近年中考数学 专题突破导学练 第7讲 一元二次方程及其应用试题整理Word文档格式.docx

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2＝－q＋

2。

x1＝－

＋

x2＝－

－

3．公式法:

若ax2＋bx＋c＝0（a≠0）且b2－4ac≥0，则x1，2＝

4．因式分解法

若ax2＋bx＋c＝（ex＋f）（mx＋n），则ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－

重点：

把握常见的几种一元二次方程的解法

灵活运用根与系数的关系

知识点三：

一元二次方程的根的判别式

关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式为b2－4ac。

（1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则x1,2＝

；

（2）b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根,即x1＝x2＝

;

（3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根．

【考点解析】

类型一：

一元二次方程解的相关问题

例题1．（2017山东滨州）一元二次方程x2﹣2x=0根的判别式的值为（　　）

A．4B．2C．0D．﹣4

【考点】AA：

根的判别式．

【分析】直接利用判别式的定义，计算△=b2﹣4ac即可．

【解答】解:

△=（﹣2）2﹣4×

1×

0=4．

故选A．

类型二：

一元二次方程的解法

例题2若关于

的一元二次方程

有两个不相等的实数根，则实数

的取值范围是（）

A．

B．

且

C．

D．

或

【考点】根的判别式．

【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＜0，且k≠0然后解不等式即可．

【解答】解：

根据题意得△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＜0，且k≠0

解得

故选D

类型三：

一元二次方程的应用

（2016贵州毕节）为进一步发展基础教育，自2014年以来,某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．

（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】

（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2014年该县投入教育经费6000万元和2016年投入教育经费8640万元列出方程，再求解即可；

（2）根据2016年该县投入教育经费和每年的增长率,直接得出2017年该县投入教育经费为8640×

（1+0.2），再进行计算即可．

（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意得：

6000（1+x）2=8640

解得：

x=0.2=20%，

答：

该县投入教育经费的年平均增长率为20%;

（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，

所以2017年该县投入教育经费为：

y=8640×

（1+0.2）=10368（万元），

预算2017年该县投入教育经费10368万元．

【中考热点】

（2017山东滨州）根据要求,解答下列问题：

①方程x2﹣2x+1=0的解为　x1=x2=1　；

②方程x2﹣3x+2=0的解为　x1=1，x2=2　；

③方程x2﹣4x+3=0的解为　x1=1，x2=3　；

…

（2）根据以上方程特征及其解的特征,请猜想：

①方程x2﹣9x+8=0的解为　1、8　；

②关于x的方程　x2﹣（1+n）x+n=0　的解为x1=1,x2=n．

（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．

【考点】A6：

解一元二次方程﹣配方法；

A3:

一元二次方程的解;

A8:

解一元二次方程﹣因式分解法．

（1）利用因式分解法解各方程即可;

（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；

②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1,则一次项系数为1和n的和的相反数,常数项为1和n的积．

（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．

（1）①（x﹣1）2=0,解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1,；

②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；

③（x﹣1）（x﹣3）=0,解得x1=1,x2=3,方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1,x2=3;

（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1,x2=8；

②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．

（3）x2﹣9x=﹣8，

x2﹣9x+

=﹣8+

，

（x﹣

）2=

x﹣

=±

所以x1=1，x2=8；

所以猜想正确．

故答案为x1=x2=1；

x1=1，x2=2；

x1=1,x2=3;

x2﹣（1+n）x+n=0;

【达标检测】

1.（2017•温州）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（　　）

A．x1=1,x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=﹣1，x2=3D．x1=﹣1,x2=﹣3

【考点】A3：

一元二次方程的解．

【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．

把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，

所以2x+3=1或2x+3=﹣3，

所以x1=﹣1，x2=﹣3．

故选D．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

若｜x2﹣4x+4｜与

互为相反数,则x+y的值为（　　）

A．3B．4C．6D．9

【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+

=0，再根据非负数的性质得x2﹣4x+4=0，2x﹣y﹣3=0，然后利用配方法求出x，再求出y,最后计算它们的和即可．

根据题意得｜x2﹣4x+4｜+

=0，

所以｜x2﹣4x+4|=0，

=0，

即（x﹣2）2=0，2x﹣y﹣3=0,

所以x=2，y=1，

所以x+y=3．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：

将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了非负数的性质．

3.若关于x的方程kx2﹣3x﹣

=0有实数根,则实数k的取值范围是（　　）

A．k=0B．k≥﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k＞﹣1

【分析】讨论:

当k=0时，方程化为﹣3x﹣

=0，方程有一个实数解；

当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣

）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．

当k=0时,方程化为﹣3x﹣

=0，解得x=

当k≠0时,△=（﹣3）2﹣4k•（﹣

）≥0,解得k≥﹣1,

所以k的范围为k≥﹣1．

故选C．

4。

（2017张家界）已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根是m，n,则m2+n2=　17　．

【考点】AB：

根与系数的关系．

【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系，求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．

∵m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两个根,

∴m+n=3，mn=﹣4，

则m2+n2=（m+n）2﹣2mn=9+8=17．

故答案为：

17．

5.（2017•玉林）已知关于x的一元二次方程：

x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0．

（1）求证:

对于任意实数t,方程都有实数根；

（2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？

请说明理由．

【考点】AB:

根与系数的关系；

AA：

根的判别式．。

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（t﹣3）2≥0，由此可证出：

（2）设方程的两根分别为m、n，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系,即可得出m+n=t﹣1=0，解之即可得出结论．

【解答】

（1）证明：

在方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0中,△=［﹣（t﹣1）]2﹣4×

（t﹣2）=t2﹣6t+9=（t﹣3）2≥0，

∴对于任意实数t，方程都有实数根；

（2）解：

设方程的两根分别为m、n,

∵方程的两个根互为相反数，

∴m+n=t﹣1=0，

t=1．

∴当t=1时，方程的两个根互为相反数．

【点评】本题考查了根的判别式、相反数以及根与系数的关系，解题的关键是:

（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；

（2）根据相反数的定义结合根与系数的关系，找出t﹣1=0．

6。

．（2017湖北江汉）若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根,则2α2+3αβ+5β的值为（　　）

A．﹣13B．12C．14D．15

【分析】根据一元二次方程解的定义得到2α2﹣5α﹣1=0，即2α2=5α+1,则2α2+3αβ+5β可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=

，αβ=﹣

然后利用整体代入的方法计算．

∵α为2x2﹣5x﹣1=0的实数根，

∴2α2﹣5α﹣1=0，即2α2=5α+1，

∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，

∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，

∴α+β=

αβ=﹣

，

∴2α2+3αβ+5β=5×

+3×

（﹣

）+1=12．

故选B．

7。

（2017年江苏扬州）一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．不能确定

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

∵△=（﹣7）2﹣4×

（﹣2）=57＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

8.（2016·

广西百色·

10分）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙,与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．

（1）求这地面矩形的长;

（2）有规格为0.80×

0.80和1.00×

1。

00（单位：

m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？

（1）根据题意表示出长方形的长，进而利用长×

宽=面积,求出即可；

（2）分别计算出每一规格的地板砖所需的费用，然后比较即可．

（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：

x（20﹣x）=96,

解得x1=12，x2=8（舍去），

这地面矩形的长是12米；

（2）规格为0.80×

0.80所需的费用：

96×

（0。

80×

0.80）×

55=8250（元）．

规格为1。

00×

00所需的费用：

（1.00×

00）×

80=7680（元）．

因为8250＜7680,

所以采用规格为1.00×

1.00所需的费用较少．