高中数学必修三第二章《统计》221用样本的频率分布估计总体分布二Word下载.docx
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例1 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产量数据（单位：
千克）如下：
品种A：
357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.
品种B：
363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430.
（1）画出茎叶图；
（2）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，得出统计结论．
解
（1）茎叶图如图．
（2）样本容量不大，画茎叶图很方便，此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息丢失，而且还可以随时记录新的数据．
（3）通过观察茎叶图可以看出：
①品种A亩产量的平均数比品种B亩产量的平均数大；
②品种A的亩产量波动比品种B的亩产量波动大，故品种A的亩产量稳定性较差．
反思与感悟 由于茎叶图较好地保留了原始数据，所以可以帮助我们分析样本数据的大致频率分布．在利用茎叶图分析数据特点时，要注意区别茎与叶．
跟踪训练1 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：
甲运动员得分：
13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；
乙运动员得分：
49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.
试制作茎叶图来对比描述这些数据．
解 以十位数字为茎，个位数字为叶，制作茎叶图如图：
命题角度2 茎叶图的应用
例2 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：
62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：
73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
根据两组数据作出两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）．
解 两地区用户满意度评分的茎叶图如图：
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；
A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
反思与感悟 茎叶图可保留原始数据，还可以通过叶的疏密情形，得到样本数据的分布离散情形．
跟踪训练2 一家连锁超市拥有多个分店，为分析各个分店的销售状况，管理部门收集了A、B两个规模相近的分店50天的销售额数据（单位：
万元）：
A分店：
44 57 59 60 61 61 62 63 63 65
66 66 67 69 70 70 71 72 73 73
73 74 74 74 75 75 75 75 75 76
76 77 77 77 78 78 79 80 80 82
85 85 86 86 90 92 92 92 93 96
B分店：
35 39 40 44 44 48 51 52 52 54
55 56 56 57 57 57 58 59 60 61
61 62 63 64 66 68 68 70 70 71
71 73 74 74 79 81 82 83 83 84
85 90 91 91 94 95 96 100 100 100
（1）将两个分店的销售额制成茎叶图；
（2）比较两个分店销售额分布的特点．
解
（1）茎叶图如图所示：
（2）由茎叶图可以看出A分店销售额的分布比较均匀，平均销售额是74.38万元，B分店的销售额分布不太均匀，其平均销售额是68.48万元，因此A分店的销售情况比B分店的好．
类型二 茎叶图与频率分布直方图的综合应用
例3 从甲、乙两个城市所有的自动售货机中随机抽取16台，记录了上午8∶00～11∶00之间各自的销售情况（单位：
元）：
甲：
18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41；
乙：
22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.
试用纵坐标为频数的频数分布直方图与茎叶图的方式分别表示上面的数据，并简要说明各自的优点．
解 方法一 用频数分布直方图表示如图：
方法二 茎叶图如图，两竖线中间的数字表示甲、乙销售额的十位数，两边的数字表示甲、乙销售额的个位数．
从方法一可以看出频数分布直方图能直观地反映数据分布的大致情况，并且能够清晰地表示出各个区间的具体数目；
从方法二可以看出，用茎叶图表示有关数据，对数据的记录和表示都带来方便．
反思与感悟 茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以在抽样的过程中随时记录，但样本容量较大，或者需要比较三组以上的数据时，使用茎叶图就不合适；
而频率分布表和频率分布直方图可以处理样本容量很大的数据，但损失了样本的原始数据，而且必须在完成抽样后才能制作．
跟踪训练3 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]的分组作出了频率分布直方图，并作出了分数的茎叶图（图中仅列出得分在[50,60），[90,100]的数据），如图．
则样本容量n和频率分布直方图中x，y的值分别为（ ）
A．50,0.030,0.004B．30,0.040,0.003
C．30,0.030,0.040D．50,0.300,0.400
答案 A
解析 由题意可知，样本容量n＝
＝50，y＝
＝0.004，x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.
1.如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（ ）
A．组距越大，频率分布折线图越接近于它
B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它
C．阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比
D．阴影部分的平均高度代表总体在（a，b）内取值的百分比
答案 C
2．对一个未知总体，下列方法：
①频率分布直方图；
②频率分布表；
③频率分布折线图；
④茎叶图；
⑤总体密度曲线．
其中可以用来表示样本数据的频率分布的有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
3．在茎叶图中比40大的数据有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案 B
4．从茎叶图观察比较甲、乙成绩哪个稳定的问题，下列说法正确的是（ ）
A．主要看叶，叶越齐越稳定
B．主要看众数，等于众数的数据越多越稳定
C．主要看中位数，中位数越大越稳定
D．主要是看成绩的分布，在中位数附近相对集中，则成绩稳定
答案 D
5．一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为
，则第三组的频数为（ ）
A．16B．20C．24D．36
解析 因为频率＝
，所以第二、四组的频数都为72×
＝16.所以第三组的频数为72－2×
8－2×
16＝24.
