河南省洛阳市学年高二质量检测数学理试题+.docx
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河南省洛阳市学年高二质量检测数学理试题+
洛阳市2017—2018学年高二质量检测
数学试卷（理）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“如果，那么”的逆否命题是（）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
2.已知复数满足，其中为虚数单位，则复数（）
A．B．C．D．
3.若，为正实数，且，，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）
A．33B．36C．40D．48
5.已知等比数列的前项和为，若，且，则的值为（）
A．-1B．1C．-9D．9
6.牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（）
A．B．C．D．
7.函数的图象可能为（）
A．B．C．D．
8.在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数，若某班共有54名学生，则这个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为（附：
）（）
A．6B．7C．9D．10
9.已知球的内接长方体中，，若四棱锥的体积为2，则当球的表面积最小时，球的半径为（）
A．B．2C．D．1
10.若直线与曲线相切，且，则（）
A．1B．2C．3D．4
11.已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，，当最小时，点恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的长轴长为（）
A．B．C．D．
12.已知定义在上的函数，若有两个零点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：
本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.在的展开式中，各项系数的和是．
14.设，若，则常数．
15.若二项式的展开式中，的系数为1，则的值为．
16.已知函数在上存在极值点，则实数的取值范围为．
三、解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数.
（1）求的值域；
（2）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，求的面积.
18.已知数列满足，，数列满足.
（1）求证：
数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.
19.为了解学生喜欢校内、校外开展活动的情况，某中学一课外活动小组在学校高一年级进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：
分）进行统计，将数据按，，，，分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为类学生，低于60分的称为类学生.
（1）根据已知条件完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与是否为类学生有关系？
类
类
合计
男
110
女
50
合计
（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中类学生的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.
参考公式：
，其中.
参考临界值：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.如图，已知在等腰梯形中，，，，，，沿，折成三棱柱.
（1）若，分别为，的中点，求证：
平面；
（2）翻折后若，求二面角的余弦值.
21.已知，.
（1）求的极值；
（2）函数有两个极值点，，若恒成立，求实数的取值范围.
22.已知点在椭圆上，设，，分别为椭圆的左顶点，上顶点，下顶点，且点到直线的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，，为椭圆上两点，且，试问的面积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
洛阳市2017—2018学年高二质量检测
数学试卷参考答案（理）
一、选择题
1-5:
CAABD6-10:
CACBC11、12：
DD
二、填空题
13.114.215.16.
三、解答题
17.解：
（1）由题意知，
.
∵，
∴.
（2）∵，
∴，
∵，，∴，解得.
∵，，∴由余弦定理，
可得，解得，
∴.
18.解：
（1）因为，
即，∴，
由等差数列的定义可得是首项为，公差为的等差数列.
∴.
（2）由
（1）知，
所以，
两边同时乘以得，，
两式相减得，
即，
所以.
19.解：
（1）由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为，在之间的学生人数为，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为：
类
类
合计
男
80
30
110
女
40
50
90
合计
120
80
200
又的观测值为，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与类学生有关.
（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该学生为“类”的概率为.
依题意知，
所以，
所以的分布列为
0
1
2
3
所以期望，方差.
20.解：
（1）取的中点，连接，，在三角形中，
∵，分别为，的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面.
由于，分别为，的中点，由棱柱的性质可得，
∵平面，平面，∴平面.
又平面，平面，，
∴平面平面，∵平面，
∴平面.
（2）连接，在中，，，
∴，又，，
∴，∴，又且，
∴平面.
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则，则，令，
得，则为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则，
则，令，得，
∴为平面的一个法向量.
设，所成角为，则，
由图可知二面角的余弦值为.
21.解：
（1）的定义域为，，
令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值，无极大值.
（2），其定义域为，
则，
当时，仅有一解，不合题意.
当时，令得或.
由题意得，，且，所以，
此时的两个极值点分别为，.
当时，，所以，，
，而，又恒成立，则.
当时，，所以，，
.
设，则，
所以在上为减函数，，
所以，
又恒成立，则.
综上所述，实数的取值范围为.
22.解：
（1）由题意得，直线的方程为，，
∴点到直线的距离，
整理得，.
又点在椭圆上，∴，
联立解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
代入，并整理得.
∵，
∴，
∴，，
∴.
又，
∴，
整理得（满足），
∵
.
又点到直线的距离，
∴，
∴的面积为定值.
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