几个典型的代数系统文档格式.docx
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对任意aS
h(a)=fa
fa:
S→S定义如下:
对任意xS,
fa(x)=ax
现证h为一同态.对任何元素a,bS.
h(ab)=fab(l1-1)
而对任何xS,
fab(x)=abx=fa(fb(x))=fa○fb(x)
故fab=fa○fb,由此及式(l1-1)即得
h(ab)=fab=fa○fb=h(a)○h(b)
本定理称半群表示定理。
它表明,任一半群都可以表示为(同态于)一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。
这里<
同构于<
h(S),○>
----<
的一个子代数.
6.2群
群是最重要的代数结构类,也是应用最为广泛的代数结构类.我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的.
6.2.1群及其基本性质
定义6.6称代数结构<
G,>
为群(groups),如果
(2)<
中有么元e.
(3)<
中每一元素都有逆元.
或者说,群是每个元素都可逆的独异点.群的载体常用字母G表示,因而字母G也常用于表示群.
定义6.7设<
为一群.
(1)若运算满足交换律,则称G为交换群或阿贝尔群(Abelgroup).阿贝尔群又称加群,常表示为<
G,+>
(这里的+不是数加,而泛指可交换二元运算.回忆:
常被称为乘).加群的么元常用0来表示,常用-x来表示x的逆元.
(2)G为有限集时,称G为有限群(finitegroup),此时G的元素个数也称G的阶(order);
否则,称G为无限群(infinitegroup).
例6.6
I,+>
(整数集与数加运算)为一阿贝尔群(加群),数0为其么元.<
N,+>
不是群.因为所有非零自然数都没有逆元.
Q+,·
(正有理数与数乘)为一阿贝尔群,1为其么元.<
Q,·
不是群,因为数0无逆元.
Nk,+k>
为一k阶阿贝尔群,数0为其么元.
(4)设P为集合A上全体双射函数的集合,○为函数合成运算.那麽<
P,○>
为一群.A上恒等函数EA为其么元。
<
一般不是阿贝尔群.
群的下列基本性质是明显的.
定理1l.9设<
为群,那麽
(1)G有唯一的么元,G的每个元素恰有一个逆元.
(2)关于x的方程ax=b,xa=b都有唯一解.
(3)G的所有元素都是可约的.因此,群中消去律成立:
对任意a,x,y
S
a*x=a*y蕴涵x=y;
x*a=y*a蕴涵x=y
(4)当G{e}时,G无零元.
(5)么元e是G的唯一的等幂元素.
证
(1),
(2),(3)是十分明显的.
(4)若G有零元,那么它没有逆元,与G为群矛盾。
(注意,G={e}时,e既是么元,又是零元.)
(5)设G中有等幂元x,那么x*x=x又x=x*e所以x*x=x*e
由(3)得x=e。
由(3)我们得知,特别地,当G为有限群时,*运算的运算表的每一行(列)都是G中元素的一个全排列.从而有限群<
G,*>
的运算表中没有一行(列)上有两个元素是相同的.因此,当G分别为1,2,3阶群时,*运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一张定义*运算的运算表,如表6.2所示),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个.
定理6.10对群<
的任意元素a,b,
(1)(a-1)-1=a.
(2)(a*b)-1=b-1*a-1
(3)(ar)-1=(a–1)r(记为a–r)(r为整数).
证
(2)(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=e
(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=e
因此ab的逆元为b-1a-1,即(ab)-1=b-1a-1.
(3)对r归纳.
r=1时命题显然真.设(ar)-1=(a–1)r,即(a–1)r是ar的逆元.那么
ar+1(a–1)r+1=ar(aa-1)(a–1)r=ar(a–1)r=e
(a–1)r+1ar+1=(a–1)r(a-1a)ar=(a–1)rar=e
故ar+1的逆元为(a–1)r+1,即(ar+1)-1=(a–1)r+1.归纳完成,
(2)得证.
