统计学第七章第八章课后题答案之欧阳理创编.docx

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统计学第七章第八章课后题答案之欧阳理创编

统计学复习笔记

第七章

时间：

2021.03.05

创作：

欧阳理

第八章参数估计

一、思考题

1．解释估计量和估计值

在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。

估计量也是随机变量。

如样本均值，样本比例、样本方差等。

根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。

2．简述评价估计量好坏的标准

（1）无偏性：

是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。

（2）有效性：

是指估计量的方差尽可能小。

对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。

（3）一致性：

是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。

3．怎样理解置信区间

在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。

置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。

有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。

因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。

在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。

这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。

4．解释95%的置信区间的含义是什么

置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体参数的概率。

也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。

不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。

5．简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。

1.估计总体均值时样本量n为

其中：

2.样本量n与置信水平1-α、总体方差、估计误差E之间的关系为

▪与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；

▪与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；

▪与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。

二、练习题

1．从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。

1）样本均值的抽样标准差等于多少？

2）在95%的置信水平下，估计误差是多少？

解：

1）已知σ=5，n=40，=25

∵

∴=5／√40≈0.79

2）已知

∵

∴估计误差E=1.96×5÷√40≈1.55

2．某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。

1）假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。

2）在95%的置信水平下，求估计误差。

3）如果样本均值为120元，求总体均值µ的95%的置信区间。

解：

1）已知σ=15，n=49

∵

∴=15÷√49=2.14

2）已知

∵

∴估计误差E=1.96×15÷√49≈4.2

3）已知=120

∵置信区间为±E

∴其置信区间=120±4.2

3．从一个总体中随机抽取n=100的随机样本，得到=104560，假定总体标准差σ=85414，试构建总体均值µ的95%的置信区间。

解：

已知n=100，=104560，σ=85414，1-a＝95%，

由于是正态总体，且总体标准差已知。

总体均值m在1-a置信水平下的置信区间为

104560±1.96×85414÷√100

=104560±16741.144

4．从总体中抽取一个n=100的简单随机样本，得到=81，s=12。

要求：

1）构建µ的90%的置信区间。

2）构建µ的95%的置信区间。

3）构建µ的99%的置信区间。

解：

由于是正态总体，但总体标准差未知。

总体均值m在1-a置信水平下的置信区间公式为

81±×12÷√100=81±×1.2

1）1-a＝90%，1.65

其置信区间为81±1.98

2）1-a＝95%，

其置信区间为81±2.352

3）1-a＝99%，2.58

其置信区间为81±3.096

5．利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

1）=25，σ=3.5，n=60，置信水平为95%

2）=119，s=23.89，n=75，置信水平为98%

3）=3.149，s=0.974，n=32，置信水平为90%

解：

∵

∴1）1-a＝95%，

其置信区间为：

25±1.96×3.5÷√60

=25±0.885

2）1-a＝98%，则a=0.02,a/2=0.01,1-a/2=0.99,查标准正态分布表,可知:

2.33

其置信区间为:

119±2.33×23.89÷√75

=119±6.345

3）1-a＝90%，1.65

其置信区间为:

