李庆扬 数值分析第五版第7章习题答案0824Word文档格式.docx

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将方程f（x）=O改写成等价的形式x=W（x），若要求X*满足f（x*）=O,贝yx*=W（x*）；

反之亦然，称x*为函数申（x）的一个不动点。

4.什么是不动点迭代法？

申（X）满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于

④（X）的不动点

P215

求f（x）=0的零点就等价于求W（x）的不动点，选择一个初始近似值x0，将它代入xN（x）的右端，可求得

Xi=9（X0），如此反复迭代有

Xk+=^（Xk）,k=0,1,2,...,

®

（x）称为迭代函数，如果对任何x^<

^[a,b]，由兀屮=w（xk）,k=0,1,2,...得到的序列{xk}有极限

kimXk=x*，则称迭代方程收敛，且X*=^（x*）为甲（X）的不动点，故称

Xk+=®

（Xk）,k=0,1,2,...为不动点迭代法。

5.什么是迭代法的收敛阶？

如何衡量迭代法收敛的快慢？

如何确定

（Xk）（k=0,1,2,...）的收敛阶

P219设迭代过程Xk啡=®

（Xk）收敛于x=W（x）的根X*，如果当kT处时，迭代误差

ek=xk-x*满足渐近关系式ek-1

—TC,C=constH0

则称该迭代过程是P阶收敛的，特别点，当p=1时称为线性收敛，P>

1时称为超线性收敛,p=2时称为平方收敛。

以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。

6.什么是求解f（x）=0的牛顿法？

它是否总是收敛的？

若f（x*）=0,X*是单根，f是光

滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。

牛顿法:

f（Xk）

x*Xk-f（xk）

当f（Xk）K1时收敛。

7.什么是弦截法？

试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。

8.什么是解方程的抛物线法？

在求多项式全部零点中是否优于牛顿法?

P229

设已知方程f（X）=0的三个近似根,

耳，Xk丄耳/，以这三点为节点构造二次插值多项式P

（X）,并适当选取p2（X）的一个零点Xk+作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线

法。

抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618，小于牛顿法2可用于所想是的实根和复根的求解。

9.什么是方程的重根？

重根对牛顿法收敛阶有何影响？

试给出具有二阶收敛的计算重根方法。

10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？

它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当）

11.判断下列命题是否正确:

（1）

（2）

（3）

（4）

非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）不动点迭代法总是线性收敛的（错误）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确）

求多项式P（X）的零点问题一定是病态的问题（错误）

（7）

（8）

二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）牛顿法有可能不收敛（正确）

不动点迭代法Xk十=®

（Xk），其中X*=W（X*），若|®

'

（X*）|<

1则对任意处置X0迭代

都收敛。

（对）

（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）

习题

1、用二分法求方程X2—X—1=0的正根，要求误差<

0.05。

［解］令f（x）=x2-X-1，则f（0）=-1，f

（2）=1，所以有根区间为（0,2）；

又因为f

（1）=—1，所以有根区间为（1,2）;

f（1.5）=1.52-1.5-1=-0.25，所以有根区间为（1.5,2）；

f（1.75）=1.752-1.75-1=2：

>

0,所以有根区间为（1.5,1.75）;

16

（1.5,1.625）;

1

f（1.625）=1.625-1.625-1=—A0，所以有根区间为

需停5〕；

64

f（1討哙）2一19r1一恙"

，所以有根区间为

^*19519

取X=—（1—+1—）=1—=1.59375，

216832

191

这时它与精确解的距离c一（1.625-1工）=—c0.05。

21632

3

2.为求方程x3-x2-1=0在X0=1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形

迭代方法局部收敛。

/2二

2）设申（X）二訥+x2，则W'

（X）=-x（1+x2）3，从而

1x

2

_3

（0.5）7

所以迭代方法发散。

C1

4）设申（X）=Jx3-1，则W0）=?

x2（x3—1）P,从而

3.比较求eX+10X—2=0的根到三位小数所需的计算量:

1）在区间0,1］内用二分法；

2）用迭代法X"

=（2-e耳）/10，取初值xo=0。

［解］1）使用二分法，令f（x）=eX+10X-2，则

f（0）=—1，f

（1）=e+8，有根区间为0,1】；

f（0.5）=e0.5+3〉0，有根区间为0,0.5】；

f（0.25）=e0.25+0.5>

0，有根区间为0,0.25】;

f（0.125）=e0.125-0.75>

0，有根区间为0,0.125】；

f（右）—¥

=-0.5605<

0，有根区间为當’讣；

也277

十__>

0，有根区间为

从而八1（16+益"

2048=o.。

90332，共二分10次。

2）使用迭代法Xy=2-"

