河南省鹤壁高中届高三下学期模拟考试九数学文试题及含答案.docx
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河南省鹤壁高中届高三下学期模拟考试九数学文试题及含答案
2021届高三年级模拟考试九·文数试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（）
A．B．
C．D．
2．已知复数，则下列说法正确的是（）
A．复数的实部为3B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数为D．复数的模为1
3．已知命题，，则（）
A．，B．，
C．，D．，
4．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的一个单调减区间可以为（）
A．B．
C．D．
5．如图，是三世纪汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图.它也被2002年在北京召开的国际数学家大会选定为会徽.正方形内有四个全等的直角三角形.在正方形内随机取一点，则此点取自中间小正方形（阴影部分）的概率是（）
A．B．
C．D．
6．已知双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．2
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8π－B．4π－
C．8π－4D．4π＋
8．函数的大致图像是（）
A．B．
C．D．
9．已知公差不为0的等差数列的前n项和，，是和的等比中项，则（）
A．有最大值9B．有最大值25C．没有最小值D．有最小值-24
10．执行如图所示程序框图后，若输入的a值为，b值为，则输出的a值为（）
A．10B．C．-15D．2
11．已知正方体的棱长为1，点E是底面ABCD上的动点，则的最大值为（）
A．B．1C．D．
12．若曲线在，两点处的切线互相垂直，则的最小值为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．设，则a，b，c的大小关系是________（用“<”连接）
14．设不等式组，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________.
15．数列的前项和记为，若，，，2…，若恒成立，则的最小值是________.
16．已知点P，Q是抛物线上的两点，过P，Q的切线交于点M，若是等边三角形，则的面积为________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知中.
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积.
18．（12分）已知等腰梯形ADCE中，，，，B为EC的中点，如图1，将三角形ABE沿AB折起到（平面ABCD），如图2.
（1）点F为线段的中点，判断直线DF与平面的位置关系，并说明理由；
（2）当的面积最大时，求的长.
19．（12分）日前，《北京传媒蓝皮书：
北京新闻出版广电发展报告（2016~2017）》公布，其中提到，2015年9月至2016年9月，北京市年度综合阅读率较上年增长1%，且数字媒体阅读率首次超过了纸质图书阅读率.
为了调查某校450名高一学生（其中女生210名）对这两种阅读方式的时间分配情况，该校阅读研究小组通过按性别分层抽样的方式随机抽取了15名学生进行调查，得到这15名学生分别采用这两种阅读方式的平均每周阅读时间，数据如下（单位：
小时）：
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
数字阅读时间
23
58
30
60
41
51
64
53
55
67
51
25
33
45
47
纸质阅读时间
28
66
36
53
45
62
48
47
42
52
5
21
30
42
42
（1）求被调查的15名学生中男生的人数；
（2）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对这两种阅读方式进行比较，写出两个统计结论；
（3）平均每周纸质阅读时长超过数字阅读时长的学生中，随机抽取两名学生，求这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时的概率.
20．（12分）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点P为坐标平面内的一点，且，，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线，的倾斜角分别为，，且证明：
直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
21．（12分）已知函数b∈R）.
（1）当时，判断函数f（x）在区间内的单调性;
（2）已知曲线在点处的切线方程为
（i）求f（x）的解+析式;
（ii）判断方程1在区间（0，2π]上解的个数，并说明理由.
选考部分
请考生在22、23题两题中任选一题作答，如果多选，则按所做题的第一题计分。
22．（10分）已知圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（1）写出点C的极坐标及圆C的极坐标方程；
（2）点AB分别是圆C和直线l上的点，且，求线段AB长的最小值.
23．（10分）已知，，，为常数.
（1）当时，是否存在a，b，使得不等式（*）不成立？
并说明理由；
（2）若不等式（*）对任意的正实数a，b恒成立，求的最大值.
2021届高三年级模拟考试九·文数答案
一、选择题
1．C2.C3．B4．A5．B6.C
7．A.该几何体为一个半圆柱中间挖去一个四面体，
∴体积V＝.
8．B9．D
设公差为d，则有，
解得：
，.
则，
可令，可得，
则，
当，，；当，，，
可得在到递增；当，，，，，，，可得在递增，则有最小值，而无最大值，
10．C11．B12．B
二、填空题
13．14．
15．由得，
两式相减得：
，则，
由，，解得，所以不满足上式，
故数列从第二项起为等比数列，公比为，
所以当时，；
即数列从第二项起都是负数，
因此的最大值为，
所以为使恒成立，只需，
即的最小值是.
故答案为：
.
16．因为P，Q是抛物线上的两点，过P，Q的切线交于点M，且是等边三角形，
所以由抛物线的对称性可知：
M点必须在y轴上，
则此时PM、QM斜率分别为，
，
，
解得，
故.
则.
故答案为：
三、解答题
17．
（1）或；
（2）或.