3.149±1.65×0.974÷√32

=3.149±0.284

6．利用下面的信息，构建总体均值µ的置信区间：

1）总体服从正态分布，且已知σ=500，n=15，=8900，置信水平为95%。

解：

N=15，为小样本正态分布，但σ已知。

则1-a＝95%，。

其置信区间公式为

∴置信区间为：

8900±1.96×500÷√15=（8646.7,9153.2）

2）总体不服从正态分布，且已知σ=500，n=35，=8900，置信水平为95%。

解：

为大样本总体非正态分布，但σ已知。

则1-a＝95%，。

其置信区间公式为

∴置信区间为：

8900±1.96×500÷√35=（8733.99066.1）

3）总体不服从正态分布，σ未知，n=35，=8900，s=500，置信水平为90%。

解：

为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-a＝90%，1.65。

其置信区间为：

8900±1.65×500÷√35=（87619039）

4）总体不服从正态分布，σ未知，n=35，=8900，s=500，置信水平为99%。

解：

为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-a＝99%，2.58。

其置信区间为：

8900±2.58×500÷√35=（8681.99118.1）

7．某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：

小时）（略）。

求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%

解：

先求样本均值：

=3.32

再求样本标准差：

置信区间公式：

8．从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值分别为：

10，8，12，15，6，13，5，11。

求总体均值µ的95%置信区间。

解：

本题为一个小样本正态分布，σ未知。

先求样本均值：

=80÷8=10

再求样本标准差：

=√84/7=3.4641

于是,的置信水平为的置信区间是

    ,

已知，n=8，则,α/2=0.025，查自由度为n-1=7的分布表得临界值2.45

所以，置信区间为：

10±2.45×3.4641÷√7

9．某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离分别是：

10，3，14，8，6，9，12，11，7，5，10，15，9，16，13，2。

假设总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的95%的置信区间。

解：

小样本正态分布，σ未知。

已知，n=16，，则,α/2=0.025，查自由度为n-1=15的分布表得临界值2.14

样本均值=150/16=9.375

再求样本标准差：

=√253.75/15≈4.11

于是,的置信水平为的置信区间是

    ,

9.375±2.14×4.11÷√16

10．从一批零件是随机抽取36个，测得其平均长度是149.5，标准差是1.93。

1）求确定该种零件平均长度的95%的置信区间。

2）在上面估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？

请解释。

解：

1）这是一个大样本分布。

已知N=36，=149.5，S=1.93，1-α=0.95，。

其置信区间为：

149.5±1.96×1.93÷√36

2）中心极限定理论证：

如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。

在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随机变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。

样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近于正态分布，这为抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。

11．某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100克，现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量如下：

（略）

已知食品包重服从正态分布，要求：

1）确定该种食品平均重量的95%的置信区间。

2）如果规定食品重量低于100克属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。

解：

1）本题为一个大样本正态分布，σ未知。

已知N=50，µ=100，1-α=0.95，。

①每组组中值分别为97、99、101、103、105，即此50包样本平均值=（97+99+101+103+105）/5=101

②样本标准差为：

=√｛（97-101）²×2＋（99-101）²×3＋（101-101）²×34＋（103-101）²×7＋（105-101）²×4｝÷（50-1）≈1.666

③其置信区间为：

101±1.96×1.666÷√50

2）∵不合格包数（＜100克）为2+3=5包，5/50=10%（不合格率），即P=90%。

∴该批食品合格率的95%置信区间为：

=0.9±1.96×√（0.9×0.1）÷50=0.9±1.96×0.042

12．假设总体服从正态分布，利用下面的数据构建总体均值μ的99%的置信区间。

（略）

解：

样本均值

样本标准差：

尽管总体服从正态分布，但是样本n=25是小样本，且总体标准差未知，应该用T统计量估计。

1-α=0.99，则α=0.01,α/2=0.005，查自由度为n-1=24的分布表得临界值2.8

的置信水平为的置信区间是    ,

13．一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18个员工，得到他们每周加班的时间数据如下（单位：

小时）：

（略）

假定员工每周加班的时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。

解：

①N=18＜30，为小样本正态分布，σ未知。

②样本均值=244/18=13.56

样本标准差：

=

③1-α=90%，α=0.1，α/2=0.05，则查自由度为n-1=17的分布表得临界值1.74

④的置信水平为的置信区间是    ,

14．利用下面的样本数据构建总体比例丌的置信区间：

1）n=44，p=0.51，置信水平为99%

2）n=300，p=0.82，置信水平为95%

3）n=1150，p=0.48，置信水平为90%

解：

1）1-α=99%，α=0.01，α/2=0.005，1-α/2=0.995，查标准正态分布表，则2.58

2）1-a＝95%，

3）1-a＝90%，1.65

分别代入

15．在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机，其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。

求总体比例的置信区间，置信水平分别为90%和95%。

解：

1）置信水平90%，