B·

A2）

＝P（B）P（C）P（A2）

＝0.06。

若k＝3，则P（F）＝0.06<

所以k的最小值为3。

【答案】　

（1）0.31　

（2）3

考点三

独立重复试验与二项分布多维探究

角度一：

根据独立重复试验求概率

【典例3】　甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。

除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是。

假设各局比赛结果相互独立。

（1）分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；

（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；

若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分。

求乙队得分X的分布列。

【解析】　

（1）设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A，B，C，则P（A）＝×

×

P（B）＝C2×

P（C）＝C2×

2×

（2）X的可能的取值为0,1,2,3。

则P（X＝0）＝P（A）＋P（B）＝，

P（X＝1）＝P（C）＝，

P（X＝2）＝C×

P（X＝3）＝3＋C2×

∴X的分布列为

X

1

2

3

P

角度二：

根据独立重复试验求二项分布

【典例4】　（20xx·

南昌一模）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N（80，σ2）（满分为100分），已知P（X<

75）＝0.3，P（X≥95）＝0.1，现从该市高三学生随机抽取三位同学。

（1）求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85），[85,95），[95,100]各有一位同学的概率；

（2）记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）。

【解析】　

（1）P（80≤X<

85）＝0.5－P（X≤75）＝0.2，

P（85≤X<

95）＝0.3－0.1＝0.2，

故所求概率P＝A×

0.2×

0.1＝0.024。

（2）P（75≤X≤85）＝1－2P（X<

75）＝0.4，

所以ξ服从二项分布B（3,0.4），

P（ξ＝0）＝0.63＝0.216，

P（ξ＝1）＝3×

0.4×

0.62＝0.432，

P（ξ＝2）＝3×

0.42×

0.6＝0.288，

P（ξ＝3）＝0.43＝0.064，

所以随机变量ξ的分布列是

ξ

0.216

0.432

0.288

0.064

E（ξ）＝3×

0.4＝1.2。

【答案】　

（1）0.024

（2）随机变量ξ的分布列是

E（ξ）＝1.2

反思归纳　利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k的三个条件：

1．在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；

2．n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；

3．该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率。

考点四

正态分布

【典例5】　

（1）（20xx·

湖北高考）设X～N（μ1，σ），Y～N（μ2，σ），这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）

B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）

C．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）

D．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）

（2）（20xx·

山东高考）已知某批零件的长度误差（单位：

毫米）服从正态分布N（0,32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（　　）

（附：

若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ<

μ＋σ）＝68.26%，P（μ－2σ<

μ＋2σ）＝95.44%。

）

A．4.56%　　　　　　　B．13.59%

C．27.18%D．31.74%

【解析】　

（1）由图象知，μ1<

μ2，σ1<

σ2，P（Y≥μ2）＝，P（Y≥μ1）>

，故P（Y≥μ2）<

P（Y≥μ1），故A错；

因为σ1<

σ2，所以P（X≤σ2）>

P（X≤σ1），故B错；

对任意正数t，P（X≥t）<

P（Y≥t），故C错；

对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）是正确的。

故选D。

（2）由正态分布的概率公式知P（－3<

3）＝0.6826，

P（－6<

6）＝0.9544，故P（3<

6）＝＝＝0.1359＝13.59%。

【答案】　

（1）D　

（2）B

反思归纳　解决正态分布问题有三个关键点：

（1）对称轴x＝μ；

（2）标准差σ；

（3）分布区间。

利用对称性可求指定范围内的概率值；

由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率。

【变式训练】　在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（100,100），已知满分为150分。

（1）试求考试成绩ξ位于区间（80,120]内的概率；

（2）若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格（不小于90分）的人数。

【解析】　

（1）由ξ～N（100,100），知μ＝100，

σ＝10。

∴P（80<

ξ≤120）＝P（100－20<

ξ≤100＋20）＝0.9544，

即考试成绩位于区间（80,120]内的概率为0.9544。

（2）P（90<

ξ≤110）＝P（100－10<

ξ≤100＋10）＝0.6826，

∴P（ξ>

110）＝×

（1－0.6826）＝0.1587，

∴P（ξ≥90）＝0.6826＋0.1587＝0.8413。

∴及格人数为2000×

0.8413≈1683。

【答案】　

（1）0.9544　

（2）1683

微考场　新提升

1．（20xx·

丽江模拟）把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P（B|A）等于（　　）

A.B.