对群<
的任意元素a,我们可以定义它的幂:
a0=e,对任何正整数m,am+1=am*a,又据定理6.1O,在群中可引入"
负指数幂"
'
的概念:
a-m=(a-1)m,且容易证明:
定理6.11对群<
的任意元素a,b,及任何整数m,n,
(l)aman=am+n
(2)(am)n=amn
如果我们用aG和Ga分别表示下列集合
aG={aggG},Ga={gagG}
那么我们有以下定理.
定理6.12设<
为一群,a为G中任意元素,那么aG=G=Ga
特别地,当G为有限群时,运算的运算表的每一行(列)都是G中元素的一个全排列.
证aGG是显然的.
设gG,那么a–1gG,从而a(a–1g)aG,即gaG.因此GGa.
aG=G得证.Ga=G同理可证.
这一事实的一个明显推论是:
当G为有限群时,运算的运算表的每一行(列)都是G中元素的一个全排列.从而有限群<
的运算表中没有一行(列)上有两个元素是相同的.因此,当G为1,2,3阶群时,运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一张定义运算的运算表,如表6.2所示),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个.
表6.2
e
a
b
E
对群还可以引入元素的阶的概念.
定义6.8设<
为群,aG,称a的阶(order)为n,如果an=e,且n为满足此式的最小正整数.上述n不存在时,称a有无限阶.
例6.7
(1)
任何群G的幺元e的阶为1,且只有幺元e的阶为1。
(2)
<
I,+>
中幺元0的阶为1,而整数a10时,a有无限阶.
(3)
N6,+6>
中1的阶是6,2的阶是3,3的阶是2,4的阶是3,5的阶是6.
关于元素的阶有以下性质.
定理6.13有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G的阶数G.
证设a为G的任一元素,考虑e=a0,a1,a2,…,a│G│
这G+1个G中元素.由于G中只有G个元素,因此它们中至少有两个是同一元素,不妨设
ar=as(0≤r<
s≤G)
于是as-r=e,因此a有有限阶,且其阶数至多是s-r,不超过群G的阶数G.
定理6.14设<
为群,G中元素a的阶为k,那么,an=e当且仅当k整除n.
证先证充分性.
设ak=e,k整除n,那么n=kr(r为整数),因为ak=e,所以an=akr=(ak)r=er=e。
再证必要性.
设an=e,n=mk+r,其中m为n除以k的商,r为余数,因此0≤r<k。
于是
e=an=amk+r=amkar=ar
因此,由k的最小性得r=0,k整除n.
定理6.15设<
为群,a为G中任一元素,那么a与a-1具有相同的阶.
证只要证a具有阶n当且仅当a-1具有阶n。
由于逆元是相互的,即(a-1)-1=a,同此只需证:
当a具有阶n时,a-1也具有阶n。
设a的阶是n,a-1的阶是m。
由于(a-1)n=(an)-1=e-1=e
故m≤n。
又因为am=((a-1)m)-1=e-1=e
故n≤m。
因此,n=m。
6.2.2子群、陪集和拉格朗日定理
定义6.9设<
为群.称<
H,>
为G的子群(subgroups),如果<
为G的子代数,且<
子群有下列特征性(判别法).
定理6.16设<
为群,那么<
为<
子群的充分必要条件是
(l)G的么元eH.
(2)若a,bH,则abH.
(3)若aH,则a-1H.
证先证必要性.
设H为子群.那么
(2)是显然的(因H为子代数).为证(l),设<
的么元为e’,那么e’e’=e’。
由于在G中只有e是等幂元,故e’=e,eH得证.为证(3)设<
中任一元素a的H中逆元为b,那么ab=ba=e,由逆元的唯一性,b就是a在G中的逆元,即b=a-1H.
