上海高考数学真题及答案Word格式文档下载.docx
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51:
函数的性质及应用.
【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1,3）,由此能求出a.
•常数a€R,函数f（x）=1og2（x+a）.「
f（x）的反函数的图象经过点（3,1）,
•••函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1,3）,
•••Iog2（1+a）=3,
解得a=7.
7.
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.
5.（4分）（2018?
上海）已知复数z满足（1+i）z=1-7i（i是虚数单位），则|z|=5.
【考点】A8:
复数的模.
I\I;
【专题】38:
对应思想；
4A:
数学模型法；
5N:
数系的扩充和复数.
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案.
由（1+i）z=1-7i,
得1-五-6-8i戸
得二（1+i）（17〕，
则|z|=」二..
5.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.
6.（4分）（2018?
上海）记等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若a3=0,as+az=14,则S7=14.
【考点】85:
等差数列的前n项和.
34:
方程思想；
54:
等差数列与等比数列.
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出ai=-4,d=2，由此能求出S7.
•••等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=0,a6+a7=14.
Ifai+2d=0
・・<
ai+5ai+6d=l4
解得ai=-4,d=2,
•••S7=7ai+^^尸-28+42=14.
14.
【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能
力，考查函数与方程思想，是基础题.
7.（5分）（2018?
上海）已知a€{-2,-1,-一.一，1,2,3}，若幕函数f（x）=xa为奇函数，
■1—1
且在（0,+x）上递减，则a=-1.
【考点】4U:
幕函数的概念、解析式、定义域、值域.
4O:
【分析】由幕函数f（x）=xa为奇函数，且在（0,+x）上递减，得到a是奇数，且av0,由此能
求出a的值.
【解答】解:
Ta€{-2,-1,1,1,2,3},
幕函数f（x）=xa为奇函数，且在（0,+X）上递减，
•a是奇数，且av0,
•••a=-1.
-1.
【点评】本题考查实数值的求法，考查幕函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想，是基础题.
8.（5分）（2018?
上海）在平面直角坐标系中，已知点A（-1,0）、B（2,0）,E、F是y轴上的
两个动点，且|卩|=2，则二，匸的最小值为-3.
【考点】9O:
平面向量数量积的性质及其运算.
35:
转化思想；
41:
向量法；
5A:
平面向量及应用.
【分析】据题意可设E（0,a）,F（0,b）,从而得出|a-b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得
1|■■-•,将a=b+2带入上式即可求出‘I的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出.1'
I
的最小值.
根据题意，设E（0,a）,F（0,b）;
二丨丨--:
;
•••a=b+2，或b=a+2；
且|三站・••「:
；
.••両■丽二一2十命；
当a=b+2时，…丨.：
「—|<
|:
•••b2+2b-2的最小值为；
4■；
•<
-1；
的最小值为-3,同理求出b=a+2时，Z-I卜的最小值为-3.
-3.
【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式.
9.（5分）（2018?
上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是丄（结果用最简分数表示）.
—冬—
【考点】CB:
古典概型及其概率计算公式.
49:
概率与统计.
【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可.
编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；
2个2,没有2，3种情况，所有的事件总数为：
心訂10，
这三个砝码的总质量为9克的事件只有：
5,3,1或5,2,2两个，
所以：
这三个砝码的总质量为9克的概率是：
亠4,
亍.
【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查.
10.（5分）（2018?
上海）设等比数列｛an｝的通项公式为an=qn_1（n€N*）,前n项和为Sn.若lim-—=^，贝卩q=—.
n—Kan+iz
【考点】8J:
数列的极限.
55:
点列、递归数列与数学归
纳法.
【分析】禾I」用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可.
等比数列｛an｝的通项公式为a=q"
1（n€N*）,可得ai=1,
因为r八‘=丄，所以数列的公比不是1,
n+san+l乂
口1-Q
n
an+i=q.
【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.
11.（5分）（2018?
上海）已知常数a>
0,函数f（x）='
的图象经过点P（p,\）,Q（q,）•若
2z+ax55
2p+q=36pq，则a=6.
【考点】3A:
函数的图象与图象的变换.
【专题】35:
【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值.
函数f（x）=_-——的图象经过点P（p,¥
）,Q（q,丄）.
严十"
同I5
则：
一二丄,
2p+ap2qfaq55
整理得：
「=1,
2p+n+2paQ+2qap+
解得：
2p+q=a2pq,
由于：
2p+q=36pq,
a2=36,
由于a>
0,
故：
a=6.
6
【点评】本题考查的知识要点：
函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用.