解析　由古典概型知P（A）＝，P（AB）＝，则由条件概率知P（B|A）＝＝＝。

答案　A

2．（20xx·

广州模拟）甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（　　）

A．0.12B．0.42

C．0.46D．0.88

解析　因为甲、乙两人是否被录取相互独立，

又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，

由对立事件和相互独立事件概率公式知，

P＝1－（1－0.6）（1－0.7）＝1－0.12＝0.88，故选D。

答案　D

3．（20xx·

长春模拟）一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P（X＝12）等于（　　）

A．C102B．C92

C．C92D．C102

解析　“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P（X＝12）＝

C9·

2＝C102，故选D。

贵阳模拟）已知P箱中有红球1个，白球9个，Q箱中有白球7个（P，Q箱中所有的球除颜色外完全相同）。

现随机从P箱中取出3个球放入Q箱，将Q箱中的球充分搅匀后，再从Q箱中随机取出3个球放入P箱，则红球从P箱移到Q箱，再从Q箱返回P箱中的概率等于（　　）

解析　可看作是两个独立事件。

A：

红球从P箱移到Q箱，B：

红球从Q箱返回P箱同时发生，可知P（A）＝＝，对于B发生时，Q箱中有红球1个，白球9个，再从中取出2白1红，所以P（B）＝P（A）＝，根据独立事件同时发生的概率计算公式，有P＝P（A）·

P（B）＝，故选B。

答案　B

衡水质检）某班有50名学生，一次考试后数学成绩X（X∈N）服从正态分布N（100,102），已知P（90≤X≤100）＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为__________。

解析　由题意，知P（X＞110）＝＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×

50＝10。

答案　10

微专题　巧突破

误中悟“二项分布与超几何分布”

二项分布和超几何分布是两类重要的概率分布模型，这两种分布存在着很多的相似之处，在应用时应注意各自的适用条件和情境，以免混用出错。

【典例】　某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：

考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。

规定：

至少正确完成其中2题的便可提交通过。

已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；

考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响。

（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算均值。

（2）试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力。

【解析】　

（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的所有可能取值分别为1,2,3；

η的所有可能取值分别为0,1,2,3。

P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，

P（ξ＝3）＝＝.

所以考生甲正确完成题数的概率分布列为

E（ξ）＝1×

＋2×

＋3×

＝2。

因为P（η＝0）＝C×

3＝，同理，

P（η＝1）＝，P（η＝2）＝，P（η＝3）＝。

所以考生乙完成题数的概率分布列为

η

E（η）＝0×

＋1×

（2）因为P（ξ≥2）＝＋＝0.8，P（η≥2）＝＋≈0.74，所以P（ξ≥2）>

P（η≥2）。

故从正确完成题数的均值考察，两人水平相当；

从至少完成2题的概率考察，甲通过的可能性大。

因此可以判断甲的实验操作能力较强。

【易错总结】　本题容易错误地得到甲、乙两考生正确完成的题数均服从二项分布，实际上题目中已知甲、乙两考生按照题目要求独立完成全部实验操作，甲考生正确完成的题数服从超几何分布，乙考生正确完成的题数服从二项分布。

【变式训练】　从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件。

假设事件A：

“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，其概率P（A）＝0.96。

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；

（2）若该批产品共100件，从中无放回地抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列。

【解析】　

（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”，则A0，A1互斥，且A＝A0∪A1，

故P（A）＝P（A0∪A1）＝P（A0）＋P（A1）＝

（1－p）2＋Cp（1－p）＝1－p2，即0.96＝1－p2。

解得p＝0.2或p＝－0