充分性是明显的.事实上只要条件
(2),(3)便可使<
子群,因为H不空时条件
(2)(3)蕴涵条件(l).因此,可用
(2),(3)来判别非空子集H是否构成G的子群<
。
显然,对任何群G,<
{e},>
及<
均为其子群,它们被称为平凡子群,其它子群则称为非平凡子群或真子群.
例6.8
(l)群<
有非平凡子群
{0,3},+6>
和<
{0,2,4},+6>
(2)设EI,E为偶数集。
那么<
E,+>
的子群,但<
N,+>
不是<
的子群.
对于有限群,子群的判别更为简单.
定理6.17设<
为有限群,那么当G的非空子集H对运算封闭时,<
即为G的子群.
证由于G为有限群,H必为有限集.设H=r,aH.考虑
a1,a2,…,ar+1,…
它们都在H中(H对运算封闭),因此必定有ai=aj(0≤i<
j≤r+1),从而aj-i=e,故
eH.
若H={e},<
为G的子群得证.
若H{e},设a为H中任一不同于e的元素.同上可证,有k≥2使ak=e,从而有
aak-1=ak-1a=e
因此,ak-1=a-1H.
据定理6.16,<
为G的子群得证.
由于我们采用的上述证明方法仅仅依赖H的有限性,可见本定理可加强为:
设<
为群,H为G的非空有限子集,且H对运算封闭,那么<
和子群概念直接相关的是陪集的概念.
定义6.10设<
的子群,那么对任一gG,称gH为H的左陪集(leftcoset)称Hg为H的右陪集(rightcoset).这里
gH={ghhH},Hg={hghH}
关于左(右)陪集我们有以下定理.
定理6.18设<
的子群,那麽
(1)当gH时,gH=H(Hg=H)。
(2)对任意gG,gH=H(Hg=H).
证(l)由定理6.12立得.
为证
(2),只要证H与gH之间存在双射.定义函数f:
H→gH如下:
对任何一hH,
f(h)=gh
设h1h2,那么f(h1)=gh1,f(h2)=gh2,若f(h1)=f(h2),那么由可约性即得h1=h2,与h1h2矛盾.f为单射得证.f为满射是显然的.因此f为双射.gH=H得证.同理可证Hg=H.
定理ll.19设<
的子群,a,bG,那么,或者aH=bH(Ha=Hb),或者aH∩bH=(Ha∩Hb=).I
证设aH∩bH,那么有h1,h2H使得ah1=bh2.于是a=bh2h1-1。
为证aHbH,设xaH。
那么有h3H,使得x=ah3=b(h2h1-1h3)bH.aHbH得证.
同理可证bHaH.于是aH=bH得证.对于右陪集Ha,Hb,同上可证平行的命题.
由于对每一元素gG,ggH(gHg),gHG(HgG),因此据以上讨论可以看出,子群H的全体左(右)陪集构成G的一个划分,且划分的各单元与H(亦即陪集eH,He)具有同样数目的元素.由此可导出下列重要的拉格朗日定理(Lagrangetheorem).
定理6.20设<
为有限群<
的子群,那么H的阶整除G的阶.
证由以上讨论知G=kH,其中k为不同左(右)陪集的数目.定理得证.
注意,拉格朗日定理之逆不能成立。
我们将指出一个12阶群、它没有6阶的子群(见练习6.3第11题之(3)).因此,据此定理只可判别一子代数“非子群”,却不可用它来判别一子代数“是子群”。
例6.9拉格朗日定理可用于证明下列事实:
(1)有限群<
中任何元素的阶均为G的阶的因子。
设a为G中任一元素,a的阶为r.那么<
{e,a,a2,…,ar-1},>
必为G的r阶子群,因此r整除G。
(2)质数阶的群没有非平凡子群.
利用陪集还可定义陪集等价关系.