12'
（5分）（2018?
上海）已知实数"
心y1、y2满足：
Xl2+yi2=1,X22处1,X1X2+y1y2「则
"
I—"
的最大值为一+亠
【考点】7F:
基本不等式及其应用；
IT:
点到直线的距离公式.
48:
分析法；
59:
不等式的解法及应用.
【分析】设A（xi,yi）,B（x2,y2）,OA=（xi,yi）,OB=（x2,y2）,由圆的方程和向量数量积的
为点A,B两点到直线x+y-1=0的距离di与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值.
设A（xi,yi）,B（x2,y2）,
'
■=（xi,yi）,l-=（X2,y2）,
由xi2+yi2=1,x22+y22=1,xix2+yiy2=
2
可得A,B两点在圆x2+y2=1上,
且玉鉅=1X1xcos/AOB=L,
2[-
即有/AOB=6°
即三角形OAB为等边三角形,
AB=1,
弱'
5弱"
的几何意义为点A，B两点到直线x+y-1=0的距离di与d2之和,
显然A,B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行,可设AB:
x+y+t=0,（t>
0）,
由圆心O到直线AB的距离
=■:
1-
苗1
即有两平行线的距离为
即h、川+丨丄「：
1的最大值为:
-:
+■;
V2V2
.〕+「:
:
.
【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项•考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
22|
13.（5分）（2018?
上海）设P是椭圆=1上的动点，贝UP到该椭圆的两个焦点的距离之和为
53
（）
A.2B.2:
C.2!
.D.4'
：
」［\\:
JJ；
【考点】K4:
椭圆的性质.
5D:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a,接利用椭圆的定义，转化求解即可.
22
椭圆'
=1的焦点坐标在x轴，a="
，
22-
P是椭圆I厂=1上的动点，由椭圆的定义可知：
则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2J53
故选：
C.
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查.
14.（5分）（2018?
上海）已知a€R,贝U“A1”是1”的（）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C•充要条件D.既非充分又非必要条件
【考点】29:
充分条件、必要条件、充要条件.
5L:
简易逻辑.
【分析】“A1”？
“丈1”，丄V1”？
“A1或av0”，由此能求出结果.
aa
a€R,贝U“a1”？
“V1”，
a
丄J.”？
“a1或av0”，
...“A1”是丄"
的充分非必要条件.
A.
【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.
15.（5分）（2018?
上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，
设AAi是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的
一边，则这样的阳马的个数是（）
A.4B.8C.12D.16
【考点】D8:
排列、组合的实际应用.
38:
4R:
转化法；
5O:
排列组合.
【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.
根据正六边形的性质，则D1-A1ABB1,D1-A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E,和D1一样，有2X6=12，
丿IJ'
当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，
当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，
故有12+2+2=16
D.
【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题.
16.（5分）（2018?
上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的
图象绕原点逆时针旋转一后与原图象重合，则在以下各项中，f
（1）的可能取值只能是（）
A..「；
B.C._D.0
函数的性质及应用；
56:
三角函数的求值.
I■-..I.
【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.
由题意得到：
问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转——个单位后
与下一个点会重合.
我们可以通过代入和赋值的方法当f
（1）=亠一，0时，此时得到的圆心角为0,然
而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=—，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选：
B.
2b
B.
定义性函数的应用.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步
骤.
17.（14分）（2018?
上海）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.
（1）设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；
（2）设PO=4,OA、OB是底面半径，且/AOB=9°
M为线段AB的中点，如图•求异面直线PM与OB所成的角的大小.
【考点】LM:
异面直线及其所成的角；
L5:
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；
LF:
棱柱、棱锥、棱台的体积.
31:
数形结合；
41:
5F:
空间位置关系与距离；
5G:
空间角.
【分析】
（1）由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.
I'
；
:
a|!
（1）•••圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,
•••圆锥的体积v=£
X71心2xh=7"
XITX22X^/7^-22
JJ
=師兀
■.
（2）tPO=4,OA,OB是底面半径，且/AOB=9°
M为线段AB的中点，
•••以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
P（0,0,4）,A（2,0,0）,B（0,2,0）,
M（1,1,0）,O（0,0,0）,
「二（1,1,-4）,'
=（0,2,0）,
设异面直线PM与OB所成的角为9,
=Im-oEI1
=:
|wi|-|0B|
则cos9
•异面直线PM与OB所成的角的为arccos—
•9=arcc
飞'
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.
18.（14分）（2018?
上海）设常数a€R,函数f（x）=asin2x+2cos2x.
