概率论与数理统计二.docx
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概率论与数理统计二
内容串讲
第一章随机事件及其概率
1．事件的关系与运算
必然事件：
—随机试验全部结果构成的集合。
不可能事件：
一般事件A：
若A、B为两事件若，则其蕴含：
“A发生导致B发生”。
若，这表示A发生时，B必不发生，反之亦然。
若A-B=A，则AB=φ；
若AB=A，则；
若A∪B＝A，则BA。
若为n个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，如
等等。
例1事件发生等于“至少有1个发生”。
2．常用概率公式
（1），，
（2）若，则
（3）；当，则
（4）
（5）
（6）若两两互不相容，则
（7）若相互独立，则
例2设
则
3．古典概型
古典概型：
当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A的概率为
例3从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设A：
取到两个白球；B：
一白一红球，求
（1）无放回抽样：
（2）有放回抽样：
每次有放回的取一球，连取两次
［注］：
若设X为两次有放回取球中取到白球数，则～，从而
4．条件概率
（1）若，则，其中A为任一事件。
（2）乘法公式：
（其中）
例4箱中有两白球、三红球，表第次取到白球，则
P（“前两次取到白球”）
P（“第一次取到白球，第二次取到红球”）
（3）全概率公式：
设是一完备事件组（或的一个划分），即：
，（即诸互不相容）且，则对任一事件A有
（4）Bayes公式
例5某工厂生产的产品以100个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过4个，并且恰有个次品的概率如下
（1）求各批产品通过的概率；
（2）求通过检查的各批产品中恰有i个次品的概率。
解：
（1）设事件是恰有个次品的一批产品，则由题设
设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则我们有
由全概率公式，即得
（2）由Bayes公式，所求概率分别为
5．事件的独立性
（1）定义：
A、B相互独立等价于
（2）若相互独立，则有
（3）有放回抽样中的诸事件是相互独立的。
例6袋中有3白球，2个红球，今有放回的抽取3次，求先后抽到（白、红、白）的概率
解：
设表第次抽到的白球，则所求为
（4）在n重贝努利（Bernoulli）试验中，若每次试验事件A发生的概率为，即，则事件A发生K次的概率为
例7一射手对同一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.8，求：
（1）恰好命中两次的概率；
（2）至少命中一次的概率。
解：
由于每次射击相互独立，故本题可视为的贝努利试验，其中
（1）设：
“4次射击恰命中两次”，则
（2）设B：
“4次射击中至少命中一次”，表“4次皆未命中”，则
第二章随机变量及其概率分布
1．离散型随机变量
例1设 ，则
2．常见离散型随机变量
（1）0—1分布：
设～，则
应用背景：
一次抽样中，某事件A发生的次数～，其中
例2设某射手的命中率为p，X为其一次射击中击中目标的次数，则X～
（2）二项分布：
设X～，则
应用背景：
n次独立重复抽样中某事件A发生的次数X～，其中为事件A在一次抽样中发生的概率。
例３ 某射手的命中率为0.8，X为其5次射击中命中目标的次数，则X取的可能值为，，即X～
记住：
若X～，则,
（3）泊松（Poisson）分布
若则称X服从参数的泊松分布，且，记X～，
应用背景：
偶然性事件发生的次数X一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。
另外，当Y～，且n很大，P很小时，令，则
例4一个工厂生产的产品中的次品率0.005，任取1000件，计算
解：
设X表任取的1000件产品中的次品数，则X～，由于n很大，p很小，令
则
（1）
（2）
3．随机变量的分布函数：
X的分布函数为
，
的性质：
①
②若，则
③
④，
例5设X的分布函数，其中，则b=______.
解：
由知（因为）
由，及题设时，故
综上有，即
例6设X的分布函数
求
解：
4．连续型随机变量
若，其中任意，则称X为连续型随机变量。
此时，；
其中为X的概率密度，满足（注意与分布律的性质：
相对照）
例7设X的概率密度为，则c=________
解：
由知，故
5．常见连续型随机变量
（1）均匀分布：
设X～，则，
，
例8设X～，且，则a=______
解：
易知且，即解得
（2）指数分布设～，则，
，
应用背景：
描述电子元件，某类动物的寿命，或服务时间等。
例9设X为某类电子元件的寿命，求这类元件已经使用t时，仍能正常工作的概率（设X～）
解：
由题意所求为
（3）正态分布，设～，则
，
，
特别，当～时，称服从标准正态分布，其密度函数记为分布函数记为
常用公式：
①若～，则，
，*
②若～，则
6.简单随机变量函娄的概率分布
例10设 ，求的概率分布。
解：
由题设，X的可能值为，故的可能值为
而
故
例11设X～，求的分布密度函数
解：
先求Y的分布函数：
，当；当时
再求Y的分布密度函数
故
第三章多维随机变量及其概率分布
1．二维随机变量
的分布函数
X的分布函数
Y的分布函数
2．离散型的分布律
（与比较）
例１ 设的分布律为
求