定义6.11设<
为群<
的子群。
定义G上H的左(右)陪集等价关系~。
对任意a,bG
a~b当且仅当a,b在H的同一左(右)陪集中
显然,~确为一等价关系.关于~有下列事实。
定理6.21设~为群G上H的左(右)陪集等价关系,那么
a~b当且仅当a-1bH
证设a~b,则有gG,使a,bgH,因而有hl,h2H,使得a=gh1,b=gh2.于是
a-1b=(gh1)-1(gh2)=h1-1h2H
反之,设a-1bH,即有hH使a-1b=h。
因而b=ahaH。
而aaH显然,故a,b在同一左陪集aH中,a~b真.
对右陪集等价关系同理可证上述定理.
6.2.3循环群
定义6.13称<
为循环群(cyclicgroup),如果G为群,且G中存在元素g,使G以{g}为生成集,即G的任何元素都可表示为g的幂(约定e=g0),这时g称为循环群G的生成
元(generater).
例6.12
为循环群,1或(-l)为其生成元.
(2)令A={2iiI},那么<
A,·
(·
为数乘)是循环群,2是生成元.
N5,+5>
为循环群,1,2,3,4都可以是生成元.
关于循环群的下列性质是明显的.
定理6.26设<
为循环群,g为生成元,那么
(1)G为阿贝尔群.
(2)G的h同态像是以h(g)为生成元的循环群.
(3)G为无限循环群时必同构于<
.
(4)G为有限循环群时,必有
G={e,g,g2,…,gn-1}
其中n=G,也是g的阶.从而n阶循环群必同构于<
Nn,+n>
定理6.27循环群的子群都是循环群.
证设<
为g生成的循环群,<
为其子群.当然,H中元素均可表示为gr形.
(1)若H={e},显然H为循环群.
(2)若H{e},那么H中有gi(i0).由于H为子群,H中必还有g-i.因此,不失一般性,可设i为正整数,并且它是H中元素的最小正整数指数.现证H为gi生成的循环群.
设gj为H中任一元素.令j=mi+r,其中m为i除j的商,r为剩余,0≤r<i.于是
gj=gmi+r=gmigr
gr=g-migj
由于gj,g-miH,(因gmiH),故grH,根据i的最小性,r=0,从而gj=gmi=(gi)m,H为循环群证讫.
根据上述定理,立即可以推得以下定理.
定理6.28设<
为g生成的循环群.
(1)若G为无限群,则G有无限多个子群,它们分别由g0,g1,g2,g3,…生成.
(2)若G为有限群,G=n,且n有因子k1,k2,k3,…,kr,那么G有r个循环子群,它们分别由gk1,gk2,gk3,…生成.(注意这r个子群中可能有相同者.)
例6.13
I,+>
有循环子群:
{0},+>
,<
{0,2,-2,4,-4,…},+>
{0,3,-3,6,-6,…},+>
{0,4,-4,8,-8,…},+>
…,<
N6,+6>
{0},+6>
{0,2,4},+6>
{0,3},+6>
<
6.2.4置换群
定义6.14称有限集上的双射函数为置换.称任意集合上的双射函数为变换.
例6.14设A={l,2},那么A上有两个置换:
当A={1,2,3}时,A上有6个置换:
一般地,A={a1,a2,…,an}时,A上有n!
个置换.置换p满足p(ai)=aji时,可表示为
置换的合成运算通常用记号○表示之,对置换的独特表示形式计算它们的合成时,可像计算两个关系的合成那样来进行.例如:
○
=
因此,应当注意
(pi○pj)(x)=pj(pi(x))
对于置换的合成运算而言,A上置换的全体中有么元----恒等函数,又称么置换,且每一置换都有逆置换,因此置换全体构成一个群。
定义6.15将n个元素的集合A上的置换全体记为S,那么称群<
S,○>
为n次对称群(symmetricgroup),它的子群又称为n次置换群(permutationgroup).
对置换群稍作推广便有变换群的概念.
定义6.16对任意集合A定义集合S
S={ffAA∧f为双射}
那么群<
S,○>
及其子群称为变换群,其中○为函数的合成运算.
