高中数学函数知识点总结全.docx
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高中数学函数知识点总结全
高中数学函数知识点总结
1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3.注意下列性质：
要知道它的来历：
若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。
同样，对于元素a2,a3,……an,都有2种选择，所以，总共有种选择，即集合A有个子集。
当然，我们也要注意到，这种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为，非空真子集个数为
（3）德摩根定律：
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
4.你会用补集思想解决问题吗？
（排除法、间接法）
的取值范围。
7.对映射的概念了解吗？
映射f：
A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。
）
注意映射个数的求法。
如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。
如：
若，；问：
到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。
函数的图象与直线交点的个数为个。
8.函数的三要素是什么？
如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：
①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）
9.求函数的定义域有哪些常见类型？
函数定义域求法：
●分式中的分母不为零；
●偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
10.如何求复合函数的定义域？
义域是_____________。
例若函数的定义域为，则的定义域为。
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例求函数y=的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+的值域。
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：
求函数y=+的值域。
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例求函数y=的值域
12.求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？
切记：
做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂
15.如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
（1）定义法：
根据定义，设任意得x1,x2，找出f（x1）,f（x2）之间的大小关系
可以变形为求的正负号或者与1的关系
（2）参照图象：
①若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性；（特例：
奇函数）
②若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。
（特例：
偶函数）
（3）利用单调函数的性质：
①函数f（x）与f（x）＋c（c是常数）是同向变化的
②函数f（x）与cf（x）（c是常数），当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）＋f2（x）和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；如果负值函数f1
（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f（x）与在f（x）的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ（x），x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β）,φ（α）]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递增的；若函数u＝φ（x）,x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β），φ（α）]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递减的。
（同增异减）
⑦若函数y＝f（x）是严格单调的，则其反函数x＝f－1（y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
f（g）
g（x）
f[g（x）]
f（x）+g（x）
f（x）*g（x）都是正数
增
增
增
增
增
增
减
减
/
/
减
增
减
/
/
减
减
增
减
减
17.函数f（x）具有奇偶性的条件是什么？
（f（x）定义域关于原点对称）
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：
两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（3）f（x）是定义域在（-6,0），（0，6）上的奇函数，若x＞0时f（x）=求x＜0时f（x）
判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
二、奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
三、复合函数奇偶性
f（g）
g（x）
f[g（x）]
f（x）+g（x）
f（x）*g（x）
奇
奇
奇
奇
偶
奇
偶
偶
非奇非偶
奇
偶
奇
偶
非奇非偶
奇
偶
偶
偶
偶
偶
18.函数，T是一个周期。
）
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：
告诉你f（x）+f（x+t）=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：
，
同时可能也会遇到这种样子：
f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）.其实这都是说同样一个意思：
函数f（x）关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如，f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）就都表示函数关于直线x=a对称。
如：
19.你掌握常用的图象变换了吗？
联想点（x,y）,（-x,y）
联想点（x,y）,（x,-y）
联想点（x,y）,（-x,-y）
联想点（x,y）,（y,x）
联想点（x,y）,（2a-x,y）
联想点（x,y）,（2a-x,0）
注意如下“翻折”变换：
19.
（k为斜率，b为直线与y轴的交点）
的双曲线。
应用：
①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
利用它的单调性求最值
21.如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、代y=x，
2、令x=0或1来求出f（0）或f
（1）
3、求奇偶性，令y=—x；求单调性：
令x+y=x1
几类常见的抽象函数
1.正比例函数型的抽象函数
f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）
2.幂函数型的抽象函数
f（x）＝xa----------------f（xy）＝f（x）f（y）；f（）＝
例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）>0，f（－1）＝－2求f（x）在区间[－2,1]上的值域.
例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）>2，f（3）＝5，求不等式f（a2－2a－2）<3的解.
例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.
例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：
存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：
（1）f（0）；
（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.
例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：
①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝f（a）f（b），a、b∈N；③f
（2）＝4.同时成立？
若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.
例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：
（1）f
（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.
例7设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），
（1）求证：
f
（1）＝f（－1）＝0；
（2）求证：
f（x）为偶函数；
（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.
例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：
（1）当x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2）f（x）在x∈R上是减函数.
练习题：
1.已知：
f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（）
（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1
（C）f（0）＝0或1（D）以上都不对
2.若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（）
（A）f
（1）＝0（B）f（）＝f（x）
（C）f（）＝f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）
3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：
f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（）
（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）
（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）
4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有
f（x1－x2）＝，则f（x）为（）
（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（）
（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数
函数
1.函
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