第1章 11 两个基本计数原理.docx
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第1章11两个基本计数原理
1.1 两个基本计数原理
1．掌握分类计数原理与分步计数原理．（重点）
2．会用两个基本计数原理解决一些简单的应用问题．（难点）
[基础·初探]
教材整理1 分类计数原理
阅读教材P5～P6“例1”以上部分，完成下列问题．
如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．（ ）
（2）在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．（ ）
（3）从甲地到乙地有两类交通方式：
坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种．（ ）
（4）某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种．（ ）
【解析】
（1）× 在分类计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．
（2）√ 在分类计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事．
（3）√ 由分类计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7（种）不同的交通方式．
（4）√ 根据分类计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14（种）．
【答案】
（1）×
（2）√ （3）√ （4）√
教材整理2 分步计数原理
阅读教材P5～P6“例1”以上部分，完成下列问题．
如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．（ ）
（2）在分步计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．（ ）
（3）已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个．（ ）
（4）在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种．（ ）
【解析】
（1）√ 因为在分步计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．
（2）× 因为在分步计数原理中，要完成某件事需分几个步骤，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．
（3）√ 因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．
（4）× 因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步计数原理共有34种不同的夺冠情况．
【答案】
（1）√
（2）× （3）√ （4）×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
分类计数原理
（1）从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
（2）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【精彩点拨】
（1）按所选组长来自不同年级为分类标准．
（2）按个位（或十位）取0～9不同的数字进行分类．
【自主解答】
（1）分四类：
从一班中选一人，有4种选法；
从二班中选一人，有5种选法；
从三班中选一人，有6种选法；
从四班中选一人，有7种选法．
共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．
（2）法一 按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个）．
法二 按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）．
1．应用分类计数原理解题的策略
（1）标准明确：
明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法．
（2）不重不漏：
完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏．
（3）方法独立：
确定的每一类方法必须能独立地完成这件事．
2．利用分类计数原理解题的一般思路
[再练一题]
1．
（1）某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．
（2）有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法．
【解析】
（1）分两类：
买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．
（2）有3类不同方案：
第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；
第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；
第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．
其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．
【答案】
（1）3
（2）15
分步计数原理
一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码（各位上的数字允许重复）?
【精彩点拨】 根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步计数原理．
【自主解答】 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；
第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；
第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；
第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.
根据分步计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10000个四位数的号码．
1．应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．
2．利用分步计数原理解题的一般思路
（1）分步：
将完成这件事的过程分成若干步；
（2）计数：
求出每一步中的方法数；
（3）结论：
将每一步中的方法数相乘得最终结果．
[再练一题]
2．张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：
张涛共有多少种不同的理财方式？
【解】 由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．
第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；
第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式．
由分步计数原理，得2×3＝6种．
[探究共研型]
两个计数原理的辨析
探究1 某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？
若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？
【提示】 “完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成．而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”．
探究2 在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？
为什么？
【提示】 要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成．只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事．
探究3 在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？
你能分别用分类计数原理和分步计数原理求解吗？
你能说明分类计数原理与分步计数原理的主要区别吗？
【提示】 5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.
利用分类计数原理求解：
以选用5种不同的素菜分类：
选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法．故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15（种）不同的套餐．
利用分步计数原理求解：
第一步：
从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；
第二步：
从3种汤中，任选一种共3种不同的选法．
由分步计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×3＝15（种）不同套餐．
两个计数原理的主要区别在于分类计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事．
有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？
【精彩点拨】 从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成．即解答本题可“先分类，后分步”．
【自主解答】 第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；
第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；
第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；
第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．
根据分类计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．
1．能用分步计数原理解决的问题具有如下特点：
（1）完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；
（2）完成每一步有若干种方法；
（3）把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
2．利用分步计数原理应注意：
（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．
（2）“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉．
（3）若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．
[再练一题]
3．一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．
（1）某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？
（2）某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？
【解】
（1）第一类：
从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二类：
从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．
根据分类计数原理，共有10＋12＝22种取法．
（2）第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分步计数原理，共有10×12＝120种取法．
[构建·体系]
1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有________种．
【解析】 由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法．
【答案】 8
2．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有________种.【导学号：
29440000】
【解析】 分四步完成：
第一步：
第1位教师有3种选法；第二步：
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