像定理6.3那样,可以证明下列群表示定理.
定理6.30每个群均同构于一个变换群,特别地,每一个有限群均同构于一个置换群.
为任一群,对G中每一元素a,定义双射函数fa:
G→G如下。
fa(x)=ax
(请读者自行证明fa确为双射)令
F={faaG}
现证<
F,○>
为群(○为函数合成运算).
(l)F对○运算封闭。
设faF,fbF,那么aG,bG.考虑fa○fb。
:
对任意xG,
fa○fb(x)=fa(fb(x))=abx=fab(x)
即fa○fb=fab。
由于a*bG,fabF,故fa○fbF.
(2)○运算显然满足结合律.
(3)○运算有么元feF.e为群G的么元。
(4)F中每一元素fa均有逆元fa-1.这是因为由aG知a-1G,从而fa-1F,并且对任意xG,fa○fa-1(x)=aa-1x=x=ex=fe(x),即fa○fa-1=fe。
再证<
与<
同构.为此定义函数h:
G→F,使得对任一xG,h(x)=fx.显然h为双射(请读者自证).另仿
(1)可证h保运算,即对G中任意元素x,y,有
h(xy)=fxy=fx○fy=h(x)○h(y)
6.3环和域
这一节我们要讨论含有两个二元运算的代数结构,环和域.
6.3.1环
下文中符号+,·
表示一般二元运算,分别称为加、乘运算(未必是数加和数乘),并对它们沿用数加、数乘的术语及运算约定,例如,a,b的积表示为ab,n个a的和a+…+a表示为na,n个a的积表示为an等.
定义6.17称代数结构<
R,+,·
为环(ring),如果
R,+>
是阿贝尔群(或加群).
R,·
是半群.
(5)乘运算对加运算可分配,即对任意元素a,b,cR,
a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca
例6.16
I,+,·
(I为整数集,+,·
为数加与数乘运算)为一环.
Nk,+k,k>
为环,因为我们已知<
Nk,+k>
为加群,<
Nk,k>
为半群,此外,
ak(b+kc)=ak((b+c)modk)
=(a(b+c)(modk))(modk)
=(a(b+c))(modk)
=(ab+ac)(modk)
=ab(modk)+kac(modk)
=akb+kakc
(其中x(modk)表示x除以k的剩余)且同理可证(b+kc)ka=bka+kcka.
(3)所有整数分量的nn方阵集合Mn与矩阵加运算(+)及矩阵乘运算(◦)构成一环,即,<
Mn,+,◦>
为环.
(4)所有实系数多项式(以x为变元)的集合R[x]与多项式加,乘运算构成环,即
R[x],+,·
为环.
(5)<
{0},+,·
(其中0为加法么元、乘法零元)为一环,称为零环。
(其它环至少有两个元素.)
(6)<
{0,e},+,·
(其中0为加法么元、乘法零元,e为乘法么元)为一环.
环有下列基本性质.
定理6.31设<
R,+,·
为环,0为加法么元,那么对任意a,b,cR
(1)0a=a0=0(加法么元必为乘法零元)
(2)(-a)b=a(-b)=-ab(-a表示a的加法逆元,下同)
(3)(-a)(-b)=ab
(4)若用a–b表示a+(-b),则
(a-b)c=ac–bc,c(a-b)=ca-cb
证
(1)0=a0+(-a)0=a(0+0)+(-a)0=a0+a0+(-a)0=a0
同理可证0a=0.
(2)(-a)b=ab+(-ab)+(-a)b=(a+(-a))b+(-ab)=0b+(-ab)=-ab
同理可证a(-b)=-ab.
(3)仿
(2)可证.
(4)(a-b)c=(a+(-b))c=ac+(-b)c=ac+(-bc)=ac-bc
同理可证c(a-b)=ca–cb.
注意,<
中乘