高考导数问题常见题型总结Word下载.docx
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当切点为（5,25）
时,切线斜率为；
所以所求的切线有两条,方程分别为
题型三：
利用导数研究函数的单调性,极值、最值
1．已知函数的切线方程为y=3x+1
（I）若函数处有极值，求的表达式;
（n）在（I）的条件下，求函数在［—3,1］上的最大值;
（皿）若函数在区间［—2,1］上单调递增，求实数b的取值范围
（1）由
过的切线方程为：
yf
（1）f
（1）（x1）,即y（abc1）（32ab）（x1）.
而过
由①②③得a=2,b二一4,c=5「.
2）
又在［－3，1］上最大值是13。
（3）y=f（x）在［—2,1］上单调递增，又由①知2a+b=0。
依题意在［—2,1］上xx有》0,即
1当；
2当；
3当
综上所述,参数b的取值范围是
2．已知三次函数在和时取极值,且．
（1）求函数的表达式；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件．
（1），
由题意得，是的两个根，解得，．
再由可得
（2），
当时，;
当时，；
当时，.•••函数在区间上是增函数;
在区间上是减函数；
在区间上是增函数.
函数的极大值是，极小值是.
（3）函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得
到的，
所以，函数在区间上的值域为（）.
而，二，即.
于是，函数在区间上的值域为.
令得或.由的单调性知，，即.
综上所述，、应满足的条件是：
，且．
3．设函数．
若的图象与直线相切，切点横坐标为2,且在处取极值，求实
数的值；
当b=1时,试证明：
不论a取何实数,函数总有两个不同的极
值点．
由题意,代入上式,解之得：
a=1,b=1．
2）当b=1时,
因故方程有两个不同实根．
不妨设,由可判断的符号如下：
因此是极大值点，是极小值点.，当b=1时，不论a取何实数，函
数总有两个不同的极值点。
题型四：
利用导数研究函数的图象
图象只可能是（
（A）（B）
2.函数（A）
1.如右图:
是f（X）的导函数，的图象如右图所示，贝Jf（X）的
OB、、2D3
题型五：
利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1.设函数
（1）求函数的单调区间、极值.
（2）若当时，XX有，试确定a的取值范围.
（1）=，令得
列表如下：
f（x）
•••在（a,）上单调递增，在（-8,3）和（，+8）上单调递减
时，，时，
（2）v,a对称轴,
•在[a+1,a+2]上单调递减
依题,即
解得，又的取值范围是
2.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=—与x=1时都取得极
值
（1）求a、b的值与函数f（X）的单调区间
2）若对x〔—1,2〕,不等式f（x）c2恒成立,求c的取值范
围。
（1）f（x）=x3+ax2+bx+c,f（x）=3x2+2ax+b
由f（）=,f
（1）=3++b=0得a=,b=-2
f（x）=3x2—x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表:
x
2
（—,—3）
-3
（—3,1）
1
（1，+）
+
—
极大值
极小值
所以函数f（x）的递增区间是（一，一）与（1,+）,递减区间是（一，1）
（2）f（x）=x3-x2-2x+c,x:
-1,2〕，当x=—时，f（x）
=+c
为极大值，而f
（2）=2+c,则f
（2）=2+c为最大值。
要使f（x）c2（x[-1,2〕）xx成立，只需c
（2）=2+c,解得c-1或c2
题型六：
利用导数研究方程的根
1.已知平面向量=（,-1）.=（,）.
（1）若存在不同时为零的实数k和t，使=+（t2-3）,二-k+t，丄,
试求函数关系式k=f（t）
3）•=0
整理后得-k+[t-k（t2-3）]+（t2-
V=0,=4,=1,.••上式化为-4k+t（t2-3）=0，即k=t（t2-3）
⑵讨论方程t（t2-3）-k=0的解的情况，可以看作曲线f（t）=t（t2-3）
与直线y=k的交点个数.
于是「（t）=（t2-1）=（t+1）（t-1）.
令f’（t）=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f’（t）、f（t）的变化情
况如下表:
t
（-a,-1）
-1
（-1,1）
（1,+a）
f’（t）
-
F（t）
\
当t=—1时，f（t）有极大值，f（t）极大值=.
当t=1时，f（t）有极小值，f（t）极小值=—
函数f（t）=t（t2-3）的图象如图13—2—1所示,
可观察出:
（1）当k＞或kv—时，方程f（t）—k=0有且只有一解;
⑵当k二或k二—时，方程f（t）—k=0有两解;
⑶当一Vkv时，方程f（t）—k=0有三解.
题型七：
导数与不等式的综合
1．设在上是单调函数.
1）求实数的取值范围；
（2）设》1,>
1,且，求证：
.
（1）若在上是单调递减函数，则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.
若在上是单调递增函数，则W,
由于.从而Ovaw3.
（2）方法1、可知在上只能为单调增函数.若1W,则若1W矛
盾，故只有成立.
方法2:
设，两式相减得>
1,u>
1,
2．已知为实数，函数
1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围
（2）若，（I）求函数的单调区间（n）证明对任意的，不等式XX成立
，
函数的图象有与轴平行的切线，有实数解
，，所以的取值范围是
由或；
由
的单调递增区间是；
单调减区间为
XX的最大值为，的极小值为，又
在上的最大值，最小值
对任意，XX有
题型八：
导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为的正六棱柱，上部的形
状是侧棱长为的正六棱锥（如右图所示）。
试问当帐篷的顶点0到底面
中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
设00伪，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：
，（单位：
）
故底面正六边形的面积为：
=，（单位：
帐篷的体积为：
（单位：
求导得。
令，解得（不合题意，舍去），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数。
答：
当00伪时，帐篷的体积最大，最大体积为。
2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）
关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗
油多少升？
II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？
最少为多少升？
（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,
要耗没（升）。
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗
油量为升,
依题意得
令得
因为在上只有一个极值，所以它是最小值。
当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油。
当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为。
题型九：
导数与向量的结合
求函数关系式;
（2）
则在上有
由;
由。
因为在t€上是增函数，所以不存在k,使在上XX成立。
故k的取
值范围是。
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