线性系统理论第三章1概要.docx

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线性系统理论第三章1概要

第三章线性时不变系统的标准形与最小阶实现

把系统动态方程化为等价的简单而典型的形式，对于揭示系统代数结构的本质特征，以及系统的分析与设计将会带来很大的方便，因此利用等价变换化系统动态方程为标准形的问题成为线性系统理论中的一个重要课题。

在第一章中已经指出，动态方程等价变换的矩阵是由状态空间基底的选取来决定的。

因此常把构造阵的问题化为选取状态空间适当基底的问题来讨论。

由于所给的条件不同和选取基底的方法不同，从而可以得到各种不同形式的标准形。

在实际实用中，常是根据所研究问题的需要而决定采用什么样的标准形。

本章所介绍的几种标准形，是以后讨论极点配置和观测器设计等问题时要用到的。

实现问题，也是线性系统理论的重要课题之一。

这是因为：

状态空间方法在系统设计和计算上都是以动态方程为基础的，为了应用这些方法，我们需要把传递函数阵用动态方程予以实现，特别是在有些实际问题中，由于系统物理过程比较复杂，通过分析的方法来建立它的动态方程十分困难，甚至不可能，这时可能采取途径之一就是先确定输入输出间的传递函数阵，然后根据传递函数阵来确定系统的动态方程。

其次，复杂系统的设计往往希望能在模拟计算机或数字计算机上仿真，以便在构成物理系统之前就能检查它的特性，系统的动态方程描述则比较便于仿真，例如在模拟机上指定积分器的输出作为变量，就很容易仿真系统。

在实际应用中，动态方程实现也提供了运算放大器电路综合传递函数的一个方法。

每一个可实现的传递函数阵，可以有无限多个实现。

我们感兴趣的是这些实现中维数最小的实现，即最小阶实现。

在实用中，最小阶实现在网络综合和系统仿真时，所用到的元件和积分器最少，从经济和灵敏度的角度来看是必要的。

关于有理函数阵的最小阶实现问题，定理2—20及定理2—21是基本的，本章则着重于构成最小阶实现的方法。

§3—1系统的标准形

关于等价变换等价变换的关系

其中为坐标变换阵，即有。

为基底变换阵。

1，选取基底阵时，即已知，通过下列关系式

可求出。

实际上

是基向量在线性变换作用下的像,简称基的像。

而的列就是基的像在这组基下的坐标。

的列就是的列在这组基下的坐标。

2，选取坐标矩阵时，即已知

通过下列关系式：

可求出。

实际上

是行向量，上式也可和“情况1”一样理解，即的第i行是行向量的像在对偶基下的坐标。

的第行是的第行在对偶基下的坐标。

3—1—1单输入系统的可控标准形

一个单输入系统具有如下面（3—1）式的形式，它一定是可控的。

这可计算可控性矩阵来验证。

（3—1）

（3—1）式的形式被称为单输入系统的可控标准形。

（3—1）式中的阵的特征式可计算如下

对于一般的单输入、单输出维动态方程

（3—2）

其中分别为、的矩阵，以下定理成立：

定理3—1若维单输入系统（3—2）可控，则存在可逆线性变换将其变换成可控标准形（3—1）。

下面给出变换矩阵的构成方法。

1）计算可控性矩阵；

2）计算,并记的最后一行为；

3）构造矩阵

（3—3）

4）令,由式即可求出变换后的系统状态方程。

证明因，因而，即

（3—4）

为了证明是可逆矩阵，取，令，即有

将上式右乘,运用（3—4）式,可得；将上式右乘,运用（3—4）式，可得；依此类推，可得。

即证明了是可逆矩阵。

根据可以证明所具有的形式。

附注：

（1）系统（3—2）可控，因此向量组线性无关，按下式定义的向量组

（3—5）

也线性无关，并可取为状态空间的基底。

这时等价变换矩阵。

同样可直接证明系统（3—2）也可化为（3—1）的形式。

（2）由于化同一标准形的变换矩阵是唯一的，故可知（3—5）式的基底矩阵的逆阵就是（3—3）式的坐标变换阵，即

=

3—1—2单输出系统的可观测标准形

一个单输出系统如果其阵有（3—6）的标准形式，它一定是可观测的，这可计算可观性矩阵的秩来验证。

（3—6）

（3—6）式称为单输出系统的可观测标准形。

定理3—2若n维单输出系统（3—2）可观测，则存在可逆线性变换将其变换成可观测标准形（3—6）。

现在通过对偶原理来找出将系统化为可观标准形的变换矩阵。

给定系统方程如下

若有等价变换

（3—7）

将其化为可观测标准形

式中具有（3—6）的形式。

现在构造原系统的对偶系统为

（3—8）

（3—9）

（3—8）、（3—9）的系统可控，可以通过化为下列的可控标准形，其变换矩阵为.

