考研数学历年真题线性代数的考点总结.docx

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考研数学历年真题线性代数的考点总结

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考研数学历年真题线性代数的考点总结

►线性代数章节总结

第一章行列式

主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。

而抽象型行列式的计算主要：

利用行列式的性质、利用矩阵乘法、利用特征值、直接利用公式、利用单位阵进行变形、利用相似关系。

06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题，14年选择考了一个数值型的矩阵行列式，15、16年的数一、三的填空题考查的是一个n行列式的计算，今年数一、数二、数三这块都没有涉及。

第二章矩阵

本章的概念和运算较多，而且结论比较多，但是主要以填空题、选择题为主，另外也会结合其他章节的知识点考大题。

本章的重点较多，有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以及初等矩阵等。

其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的相互转化，10年考查的是矩阵的秩，08年考的则是抽象矩阵求逆的问题，这几年考查的形式为小题，而13年的两道大题均考查到了本章的知识点，第一道题目涉及到矩阵的运算，第二道大题则用到了矩阵的秩的相关性质。

14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路，考查的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识，但是除了这些还涉及到了矩阵的分块。

16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数。

第三章向量

本章是线代里面的重点也是难点，抽象、概念与性质结论比较多。

重要的概念有向量的线性表出、向量组等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组等。

复习的时候要注意结构和从不同角度理解。

做题重心要放在问题转换上面。

出题方式主要以选择与大题为主。

这一章无论是大题还是小题都特别容易出考题，06年以来每年都有一道考题，不是向量组的线性表出就是向量组的线性相关性的判断，10年还考了一道向量组秩的问题，13年考查的则是向量组的等价，14年的选择题则考查了向量组的线性无关性。

15年数一第20题结合向量空间的基问题考查了向量组等价的问题。

16年数数一、数三第21题与数二23题考的同样的题，第二问考向量组的线性表示的问题。

第四章线性方程组

主要考点有两个：

一是解的判定与解的结构、二是求解方程。

考察的方式还是比较固定，直接给方程讨论解的情况、解方程或者通过其他的关系转化为线性方程组、矩阵方程的形式来考。

06年以来只有11年没有出大题，其他几年的考题均是含参方程的求解或者是解的判定问题，13年考查的第一道大题考查的形式不是很明显，但也是线性方程组求解的.问题。

14年的第一道大题就是线性方程组的问题，15年选择题考查了解的判定，数二、数三同一个大题里面考查了矩阵方程的问题。

16年数一第20题矩阵方程解的判断和求解，数三第20题与数二第22题直接考线性方程解的判断和求解，数一第21题第二问解矩阵方程。

16年数一、数三第21题与数二第23题第二问直接考矩阵方程解求解，基本都不需要大家做转换。

今年数一、数三第20题、数二第22题第二问题都考了抽象的线性方程的求解问题。

第五章矩阵

矩阵的特征值与特征向量，每年大题都会涉及这章的内容。

考大题的时候较多。

重点考查三个方面，一是特征值与特征向量的定义、性质以及求法;二是矩阵的相似对角化问题，三是实对称矩阵的性质以及正交相似对角化的问题。

要的实对称矩阵的性质与正交相似对角化问题可以说每年必考，09、10、11、12、13年都考了。

14考查的则是矩阵的相似对角化问题，是以证明题的形式考查的。

15年数一、数二、数三选择题结合二次型正交化特点然后结合特征值定义考查;大题也是有一个题目相同，都是矩阵相似，然后对角化问题。

16年数一数三第21题与数二第23题的第一问以考高次幂的形式出现，实质就是矩阵相似对角化问题。

今年数一、数三第5、6、20、题与数二第7、8、14、22、14题都考相似、相似对角的判断性质。

今年在这章涉及的分数高达20多分。

第六章二次型

本章是第五章的运用，有两个重点：

一是化二次型为标准形;二是正定二次型。

前一个重点主要考查大题，有两种处理方法：

配方法与正交变换法，而正交变换法是考查的重中之重。

10、11、12年均以大题的形式出现，考查的是利用正交变换化二次型为标准形，而13年的最后一道大题考查的也是二次型的题目，但它考查的则是二次型的矩阵表示，另外也考到二次型的标准形，它是通过间接的方式求得特征值然后直接得出标准形的。

后一考点正定二次型则以小题为主。

14则是以填空题的形式出现的，考查的题目为已知二次型的负惯性指数为1，让求参数的取值范围。

15年结合对角化考了个选择题。

16年数一结合空间解析几何考了二次型的标准型，数三、数二正负惯性指数考察。

今年数一、数三第21题与数二第3题考察的就是二次型正交对角化问题。

►掌握要点：

一、把线代基本的概念弄清楚，线代的概念要从定义的角度和形式上面去把握;

二、线代的记号要清楚，而且能够写成对应的形式去表示;

三、重视线代里面知识点的不同角度的转换关系，比如秩与解关系、行列式与秩关系等;