1．估计总体的分布分两种情况：
当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；
当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图．
2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以在抽样的过程中随时记录；
而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的原始信息，必须在完成抽样后才能制作．
40分钟课时作业
一、选择题
1．当样本数据增加时，下列说法正确的是（ ）
A．频率分布表不会变化
B．茎叶图不会变化
C．频率折线图不会变化
D．频率分布直方图变化不太大
2．某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是（ ）
A．5B．4C．3D．2
解析 去掉最低分87，去掉最高分94（假设x≤4），则7×
91＝80×
2＋9＋8＋90×
5＋2＋3＋2＋1＋x，
∴x＝2，符合题意．
同理可验证x>
4不合题意．
3．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：
台）的茎叶图，则数据落在区间[22,30）内的频率为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.5D．0.6
解析 依据茎叶图，在区间[22,30）内频数为4，样本容量为10，故对应的频率为
＝
＝0.4，故选B.
4．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5），[5,10），…，[30,35），[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）
解析 由于频率分布直方图的组距为5，去掉C、D，又[0,5），[5,10）两组各一人，去掉B，应选A.
5．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知（ ）
A．甲运动员的成绩好于乙运动员
B．乙运动员的成绩好于甲运动员
C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
D．甲运动员的最低得分为0分
解析 从茎叶图上看，由于甲运动员的成绩多数集中在31以上，而乙运动员的成绩集中在12到29之间，所以甲运动员成绩较好．
6．关于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是（ ）
A．频率分布折线图与总体密度曲线无关
B．频率分布折线图就是总体密度曲线
C．样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线
D．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线
解析 总体密度曲线通常都是用样本频率分布估计出来的．如果样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线就是总体密度曲线．
二、填空题
7．从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验，成绩的茎叶图如图所示，则甲、乙两班的最高成绩分别是______，______.从图中看，________班的平均成绩较高．
答案 96 92 乙
解析 由茎叶图可知，甲班的最高分是96，乙班的最高分是92.甲班的成绩集中在（60,80）内，乙班的成绩集中在（70,90）内，故乙班的平均成绩较高．
8．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：
cm），所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.
答案 24
解析 由频率分布直方图可得树木底部周长小于100cm的频率是（0.025＋0.015）×
10＝0.4，又样本容量是60，所以频数是0.4×
60＝24.
9．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：
cm），获得身高数据的茎叶图如图．
根据茎叶图判断________班的平均身高较高．
答案 乙
解析 由茎叶图可知：
甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班．
三、解答题
10．在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：
10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.
在某报纸的一篇文章中，每个句子的字数如下：
27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.
请画出这两组数据的茎叶图．
解
11．某市对2016年11月5日—2016年12月4日的空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103，
95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
（1）完成频率分布表；
（2）作出频率分布直方图；
（3）根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；
在51～100之间时，为良；
在101～150之间时，为轻微污染；
在151～200之间时，为轻度污染．
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．
解
（1）频率分布表：
分组
频数
频率
[41,51）
2
[51,61）
1
[61,71）
4
[71,81）
6
[81,91）
10
[91,101）
5
[101,111]
（2）频率分布直方图如图所示．
（3）答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的
；
有26天处于良的水平，占当月天数的
处于优或良的天数为28，占当月天数的
.说明该市空气质量基本良好．
②轻微污染有2天，占当月天数的
污染指数在80以上的接近轻微污染的天数为15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的
，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善．
12．有一容量为50的样本，数据的分组及各组的数据如下：
[10,15），4；
[30,35），9；
[15,20），5；
[35,40），8；
[20,25），10；
[40,45]，3；
[25,30），11.
（1）列出样本频率分布表；
（2）画出频率分布直方图及折线图．
解
（1）由所给的数据，不难得出以下样本的频率分布表：
数据段
[10,15）
0.08
[15,20）
0.10
[20,25）
0.20
[25,30）
11
0.22
[30,35）
9
0.18
[35,40）
8
0.16
[40,45]
3
0.06
合计
50
（2）频率分布直方图如图1所示，频率分布折线图如图2所示．
13．有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
[－20，－15），7；
[－15，－10），11；
[－10，－5），15；
[－5,0），40；
[0,5），49；
[5,10），41；
[10,15），20；
[15,20]，17.
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图和折线图；
（3）求样本数据不足0的频率．
解
（1）频率分布表如下：
[－20，－15）
7
0.035
[－15，－10）
0.055
[－10,5）
15
0.075
[－5,0）
40
0.2
[0,5）
49
0.245
[5,10）
41
0.205
20
0.1
[15,20]
17
0.085
200
（2）频率分布直方图和折线图如图所示．
（3）样本数据不足0的频率为0.035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.
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