（3—10）

这里

（3—10）式的对偶系统即是原系统的可观测标准形，

（3—11）

（3—12）

因此有

（3—13）

比较上面两组式子，可知

（3—14）

例3—1系统动态方程为

将系统动态方程化为可观标准形，并求出变换矩阵。

解显然该系统可观测，可以化为可观标准形。

写出它的对偶系统的阵，分别为

根据这里的阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出阵：

1，计算可控性矩阵

2，对求逆，并求出

3，由（3—3）式求出阵

4，由（3—14）式求出阵

5，由（3—13）式求出

3—1—3多变量系统的可控（观）标准形

对于一般的多输入、多输出维动态方程

（3—15）

其中分别为、、的矩阵，令bi记B的第i列，即。

伦伯格（luenberger）标准形假设系统（3—15）可控，所以它的可控性矩阵满秩，写出U的各列有

（3—16）

为了把（3—15）化为标准形，需要重新选取状态空间的基底，而这组基可以从U的列向量中选取。

从（3—16）中选取n个线性无关的列向量的方法很多。

这里我们选取原则为首先按（3—16）排列次序选择线性无关的向量，即开始从，然后再考虑，接着是，…等等，直到得出n个线性无关向量为止。

要注意的是，若某一向量例如，由于和，线性相关而不予选取时，则对于的所有的向量均不会被挑选到，这是因为这些向量必然与其所在列位之前的诸向量线性相关。

按上述方法选定n个线性无关的向量后，将其重新排列如下：

（3—17）

其中是非负整数，且。

它被称为系统的克罗尼柯（Kronecker）不变量，可以证明在坐标变换下，它是不变的。

令

（3—18）

定理3—3设系统（3—15）可控，则存在等价变换将其变换为如（3—19）所示的伦伯格第一可控标准形

（3—19）

（3—20）

在的表达式中，“×”代表数字，它可以是零，也可以不是零。

定理的结论容易根据中列向量选取的原则来验证。

（3—20）式中、的形式表示了线性无关的情况，即的情况。

当与线性相关时，在中不出现，这时的第i列除了第行上的元素之外，其余元素都为零。

由于这时，故在中也不出现相应的块矩阵。

另外，在（3—20）式中，阵因无特殊形式，故未详细写出。

伦伯格可控标准形还有另一种形式，如果以表示（3—18）式所定义的P1阵的第行，然后构成矩阵如下

（3—21）

不难证明是非奇异阵。

事实上，如果有n维向量，使得

则有

（3—22）

显然属于矩阵的核空间。

由定义可知，这个矩阵的核空间由向量所张成。

因此有

（3—23）

其中是实常数。

在（3—23）左两边左乘，则由（3—22）式可知

由h1的定义可知，它和（3—17）式中的列向量除外都是正交的，所以推得

而，所以。

按照类似的方法可证明然后在等式（3—23）两边左乘可以证明，依此类推，可以证明所有为零，于是可得，从而说明P2是非奇异阵。

取变换矩阵为P2，作的变换，不难推证以下定理。

定理3—4设系统（3—15）可控，则存在等价变换将其化为（3—24）式的伦伯格第二可控标准形。

（3—24）

其中

这里分别是的矩阵。

例3—2设系统动态方程为

试求其可控标准形。

解计算可控性矩阵可知其前四个线性无关列为1,2,3,5列，故，并可求出

=[2100],=[0010]，从而可得

由计算，从而可得可控标准形

和单变量系统一样，根据对偶原理我们还可以得到伦伯格可观测标准形

定理3—5设系统（3—15）可观测，则存在等价变换将其变换为（3—25）式所示的伦伯格第一可观测标准形

（3—25）

其中

（3—26）

该定理的证明同定理3—3，这时只需由可观测性矩阵按行排列顺序挑选出n个线性无关行，挑出线性无关行后再按ci的顺序分组排列，写出与ci对应的那组如下

由以上形式的q组向量组成变换矩阵。

定理3—6设系统（3—15）可观测，则存在等价变换将其变换为（3—27）所示的伦伯格第二可观测标准形

（3—27）

其中

这里分别是的矩阵。

该定理证明与定理3—4类似，也可以用对偶定理，作为习题留给读者（见习题3—6）。

3—1—4多变量系统的三角标准形

若动态方程（3—15）可控，则其可控性矩阵

的秩为。

现在这样来选取阵中个线性无关的列向量。

从向量b1开始，然后继续选Ab1,A2b1至直到向量能用的线性组合来表示为止。

若，则方程能单独由B的第一列控制。

若，则继续选，直到向量能用；的线性组合表示为止。

若，则再继续选，依次进行下去，可以得到个线性无关的向量

；；（3—28）

式中，以这组线性无关的向量作为状态空间的基底，或等价地令，其中

（3—29）

定理3—7设系统（3—15）可控，则存在等价变换将其变换为如（3—30）式所示的三角形标准形

（3—30）

其中

（3—31）

注意（3—31）式表示的是均大于零的特殊情况。

（3—28）中的和（3—17）中的是不同的量，这可用以下例子来说明。

例3—3若系统（3—15）中的A、B矩阵如下

其中互异。

系统的可控性矩阵为

按照（3—17）的方式可选出,即；而按（3—28）的方式可选出,即=4，=0。