，则X1=上兰=0.1，X2=fo894829，

101010

_0.0894829_0.0906391

2—e2—e

X3==0.0906391，X4==0.0905126，

1010

即x=X4=0.0905126，共迭代4次。

4.给定函数f（x），设对一切X，f-（X）存在且0<

m<

fTx）<

M，证明对于范围

Ova<

2/M内的任意定数A,迭代过程Xy=Xk-kf（Xk）均收敛于f（x）=0的根

［证明］由Xk+=Xk-M（Xk）可知，令®

（X）（X），贝严'

（X）=1—'

（X），又因

为0cm<

f（x）<

M，Ova<

—,所以1>

（x）>

—1，即W'

（x）c1，从而迭代M

格式收敛。

5.用斯特芬森迭代法计算第2题中

（2）和（3）的近似根，精确到10,。

斯特芬森迭代法是一种加速的方法。

是埃特金加速方法与不动点迭代结合。

6.设④（X）=x-p（x）f（X）-q（x）f（x），试确定函数p（X）和q（x），使求解f（x）=0

且以W（X）为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。

7.用下列方法求f（X）=X-3x-1=0在x0=2附近的根。

根的准确值

X=1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字。

（1）牛顿法

（2）弦截法，取x0=2,%=1.9

22

3x^-33x^-3

（3）抛物线法，取Xo=1,Xj=3,X2=2

⑷=f[Xk,Xk_L]+f[Xk,X2,Xk』（Xk—Xk_L），X0=1,X1=3X2=2，

f"

3，d，心，叽心巴导

f[X2,Xi]=

f（X2）-f（X1）1-1716

X2—X12—3

=2-L

10+J10-4x1x610+V76

8.分别用二分法和牛顿法求X-tanx=0的最小正根。

按牛顿迭代法，其迭代公式为

f（Xk）（Xk—tanxk）

Xk-1—XkJ—Xk*

f'

X）U-etanXk），取初始值x=4.6，得x*=4.493424

XkA掐且序列Xi,X2,…是递减的。

证:

减的。

10.对于f（x）=0的牛顿公式Xy=兀-f（xk）/f'

（xk），证明

Rk=（xk-xkJ/（xk4—X2）2收敛到-「'

（xr/^f'

（X*）），这里X*为f（x）=0的根。

Rk=（Xk—Xk4）/（Xk4—Xk』2-f（XkJ/f（Xk』

—2

（—f（X2）/f'

（Xk4）

R<

+=（Xk+—Xk）/（Xk—Xk4）

-f（Xk）/f（Xk）

（-f（X」/f'

（Xk」））

pp-f（Xk）/f'

（Xk）—f（Xk4）/f'

Rk十一Rk_2—2

（―f（Xk」）/f'

（Xk4））（—f（Xk/）/f（Xk/））

11.用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14川算方程f（xTsi叱卜0的一个近似根，准确到10」，初始值Xo专。

牛顿法（4.13）,m=2

需要计算到10-，取兀=3.1415926。

X*=x（7）=1.8955

f（Xk）f'

（Xk）

求重根迭代法（4.14）

Xk=Xk—2

[f'

（Xk）]2-f（Xk）f"

（sinX—0.5x）（2（sinx—0.5x後cosx—0.5））

（2（sinX—0.5xXcosx一0.5））—（sinx—0.5x）（-2sinx（cosx—0.5））

X*=xg=1.8955。

注：

matlab编程计算得出的结果。

12.应用牛顿法于方程x3-a=0,导出求立方根蚯的迭代公式，并讨论其收敛

性。

14.应用牛顿法于方程f（x）=xn-a=0和f（x）=1-二=0，分别导出求Va的

X

迭代公式，并求lim（Va-Xk十）/（Va-Xk）2。

k_^下

f（Xk）=Xk—nxk

f（X）rX"

-a=0的迭代公式:

Xk#=Xk-

kf（Xk）

（n-1）Xkn+a

nXk

n-1

=xk

n

=imnanG-（n+1）aXk+x防

n厂（n+1）aXk—X严

府-xy「2na—

lim=lim—__na-2“…2

kY（Va—Xk）kY（V^-Xk）Yna（va—Xk）

—（n+1）a+（n+1风（n+1）（x,-a）（n+^nx：

」

=lim严=lim=lim

k^-2na^a—xk）^^-2na（*a-xk）2na

n」

~2^a

_（n+1）a〒n+1

-~2a

15.证明迭代公式Xk卄x^Xk+3a）是计算ja的三阶方法。

假定初值xo充分靠

3Xk+a

近x*，求km（需—xw）/（石—Xk）。

解:

16.用抛物线法求多项式p（x）=4x4-10x+1.25X2+5x+1.5的两个零点，再利用

降阶求出全部零点。

17.非线性方程组'

3X^~X^~0在（0.4,0.7）t附近有一个解，构造一个不动

_5

[3x1x2-x1-^O

点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到10"

^（按14^）。