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：
（1）由知
解得
（2）
（3）
（4）（5）
3．连续型的分布密度
设D为平面上的区域，为的分布密度，则其满足：
特别，
若X，Y相互独立，则有，，其中分别为X的边缘分布函数和分布密度，分别为Y的边缘分布函数和分布密度。
4．常见二维连续型分布
（1）平面区域D上的均匀分布：
设D的面积为，服从D的均匀分布，则的分布密度为
例2设，即D为xy平面上的单位园域，则，设服从D上的均匀分布，则其*
解：
设具有D上的均匀分布，A为平面上的某一区域，则，其中表示A与D公共部分的面积。
例3（续例2）求
解：
（2）二维正态分布*，设具有该分布，则其概率密度为
*
此时X的边缘密度，即～故
Y的边缘密度，即Y～，故，
P为X，Y的相关系数，可知当时，，即X，Y相互独立，这是一个重要结论：
在正态分布的场合：
不相关等价于相互独立。
另外，可知*
例4设X～，Y～，两者相互独立，求的分布密度
解：
由相互独立知～
第四章随机变量的数字特征
1．单个随机变量的期望
例1设 ，则
例2设X的分布密度为，则
2．单个随机变量函数的期望
设X为随机变量，是普通函数，则是随机变量，且
*
例3设X的分布如例1，求的期望
解：
例4设X的分布密度如例2，求的期望
解：
当（其中）时，，即为X的方差
例4设
则，
（方差大者，取值分散）
［注］：
是重要常用公式
例5设随机变量X具有概率密度，求DX
解：
因是分段函数，故求时也要随之分段积分
于是
3．函数的期望
设是普通函数，则是随机变量，其数学期望EZ等于
例6设分布律为 ，
则
例７设的分布密度，则
当时，其中，则
是X，Y的协方差，即
（重点）
当时，其中
*为X，Y的相关系数
期望的重要性质
（1）（常数）
（2）
（3）
推广：
（4）若X，Y相互独立，则
方差的重要性质
（1）
，其中c为常数
（2）
特别
（3）若X，Y相互独立，则
（4）
例８设X，Y相互独立，且，则
协方差的运算性质：
（1）
（2），其中a，b为常数
（3）
（4）若X，Y相互独立，则，从而，即X与Y不相关
［注］：
一般地，若X，Y独立，则X，Y必不相关（即）；反之不真，即X，Y不相关推不出X，Y独立。
重要特例是：
若为正态分布，则X，Y独立等价于X，Y不相关（即）
例９设的分布律为 ，求
解：
易知
故，,
，
*
例１０设～，则*
例１１设为连续型，则X与Y不相关的充分必要条件是_______（选择题）
（A）X，Y独立（B）（C）
（D）～
解法1（排除法）：
排除（A），因X，Y独立不相关（故非充要条件）；排除（B），这一等式成立不需任何条件；排除（D），由服从正态分布及知X，Y独立，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论故选（C）
解法2（直接证明）：
当时，，故X，Y不相关；反之亦然。
第五章大数定律与中心极限定理
1．贝努利大数定律
贝努利大数定律：
设，为A在n次观测中发生的频率，则对任给的正数有
2．中心极限定理
设相互独立，同分布，从而它们有相同的期望和相同的方差
，其中为标准正态分布函数
［注］：
中心极限定理的含义是：
大量随机变量的和近似正态分布，即当n很大时近似某正态分布，为了便于查表近似计算，将标准化（从而标准化后其近似分布）
故上述随机变量的分布函数，即
在应用中心极限定理，大多用上式的形式
更进一步的特别场合为：
若相互独立同分布时，上式化为
这一式子在应用也较为常用
例1计算机进行加法计算时，设所取整误差是相互独立的随机变量，且都服从，求300个数相加的误差总和的绝对值小于10的概率。
解：
易知第i个加数的误差满足：
～，，故
故所
第六章统计量及其抽样分布
1．设总体～
则其样本相互独立，同分布，n为样本容量
从而～
～
例1设总体X～，则从而其样本的联合密度函数为
～
2．常见统计量
常见统计量：
设总体为X，为其样本，
不含任何未知参数的样本的函数称为统计量
（1）样本均值，，，这结论对任何总体都成立。
进一步的，若总体X～，则～，从而～
（2）样本方差，
，
（3）若总体X～，则有与相互独立，且
～
～*
（4）若总体X与总体Y相互独立，与分别为其样本，X～，Y～
，其中，，则
～
进一步的，若，则有
～
其中
3.关于分布的密度曲线及分位数
（1）分布
若～，则，
从而
而F分布的密度曲线与上图相似。
（2）分布
若～，则
t分布的密度曲线关于y轴对称，故有
例２设总体～，是容量n的样本均值，求
解：
由总体～，知，，
故，
例３设总体X～，为其样本，则
证明：
∵～
∴
即
第七章参数估计
1．矩法估计：
矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量
设X为总体，，，为其样本
则的矩估计
的矩估计
例1设总体～，其中皆未知，为其样本，求的矩估计
解：
因为，故
，故
例2设总体～，未知，求的矩估计
解：
因为，故（矩法方程），由此解得，即为的矩估计
例3设总体～，其中，未知为其样本，求P的矩估计
解：
由，故P的矩估计
2．极大似然估计
设总体X，具有概率密度函数，其中为未知参数，其变化范围为，为其样本，则似然函数为
若存在使｛｝，则称为的极大似然估计
一般求法：
①由题设，求出的表达式
②取对数：
*
③求导并令其等于0，建立似然方程*
④解之即得的极大似然估计
例4设是总体X的样本，总体概率密度为
求的矩估计和极大似然估计
解：
（1）由解得为之矩估计
（2）似然函数
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