抛物线阿基米德三角形Word格式.docx
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⎪11
⎪y2=2px
⎩22
解得两切线交点Q（y1y2，y1+y2），
2p2
进而可知QM∥x轴.
性质2：
QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行．
y1y2
y+y
x+xy+y
（y+y）2
由性质1知Q（
，12），M（12,12），易得P点坐标为（12,12），此点显
2p2228p2
p
然在抛物线上；
过P的切线的斜率为y1+y2
2
=2p
y1+y2=kAB，结论得证．
性质3如图，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的2倍．
如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、△SAI；
应用阿基米德三角形的性质：
弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的；
3
设BI与抛物线所围面积为S1，AI与抛物线所围面积为S2，AB与抛物线所围面积为S，
则S=S
-
S-3S
3S
=3S-S
=3（S-S
-S）-S
=3S-S，
ABI
QAB
QST
21222
12QST
2ABI
∴SABI=2SQST．
性质4：
若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线
设Q（x，y），由性质1，x=y1y2，y=y1+y2，
∴y1y2=2px
由A、B、C三点共线知
y1-y2=y1-y0
y2y2y2，
1-21-x0
2p2p2p
即y2+yy-yx-yx
1121020
10
=y2-2py，
将y=y1+y2，yy=2px代入得yy=p（x+x
），即为Q点的轨迹方程.
21200
性质5：
抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹．
利用两式相减法易求得以C点为中点的弦的斜率为，因此该弦与Q点的轨迹即直线l平行．
性质6若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
如上图，设l方程为ax+by+c=0，且A（x1,y1），B（x2,y2），弦AB过点C（x0,y0），
由性质2可知Q点的轨迹方程y0y=p（x+x0），
该方程与ax+by+c=0表示同一条直线，对照可得x=c,y=-bp，即弦AB过定点C（c，-bp）.
0a0aaa
性质7
（1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线；
反之，若阿基米德三角形的顶点Q在准线上，则底边过焦点．
（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形面积的最小值为p2．
证明
（2）：
若底边过焦点，则x0=
p,y
20
=0，Q点轨迹方程为x=-p即为准线；
易验证kQA⋅kQB=-1，即QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点；
x+x+p
y2+y2p
2|y1y2|
p2p2pp
224p24p24p2
而S=1|QM|（y-y）≥|QM|⋅|yy
|≥p2
QAB21212
a3
性质8底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为．
8p
|AB|=a，设Q到AB的距离为d，
|QM|
x1+x2
y2+y2
2yy
（y-y）2
由性质1知d≤=-
=12-12=12，
22p4p
设直线AB方程为：
x=my+n，则a=
4p4p
，
21
∴（y
-y）2≤a2，∴d≤
a21
，即S=
4p2
ad≤.
性质9在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB．
如图，作AA'
⊥准线，BB'
⊥准线，连接QA'
、QB'
、QF、AF、BF，
则kFA'
=-y1，显然k
FA'
⋅kQA
=-1，
∴FA'
⊥QA，又∵|AA'
|=|AF|，由三角形全等可得∠QAA'
=∠QAF，
∴△QAA'
≅△QAF，∴|QA'
|=|QF|，∠QA'
A=∠QFA，
同理可证|QB'
|=|QF|，∠QB'
B=∠QFB，
∴|QA'
|=|QB'
|，即∠QA'
B'
=∠QB'
A'
∴∠QA'
A=∠QA'
+900=∠QB'
B,
∴∠QFA=∠QFB，结论得证．
特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则QF⊥AB.
性质10|AF|·
|BF|=|QF|2．
（x+p）⋅（x
+
p）
+p++p2
（y1y2）2y2+y2p2
|AF|·
|BF|=12=x1x2（x1x2）=2p+12+，
222444
而|QF|2=（
y1y2-
p）2
+（y1+y2）2
=（y1y2）2
y2+y2p2
+12+
=|AF|
2p22
2p44
性质11在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST的垂心在准线上．
设A（2pt2,2pt）、B（2pt2,2pt）、I（2pt2,2pt），
112233
易求得过B、I的切线交点T
（2pt2t3,p（t2+t3）），
过T向QA引垂线，其方程为2t1x+y=p（t2+t3）+4pt1t2t3，它和抛物线准线的交点纵坐标y=p（t1+t2+t3）+4pt1t2t3，
显然这个纵坐标是关于t1,t2,t3对称的，因此从S点向QB引垂线，从Q点向ST引垂线，它们与准线的交点也是上述点，故结论得证．
例1：
（2019年台州高三期末21）设点P为抛物线Γ:
y2=x外一点，过点P作抛物线Γ的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．
（Ⅰ）若点P为（-1,0），求直线AB的方程；
（Ⅱ）若点P为圆（x+2）2+y2=1上的点，记两切线PA，PB的斜率分别为k，k，求|1-1
|的取值范围．
k1k2
解：
（Ⅰ）设直线PA方程为x=m1y-1，直线PB方程为x=m2y-1.
⎧x=m1y-1,
⎩
由⎨y2=x,
可得y2
-m1y+1=0.
因为PA与抛物线相切，所以∆=m2-4=0，取m=2，则y=1，x=1.
11AA
即A（1,1）.同理可得B（1,-1）.所以AB：
x=1.
（Ⅱ）设P（x0,y0），则直线PA方程为y=k1x-k1x0+y0，直线PB方程为y=k2x-k2x0+y0.
⎧y=k1x-k1x0+y0,
可得k1y
-y-k1x0+y0=0.
因为直线PA与抛物线相切，所以∆=1-4k（-kx+y）=4xk2-4yk
+1=0.
11000101
同理可得4xk2-4yk+1=0,所以k，k时方程4xk2-4yk+1=0的两根.
02021200
所以k+k=y0，kk=1.
1212
4x0
则k-k==.
12
又因为（x+2）2+y2=1，则-3≤x
≤-1，
⎣⎦
000
11
所以||=
=4=4
=4∈⎡4,213⎤.
例2：
已知点H（0,-8）,点P在x轴上,动点F满足PF⊥PH,且PF与y轴交于点Q,Q是线段PF的中点.
（1）求动点F的轨迹E的方程;
（2）点D是直线l:
x-y-2=0上任意一点,过点D作E的两条切线,切点分别为A,B,证明:
直线AB过定点.解:
（1）设F（x,y）,y≠0,P（m,0）,Q（0,n）,
则¯
P¯
¯
¯
˙=（-m,-8）,¯
Q¯
˙=（-m,n）,
∵PF⊥PH,∴m2-8n=0,即m2=8n,
=0,m=−x,
又
=n,
∴n=y,
代入m2=8n,得x2=4y（y≠0）.
故轨迹E的方程为x2=4y（y≠0）.
（2）证明:
设D（x0,x0-2）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,
∵直线DA与抛物线相切,且y'
=x,∴k
=x1,
∴直线DA的方程为y=x1x-y,
DA2
∵点D在DA上,∴x-2=x1x-y,化简得xx-2y-2x+4=0.
0201
0110
同理,可得B点的坐标满足x0x2-2y2-2x0+4=0.
故直线AB的方程为x0x-2y-2x0+4=0,即x0（x-2）-2（y-2）=0,∴直线AB过定点（2,2）.
练习1.已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．
练习2．如图，点F是抛物线τ：
x2=2py（p>
0）的焦点，点A是抛物线上的定点，且AF=（2,0），点B，
C是抛物线上的动点，直线AB，AC斜率分别为k1，
（1）求抛物线τ的方程；
k2．
（2）若k2-k1=2，点D是抛物线在点B，C处切线的交点，记∆BCD的面积为S，证明S为定值．
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