四、前期要把线代里面固定题型的方法弄透，比如齐次方程的基础解系是怎么求的、矩阵秩怎么求等

►具体方法：

一、线性代数比高数要相对来说好复习，在平时大家可以多看看高数，但是在大纲解析出来之后，大家就不能懈怠它了。

因为这是一个分界点时间，今后线性代数每天都要安排时间复习，因为需要背的公式还是比较多的，很多同学只要隔一段时间不复习，知识点就会忘记，建议每天复习线性代数的时间不低于一个小时。

二、线性代数在前期可能做得题目比较简单，在今后，同学们要开始做考研难度的题目，从现在开始每天做真题，隔一天做一套，做完之后多总结真题规律。

线性代数所有章节都紧密联系，所以同学们在复习的时候，不要觉得没有复习到的章节可以先放放，需要把整个线性代数知识点融会贯通，形成自己的知识框架。

三、最后是有一个小建议，同学们从现在开始，可以把线性代数的公式和结论总结在笔记上，并且抽时间要都推导一遍，尤其是第二章矩阵部分，公式很多。

首先对极限的总结如下。

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。

1、极限分为一般极限，还有个数列极限

（区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种）。

2、解决极限的方法如下

1）等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记。

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2）洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提。

必须是X趋近而不是N趋近。

（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。

还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!

）必须是函数的导数要存在!

（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条）必须是0比0，无穷大比无穷大!

当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为三种情况

1）0比0无穷比无穷时候直接用

2）0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1中的形式了

3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方

3、泰勒公式

（含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!

）e^x展开,sinx展开,cos展开,ln（1+x）展开对题目简化有很好帮助

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法。

取大头原则最大项除分子分母!

看上去复杂处理很简单。

5、无穷小与有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!

6、夹逼定理

（主要对付的是数列极限）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7、等比等差数列公式应用

（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8、各项的拆分相加

（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数。

9、求左右求极限的方式

（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，Xn的极限与Xn+1的极限是一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化。

10、两个重要极限的应用。

这两个很重要!

对第一个而言是x趋近0时候的sinx与x比值。

第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（第二个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1的时候要特别注意可能是用第二个重要极限）

11、还有个方法，非常方便的方法。

就是当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的。

x的x次方快于x!

快于指数函数,快于幂数函数,快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）。

当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了

12、换元法

是一种技巧，不会对某一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。

14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑转化为定积分。

一般是从0到1的形式。

15、单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性。

16、直接使用求导数的定义来求极限

（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x）加减某个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）（当题目中告诉你F（0）=0时，f（0）的导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义!

）

高等数学

1.函数在一点处极限存在，连续，可导，可微之间关系。

对于一元函数函数连续是函数极限存在的充分条件。

若函数在某点连续，则该函数在该点必有极限。

若函数在某点不连续，则该函数在该点不一定无极限。

若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。

但是如果函数不可导，不能推出函数在该点一定不连续，可导与可微等价。

而对于二元函数，只能又可微推连续和可导（偏导都存在），其余都不成立。

2.基本初等函数与初等函数的连续性：

基本初等函数在其定义域内是连续的，而初等函数在其定义区间上是连续的。

3.极值点，拐点。

驻点与极值点的关系：

在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点，而函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。

注意极值点和拐点的定义一充、二充、和必要条件。

4.夹逼定理和用定积分定义求极限。

这两种方法都可以用来求和式极限，注意方法的选择。

还有夹逼定理的应用，特别是无穷小量与有界量之积仍是无穷小量。

5.可导是对定义域内的点而言的，处处可导则存在导函数，只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其它各处均可导。

6.泰勒中值定理的应用，可用于计算极限以及证明。

7.比较积分的大小。

定积分比较定理的应用（常用画图法），多重积分的比较，特别注意第二类曲线积分，曲面积分不可直接比较大小。

8.抽象型的多元函数求导，反函数求导（高阶），参数方程的二阶导，以及与变限积分函数结合的求导

9.广义积分和级数的敛散性的判断。

10.介值定理和零点定理的应用。

关键在于观察和变换所要证明等式的形式，构造辅助函数。

11.保号性。

极限的性质中最重要的就是保号性，注意保号性的两种形式以及成立的条件。

12.第二类曲线积分和第二类曲面积分。

在求解的过程中一般会使用格林公式和高斯公式，大部分同学都会把精力关注在是否闭合，偏导是否连续上，而忘记了第三个条件——方向，要引起注意。

线性代数

1、行列式的计算。

行列式直接考察的概率不高，但行列式是线代的工具，判定系数矩阵为方阵的线性方程组解的情况及特征值的计算都会用到行列式的计算，故要引起重视。

2、矩阵的变换。

矩阵是线代的研究对象，线性方程组、特征值与特征向量、相似对角化，二次型，其实都是在研究矩阵。

一定要注意在化阶梯型时只能对矩阵做行变换，不可做列变换变换