高二数学期末复习8Word格式文档下载.docx

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13．定义在R上的函数y＝f（x）的图像经过坐标原点O，且它的导函数y＝f'

（x）的图像是如图所示的一条直线，则y＝f（x）的图像一定不经过第象限．

14．已知A是曲线

与曲线C2：

x2＋y2＝5的一个公共点．若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是．

15．已知m∈R，设p：

复数z1＝（m－1）＋（m＋3）i（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，q：

复数z2＝1＋（m－2）i的模不超过

．

（1）当p为真命题时，求m的取值范围；

（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．

16．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点都在圆C上．

（1）求圆C的方程；

（2）若直线x＋y＋a＝0与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求实数a的值．

17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝a，E，F分别为AD，CD的中点.

（1）若AC1⊥D1F，求a的值；

（2）若a＝2，求二面角E－FD1－D的余弦值.

18．已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件（1≤x≤2），今年新增的年销量（单位：

万件）与（2－x）2成正比，比例系数为4．

（1）写出今年商户甲的收益y（单位：

万元）与今年的实际销售单价x间的函数关系式；

（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？

说明理由．

19．已知函数f（x）＝ax2－（4a＋2）x＋4lnx，其中a≥0．

（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）讨论函数f（x）的单调性．

20．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C的坐标为B（－2，0），C（2，0），直线AB，AC的斜率乘积为

，设顶点A的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）设曲线E与y轴负半轴的交点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，试求的取值范围．

1．命题“∀x∈N，x2≠x”的否定是．

【答案】

【解析】

试题分析：

根据全称命题“

”的否定为“”，得命题“∀x∈N，x2≠x”的否定“”，解决此类问题须注意条件x∈N不能变.

考点：

全称命题的否定

【答案】y2＝20x

焦点为F（5，0），所以抛物线开口向右，标准方程可设为，又所以，抛物线的标准方程是y2＝20x

抛物线的焦点坐标与方程关系

【答案】4

根据复数乘法法则，将化为，再由两复数相等，它们实部与虚部分别相等得

复数乘法法则，复数相等概念

，则

的值为．

【答案】－1

根据商的导数运算法则得，所以解此类问题要注意顺序，不能将题目做成求的导数

商的导数运算法则

【答案】2

命题p为“若α＝β，则cosα＝cosβ”，显然为真命题，所以其逆否命题也为真命题；

命题p的逆命题为“若cosα＝cosβ，则α＝β”为假命题，所以其逆否命题，即命题p的否命题也为假命题.真命题个数是2.

四种命题关系及真假判断

因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，所以

双曲线渐近线方程

【答案】14

空间向量数量积

（1，e）

函数f（x）＝ex－ax在区间（0，1）上有极值，就是导函数在区间（0，1）上有解，即

函数极值

10．“a＝1”是“函数f（x）＝x＋acosx在区间

上为增函数”的条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．

【答案】充分不必要

当a＝1时，，，函数在区间上为增函数，所以充分性成立；

反之，若函数在区间上为增函数，则对恒成立，，而当，，所以，因此必要性不成立.

利用导数求增减性，充要关系判定

圆柱的体积为，圆柱的表面积，由得，

极小值，也是最小值

当底面半径r＝时，圆柱的表面积最小．

利用导数求最值，

【答案】8

椭圆的左焦点为，右焦点为，所以直线x－y－1＝0过右焦点，直线

x－y＋1＝0过左焦点，由对称性得,因此

椭圆定义

【答案】一

设导函数y＝f'

（x）的零点为，所以当时，单调增；

当时，单调减，又，则由图像知一定不经过第一象限.

导函数与原函数的关系

因为C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，所以为C1在A处的切线.设则由，所以，又A在曲线C2：

x2＋y2＝5上，所以

函数切线，圆的切线

（1）（－3，1）

（2）（－3，－1）∪[1，5]

（1）复数对应的点为，所以有，从而可解得m的取值范围为（－3，1），

（2）因为命题“p且q”一假就假，所以p，q中至少有一个为假；

因为命题“p或q”一真就真，所以p，q中至少有一个为真；

综合得p，q中一真一假.若q为真，则q为假；

或若q为假，则q为真.先求命题为真时参数范围，再根据集合的补集求命题为假时参数范围.