（1）根据题意，中，有，
则有，
则有，变形可得：
，
又由，则或；
（2）根据题意，，，分2种情况讨论：
①当时，有，解可得，
此时；
②当时，有，解可得，
此时.
所以的面积为或.
18．
（1）相交，理由见解+析；
（2）2.
（1）解：
直线DF与平面相交，理由如下：
因为平面ABCD，所以平面，
假设平面，设平面平面，如图所示，
则，显然CM与CB不重合，
又因为，平面，且DF，AD相交，均在平面内，所以平面平面，但显然是两个平面的公共点，故矛盾，假设不成立，
所以直线DF与平面相交；
（2）证明：
取AB的中点O，连接，BD，
由等腰梯形ADCE中，，，，知是等边三角形，四边形是菱形，且，即和都是等边三角形.
故，，与相交于平面内，所以平面，所以.又，所以，
因为的面积为，
所以当的面积最大时，，
所以，所以.
19．
（1）8；
（2）答案见解+析；（3）.
（1）（名）.
所以被调查的15名学生中共有8名男生.
（2）被调查的15名学生分别采用两种阅读方式的平均每周阅读时间茎叶图如下：
通过观察比较分析可知，平均每周的数字阅读时间比纸质阅读时间长，纸质阅读时间数据更集中；
（3）由表中数据可知平均每周纸质阅读时间超过数字阅读时间的学生的编号分别是1，2，3，5，6，其中数字阅读时间不超过40小时的学生的编号是1，3.
从这5名学生中，随机抽取两名学生，所有可能的抽取结果为，，，，，，，，，，共10个基本事件，
设“从这5名学生中随机抽取两名学生，这两名学生中至少有一名学生数字阅读时间不超过40小时”为事件A，共有7个基本事件，分别为，，，，，，，
则.
20．
（1）
（2）证明见解+析，该点坐标,
【分析】
（1）设，，，运用两点的距离公式和向量数量积的坐标表示，以及椭圆的离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程；
（2）设,，,，判断直线的斜率不存在不成立，设直线的方程为，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理，结合直线方程和恒过定点的求法，可得所求．
【详解】
（1）设，，，
由，可得，，，，
即有，即，又，可得，，
则椭圆的方程为；
（2）证明：
设，，,，由题意可得，
若直线的斜率不存在，即，，由题意可得直线，的斜率大于0，即，矛盾；
因此直线的斜率存在，设其方程为．联立椭圆方程，
化为：
，
△，
化为：
．
，．
由，可得，
，
，化为：
，
，
化为，解得，或．
直线的方程可以表示为（舍去），或，
则直线恒过定点,．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，主要考查化简运算能力，属于中档题．
21．
（1）单调递减函数；
（2）（i）；（ii）3个，理由见解+析.
【分析】
（1）当时，求得，进而得到，即可求得函数的单调性；
（2）（i）求得函数的导数，求得，得到，求得的值，进而求得的值，即可求得函数的解+析式；
（ii）令，求得，分，和三种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与极值，即可求解.
【详解】
（1）当时，，可得，
因为，所以，即，
所以函数在区间上为单调递减函数.
（2）（i）由函数，可得，则
因为函数在点处的切线方程为，
所以，解得，
当，代入切线方程为，可得，
所以函数的解+析式为.
（ii）令，则，
①当时，可得，单调递减，
又由，
所以函数在区间上只有一个零点；
②当时，，可得恒成立，
所以函数在区间上没有零点；
③当时，令，可得，
所以在区间单调递增，，
所以存在，使得在上单调递增，在单调递减，
又由，所以函数在上有两个零点，
综上可得，方程在上有3个解.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
22．
（1），；
（2）.
【分析】
（1）由参数方程结合写出圆C的方程直角坐标方程，即可知点C的极坐标，由直角坐标与极坐标关系写出圆C的极坐标方程；
（2）在中，由余弦定理得，利用点线距即可得的范围，应用二次函数的性质即可求线段AB的最小值.
【详解】
（1）由参数方程知：
，知：
圆C的方程为，
∴点C的极坐标是，又，
∴圆C的极坐标方程为.
（2）在中，.
由题意知：
直线l为，点C到直线l的距离，
∴，故当时，线段AB的长取得最小值.
【点睛】
关键点点睛：
由参数方程结合同角三角函数的平方关系可得普通方程，应用将方程转化为极坐标方程；由余弦定理得到关于的函数，根据点线距离求得的范围，应用函数性质即可求的最小值.
23．
（1）存在，理由见解+析；
（2）.
【分析】
（1）当，时，使得不等式（*）不成立；
（2）由已知将问题转化为对任意的正实数a，b，恒成立.根据基本不等式，可得的最大值.
【详解】
（1）当，时，，，
因为，所以，即不等式（*）不成立，
（2）不等式（*）对任意的正实数a，b恒成立，即是对任意的正实数a，b，恒成立.
因为当，时，，其中，当时，等号成立.
所以的最大值为.
【点睛】
方法点睛
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