初中数学的几何最值问题副本Word格式文档下载.docx
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2，
2）D.
（
2）
2222
9.（2012浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°
，∠ABC=45°
AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，
AC于E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为
．
10.（2012四川自贡12分）以下图，在菱形
ABCD中，AB=4，
∠BAD=120°
，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D
重合．
（1）证明无论E、F在BC．CD上怎样滑动，总有
BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别商讨四边形AECF和△CEF的面积能否发生变化？
假如不变，求出这个定值；
假如变化，求出最大（或最小）值．
11.（2011浙江台州4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l
上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【】
12.（2011云南昆明12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
，AB=10cm，AC：
BC=4：
3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点抵达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y
（cm），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q
为定点的三角形与△ABC能否相像，请说明原因；
（4）当x=5秒时，在直线PQ上能否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明原因．
13.（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正幸亏杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁抵达蜂
蜜的最短距离为
cm
14.（2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°
，∠B＝∠D＝90°
，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小
时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【
A．130°
B．120°
C
．110°
D．100°
15.（2012
福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为
1的同样小
矩形构成的网格的格点上，成立平面直角坐标系如图所
示．若
P是
x轴上使得
PA
PB的值最大的点，
Q是
y轴
上使得
QA十
QB的值最小的点，则
OPOQ＝
19.（2012湖北十堰6分）阅读资料：
例：
说明朝数式
x2
（x
3）2＋4
的几何意义，并求它的最小值．
解：
3）2
4
0）2
12
22
，如图，成立平面直角坐标系，
点P（x，0）是
x轴上一点，则
0）2
能够当作点
P与点
A（0，1）的距离，
B（3，2）的距离，所以原代数式的值能够当作线段
PA与
PB长度之和，
它的最小值就是PA＋PB的最小值．
设点A对于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，所以，求PA＋PB的最小值，只要求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长
度．为此，结构直角三角形A′CB，由于A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小
值为32。
依据以上阅读资料，解答以下问题：
（1）代数式
（x1）2
2）2
9的值能够当作平面直角坐
标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B
的距离之和．（填
写点B的坐标）
（2）代数式
49
12x
37的最小值为
20.（2012江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2，C为AB
上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰
直角三角形△
ACD和△BCE，那么
DE长的最小值是
▲．
21.（2012
广东广州
14分）如图，在平行四边形
ABCD中，AB=5，BC=10，F为
AD的中点，
CE⊥AB于
E，设∠ABC=α（60°
≤α＜90°
）．
（1）当α=60°
时，求
CE的长；
（2）当
60°
＜α＜90°
时，
①能否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？
若存在，求
出k的值；
若不存在，请说明原因．
22
②连结CF，当CE﹣CF取最大值时，求tan∠DCF的值．
22.（2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连结AP，以AP为边向双侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图
1）。
（1）求证：
AM=AN；
（2）设BP=x。
①若，
BM=3，求
x的值；
8
②记四边形
ADPE与△ABC重叠部分的面积为
S，求
S与
x之间的函数关系式以及
S的最小
值；
③连结DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？
并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特别三角形，请说明原因。
23.（2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB
左边半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连结PA、
PB，设PC的长为x2<
x<
4.
⑴当x=5时，求弦PA、PB的长度；
⑵当x为何值时，PDPC的值最大？
最大值是多少？
B
P
O
D
l
CA
24.（2012
陕西省
12分）如图，正三角形
ABC的边长为3+3．
（1）如图①，正方形
EFPN的极点
E、F在边
AB上，极点
N在边
AC上．在正三角形
ABC及
其内部，以
A为位似中心，作正方形
EFPN的位似正方形
E'
F'
P'
N'
，且使正方形
的
面积最大（不要求写作法）；
（2）求
（1）中作出的正方形E'
的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明原因．
25.（2012四川宜宾12分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将
△DEF与△ABC重合在一同，△
ABC
不动，△ABC不动，△DEF运动，并知足：
点
E在边
BC
上沿
B到
C的方向运动，且
DE、一直经过点
A，EF与AC交于
M点．
△ABE∽△ECM；
（2）研究：
在△DEF运动过程中，重叠部分可否构成等腰三角形？
若能，求出BE的长；
若
不可以，请说明原因；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．
26.（2012湖南娄底10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°
，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．
△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数分析式（要求写出自变量x的取值范围）；
当x为何值时，y有最大值？
并求y的最大值．
27.（2012河北省12分）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=5．13
研究：
如图1，AH⊥BC于点H，则AH=，AC=，△ABC的面积S△ABC=；
拓展：
如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足
为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们以为S△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只好确立独一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现：
请你确立一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不用写出过程），
并写出这个最小值．
28.（2011河北省10分）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB
上必定点．
思虑
如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包含AB，CD），其直径MN在AB上，
MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．
当α=▲度时，点P到CD的距离最小，最小值为▲．
研究一
在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直
到不可以再转动为止，如图2，获得最大旋转角∠BMO=▲度，此时点N到CD的距离是
研究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下边对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，
CD之间顺时针旋转．
（1）如图3，当α=60°
时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋
转角∠BMO的最大值；
（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确立α的取值范围．
（参照数椐：
sin49°
=3，cos41°
=3，tan37°
=3．）
444
29.（2011陕西省12分）如图①，在矩形
ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）
上，落点记为E，这时折痕与边BC或许边CD（含端点）交于F，而后睁开摊平，则以
B、E、
F为极点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形
ABCD的随意一个“折痕△BEF”是一个
三
角形
（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的极点E位于AD的中
点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点
F的坐标；
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形能否存在面积最大的“折痕△BEF”？
若存在，说明原因，并求出此时点E的坐标？
若不存在，为何？
图①
图②
图③
图④
30.（四川资阳9分）在一次机器人测试中，要求机器人从A出发抵达B处．如图1，已知
点A在O的正西方600cm处，B在O的正北方300cm处，且机器人在射线AO及其右边（AO
下方）地区的速度为20cm/秒，在射线AO的左边（AO上方）地区的速度为10cm/秒．
（1）分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线抵达B地方用的时间（精准到秒）；
（3分）
（2）若∠OCB=45°
，求机器人沿A→C→B路线抵达B地方用的时间（精准到秒）；
（3）如图2,作∠OAD=30°
，再作BE⊥AD于E,交OA于P．试说明：
从A出发抵达B处，机器人沿A→P→B路线前进所用时间最短．（3分）
（参照数据：
2≈1.414，
3≈1.732，
5≈2.236，6≈2.449）
31.（2011安徽省12分）在△ABC中，∠ACB＝90°
，∠ABC＝30°
，将△ABC绕极点C顺时
针旋转，旋转角为
（0°
＜＜180°
），获得△A1B1C．
（1）如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC订交于点D．证明：
△A1CD是等边三角形；
（2）如图2，连结AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：
S1∶S2＝1∶3；
（3）如图
3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连结EP．当＝°
EP的长
度最大，最大值为．
32．如图，已知直线a//b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直
线b的距离为
3，AB=230.试在直线
a上找一点
M，在直线
b上找一点
N，知足
MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时
AM+NB=（
A．6
B．8
C．10
D．12
（2007?
南京）在平面内，先将一个多边形以点
O为位似中心放大或减小，使所得多
边形与原多边形对应线段的比为
k，而且原多边形上的任一点
P，它的对应点
P′在线
段OP或其延长线上；
接着将所得多边形以点
O为旋转中心，逆时针旋转一个角度
θ，
这类经过和旋转的图形变换叫做旋转相像变换，记为
O（k，θ），此中点O叫做旋转相
似中心，k叫做相像比，θ叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将△ABC以点A为旋转相像中心，放大为本来的
2倍，再逆时针旋转
获得△ADE，这个旋转相像变换记为
A（_____，____°
）；
②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相像变换
A（
3，90°
），
获得△ADE，则线段BD的长为________cm；
（2）如图3，分别以锐角三角形
ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形
ADEB，BFGC，
CHIA，点O1，O2，O3分别是这三个正方形的对角线交点，
试分别利用△AO1O3与△ABI，
△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相像变换的知识说明线段
O1O3与AO2之间的关
系
33.如图是一个几何体的三视图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）依据所示数据计算这个几何体的表面积；
（3）假如一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短行程．
34.在Rt△ABC中，∠C=90°
，AC=1，BC=3，点O为Rt△ABC内一点，连结A0、BO、CO,
且∠AOC=∠COB=BOA=120°
，按以下要求绘图（保存绘图印迹）：
以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°
，获得△A′O′B（获得A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答以下问题：
∠ABC=________,∠A′BC=_______,OA+OB+OC=_________.
A
C
F
GEH
CB
AB
35.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°
，点E、F分别是AC、
BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值
为.
36．（3分）（2013?
苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的极点A在x轴的正半轴
上．极点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则
PA+PC的最小值为（）
A．B．C．D．2
37．（2012浙江丽水，16，4分）如图，点P是反比率函数yk（k0）；
图象上的点，PA
x
垂直x轴于点A（1,0），点C的坐标为（1,0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB5
（1）k的值是_________；
（2）若M（a,b）是该反比率函数图象上的点，且知足MBAABC，则a的取值范围
是________
38．（10分）（2013?
六盘水）
（1）察看发现
如图
（1）：
若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法以下：
作点B对于直线m的对称点B′，连结AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
如图
（2）：
在等边三角形ABC中，AB=2，点
E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使
BP+PE的值最小，做法以下：
作点B对于AD的对称点，恰巧与点C重合，连
接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故
BP+PE的最小值为．
（2）实践运用
如图（3）：
已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°
，点B是的中点，在直径CD
上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．
（3）拓展延长
如图（4）：
点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保存作图印迹，不写作法．
39．（3分）（2013?
无锡）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四边
形的四个极点，则CD长的最小值为．
40．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点
P，若点P到AB的
距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是
_________（沈
阳）
41．如图，，
是正方形
的边
上两个动点，知足
＝
．连结
交
于
，连
E
ABCD
AD
AE
DF
CF
BD
G
接BE交AG于点H．若正方形的边
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