试题解析：

解

（1）因为复数z1＝（m－1）＋（m＋3）i在复平面内对应的点在第二象限，

所以

解得－3＜m＜1，即m的取值范围为（－3，1）．3分

（2）由q为真命题，即复数z2＝1＋（m－2）i的模不超过，

所以，解得－1≤m≤5．5分

由命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题

得真假或假真，所以或

即－3＜m＜－1或1≤m≤5．

所以m的取值范围为（－3，－1）∪[1，5]．8分

命题真值表，复数的模

（1）x2＋y2－2x＋2y-3＝0

（2）

（1）曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点有三个交点，本题就是求过三个点的圆的方程，因此设圆方程的一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若从图形看，则圆的方程又可设成x2＋y2－2x＋Ey-3＝0，再利用过点求出

（2）先将圆的一般式化为标准式：

，明确圆心和半径，涉及圆的弦长问题，利用由半径、半弦长、圆心到弦所在直线距离构成的直角三角形，列等量关系：

（1）曲线与y轴的交点是（0，－3）．令y＝0，得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3．

即曲线与x轴的交点是（－1，0），（3，0）．2分

设所求圆C的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则，解得D＝－2，E＝2，F＝－3．

所以圆C的方程是x2＋y2－2x＋2y-3＝0．5分

（2）圆C的方程可化为，

所以圆心C（1，－1），半径．7分

圆心C到直线x＋y＋a＝0的距离，由于

所以，解得．10分

圆的一般式方程，圆的弦长

（1）；

（2）

（1）首先建立空间直角坐标系，列出各对应点坐标，表示对应向量坐标，（－2，2，a），（0，1，－a），再根据空间向量数量积定义，得到2－a2＝0，从而求出a的值，

（2）先判断二面角E－FD1－D为锐二面角，所以求二面角E－FD1－D的余弦值，就转化为求两个平面法向量夹角的余弦值的绝对值.又平面FD1D的一个法向量为,所以关键求平面EFD1的一个法向量n＝（x，y，z），利用n⊥，n⊥可求出x＝y＝2z，取其一个法向量为n＝（2，2，1），再利用空间向量夹角公式，就可得到二面角E－FD1－D的余弦值.

解如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，

DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立坐标系．

（1）由题意得A（2，0，0），D1（0，0，a），C1（0，2，a），F（0，1，0）．

故（－2，2，a），（0，1，－a）．2分

因为AC1⊥D1F，所以，即（－2，2，a）·

（0，1，－a）＝0．

从而2－a2＝0，又a＞0，故．5分

（2）平面FD1D的一个法向量为m＝（1，0，0）．设平面EFD1的一个法向量为n＝（x，y，z），

因为E（1，0，0），a＝2，故＝（－1，1，0），（0，1，－2）．

由n⊥，n⊥，得－x＋y＝0且y－2z＝0，解得x＝y＝2z．

故平面EFD1的一个法向量为n＝（2，2，1）．8分

因为，且二面角E－FD1－D的大小为锐角，

所以二面角E－FD1－D的余弦值为．10分

利用空间向量求二面角

（1）y＝4x3－20x2＋33x－17，（1≤x≤2）

（2）不能

（1）根据收益等于单件利润与销售量的乘积，列等量关系.注意今年销售量等于原销售量与新增的年销量之和，另外还要注意交代函数定义域；

y＝[1＋4（x－2）2]（x－1）＝4x3－20x2＋33x－17，（1≤x≤2）．

（2）本题实际需求本年收益范围，即需求函数y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2的值域，这可借助于导数研究.