（1）若f（x）为偶函数,求a的值；
（2）
•f（-x）=f（x）,
•-asin2x+2co$x=asin2x+2coSx,
二2asin2x=0,
•f（x）=:
sin2x+2coVx=:
sin2x+cos2x+1=2sin（2x+—）+1,
•••f（x）=1-:
■:
•2sin（2x+二）+1=1-近,
•••sin（2x
19.（14分）（2018?
上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的
平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：
当S中X%（0vxv100）
的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
IpO,0<
x<
30
f（X）=30<
.<
100（单位：
分钟），
IH
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；
讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义.
【考点】5B:
分段函数的应用.
【专题】12:
应用题；
4C:
分类法；
（1）由题意知求出f（x）>
40时x的取值范围即可；
（3）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义.
【解答】解；
（1）由题意知，当30vxV100时，
即x2-65x+900>
解得xV20或x>
45，
•Ix€（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;
（2）当0vx<
30时,
g（x）=30?
x%+40（1-x%）=40-希;
丄LJ
当30vxV100时,
当0Vxv32.5时，g（x）单调递减；
当32.5Vxv100时，g（x）单调递增;
说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的;
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的;
当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.
20.（16分）（2018?
上海）设常数t>
2•在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2,0），直线I:
x=t，曲线ry2=8x（0<
x<
t,y>
0）.I与x轴交于点A、与r交于点B.P、Q分别是曲线r与线段AB上的动点.
（1）用t表示点B到点F的距离;
（2）设t=3,|FQ|=2,线段0Q的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在r上？
若存在，求点P的坐标;
若不存在，说明理由.
【考点】KN:
直线与抛物线的位置关系.
5D:
（1）方法一：
设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|;
方法二：
根据抛物线的定义，即可求得|BF|;
（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得0D的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；
（3）设P及E点坐标，根据直线kPF?
kFQ=-1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据「+卩」=-，
求得E点坐标，贝则（牝+F）2=8（「+6），即可求得P点坐标.；
|
I知Im:
/
由题意可知：
设B（t，2逅t）,
则|BF|=.•=+2，•••IBF|=t+2；
设B（t,2血t）,
由抛物线的性质可知：
|BF|=t^-=t+2,•|BF|=t+2；
（2）F（2,0）,|FQ|=2,t=3,则|FA|=1,
•|AQ|=庚，•Q（3,旧,设OQ的中点D,
3
，2
）,
D（
V3严
x==,x=6（舍去），
•△AQP的面积S〒x體X丄斗3；
（3）存在，设P（牛，y）,E（弓m）,则kPF=^^=J,kFQ芈H
38匚―y-168V
8
2222
直线qf方程为卡（x-2），「yQ嚮（8-2）咛，Q（8,气j根据丨•+|.'
=「.，则EC+6，’亠丁）,
84y
...（耳J）2=8（红+6）,解得：
y2半,
4y85
.存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在r上，且P（二，）
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档
题.
21.（18分）（2018?
上海）给定无穷数列｛an｝，若无穷数列｛bn｝满足：
对任意n€N*，都有|bn-an|w1，则称｛bn｝与｛an｝接近”.
（1）设｛an｝是首项为1，公比为丄的等比数列，bn=an+1+1，n€N，判断数列｛bn｝是否与｛an｝接近，并说明理由；
（2）设数列｛an｝的前四项为：
a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，｛bn｝是一个与｛an｝接近的数列，记集合M=｛x|x=bi，i=1，2，3，4｝，求M中元素的个数m；
（3）已知｛an｝是公差为d的等差数列，若存在数列｛bn｝满足：
｛bn｝与｛an｝接近，且在b2-b1，b3-b2，…，b201-b200中至少有100个为正数，求d的取值范围.
【考点】8M:
等差数列与等比数列的综合.
【专题】34：
54：
（1）运用等比数列的通项公式和新定义接近”，即可判断；
（2）由新定义可得1wbn<
an+1，求得bi，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；
（3）运用等差数列的通项公式可得an，讨论公差d>
0,d=0，-2vdv0,dw-2,结合新定义接近”，推理和运算，即可得到所求范围.
（1）数列｛bn｝与｛an｝接近.
可得an-1wbnWan+1,
数列｛an｝的前四项为：
ai=1,a2=2,33=4,a4=8,
可得bi€[0,2],b2€[1,3],b3€[3,5],b4€[7,9],
可能bi与b2相等，b2与b3相等，但bi与b3不相等，b4与b3不相等，
集合M=｛x|x=bi,i=1,2,
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