求导后可知函数图像先增后减再增，因此其最大值在极大值及处取到，比较大小知f（x）在区间[1，2]上的最大值为f

（2）＝1，即为往年的收益，所以商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．

解

（1）由题意知，今年的年销售量为1＋4（x－2）2（万件）．

因为每销售一件，商户甲可获利（x－1）元，所以今年商户甲的收益y＝[1＋4（x－2）2]（x－1）

＝4x3－20x2＋33x－17，（1≤x≤2）．4分

（2）由

（1）知y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2，从而y′＝12x2－40x＋33＝（2x－3）（6x－11）．

令y′＝0，解得x＝，或x＝．列表如下：

x

（1，）

（，）

（，2）

f′（x）

＋

－

f（x）

递增

极大值

递减

极小值

7分

又f（）＝1，f

（2）＝1，所以f（x）在区间[1，2]上的最大值为1（万元）．

而往年的收益为（2－1）×

1＝1（万元），

所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．

10分

函数解析式，利用导数求函数最值

（1）2x－y－4＝0，

（2）当a＝0时，f（x）的单调增区间是（0，2），单调减区间是（2，＋∞）；

当0＜a＜时，f（x）的单调增区间是（0，2）和（，＋∞），减区间为（2，）；

当a＝时，f（x）的单调增区间是（0，＋∞）；

当a＞时，f（x）的单调增区间是（0，）和（2，＋∞），减区间为（，2）

（1）利用导数集合意义，在处导数值等于该点处切线的斜率，因为，所以

f′

（1）＝2,又切点为（1，－2），所以所求切线方程为y＋2＝2（x－1），

（2）函数f（x）的单调性之所以要讨论，就是由于导函数为零时根的不确定性.因为，所以当a＝0时，方程在定义域内只有一根；

当时，需讨论两根的大小，三种情况0＜a＜，a＝，及a＞需一一讨论.解题过程中，最易忽视的是两根相等的情况；

答题时最易出错的是将两个单调性相同的不连续区间用“并集”“或”合并写.

解

（1）当a＝0时，f（x）＝－2x＋4lnx，

从而，其中x＞0．2分

所以f′

（1）＝2．

又切点为（1，－2），

所以所求切线方程为y＋2＝2（x－1），即2x－y－4＝0．4分

（2）因为f（x）＝ax2－（4a＋2）x＋4lnx，

所以，其中x＞0．

①当a＝0时，，x＞0．

由f′（x）＞0得，0＜x＜2，所以函数f（x）的单调增区间是（0，2）；

单调减区间是（2，＋∞）；

6分

②当0＜a＜时，因为＞2，由f′（x）＞0，得x＜2或x＞．

所以函数f（x）的单调增区间是（0，2）和（，＋∞）；

单调减区间为（2，）；

8分

③当a＝时，，且仅在x＝2时，f′（x）＝0，

所以函数f（x）的单调增区间是（0，＋∞）；

④当a＞时，因0＜＜2，由f′（x）＞0，得0＜x＜或x＞2，

所以函数f（x）的单调增区间是（0，）和（2，＋∞）；

单调减区间为（，2）．

综上，

当a＝0时，f（x）的单调增区间是（0，2），单调减区间是（2，＋∞）；

当a＞时，f（x）的单调增区间是（0，）和（2，＋∞），减区间为（，2）．10分

利用导数求函数切线方程，利用导数求函数单调区间

（2）设曲线E与y轴负半轴的交点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，试求

的取值范围．

（1）由于所求动点A满足直线AB，AC的斜率乘积为，所以直接设A的坐标，代入化简整理即得：

，注意到△ABC中三个顶点不能共线，所以需去掉与轴相交的点，

（2）要求的取值范围，首先求出函数解析式，由题意确定l1的斜率为k为自变量，因为M为l1与曲线E的交点，所以列方程组解出点M坐标，从而得出弦长；

同理，只需将代k就可得到，因此△DMN的面积S＝，所以＝，这可以看作关于1＋k2的一个分式函数，即，可以利用函数单调性求出其取值范围.

解

（1）设顶点A的坐标为（x，y），则kAB＝，kAC＝2分

因为kAB⋅kAC＝，所以，即．（或x2＋4y2＝4）.

所以曲线E的方程为．4分

（2）曲线E与y轴负半轴的交点为D（0，－1）．

因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx－1，代入，得

从而6分

用代k得

所以△DMN的面积S＝8分

则＝

因为k≠0且，k≠±

2，令1＋k2＝t，

则t＞1，且，t≠5，

从而＝

因为，且，

所以且，

从而且，，

即∈10分.

直接法求轨迹方程，直线与圆锥曲线关系，求函数范围