高中数学 13 三角函数的诱导公式教案4 新人教版必修4.docx

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高中数学13三角函数的诱导公式教案4新人教版必修4

2019-2020年高中数学1．3三角函数的诱导公式教案4新人教版必修4

重点知识讲解

1、正、余弦的诱导公式

公式一：

sin（α＋k·360°）=sinα　　　　cos（α＋k·360°）=cosα（k∈Z）

公式二：

sin（180°＋α）=－sinα　　　　cos（180°＋α）=－cosα

公式三：

sin（－α）=－sinα　　cos（－α）=cosα

公式四：

sin（180°－α）=sinα　　　　cos（180°－α）=－cosα

公式五：

sin（360°－α）=－sinα　　　　cos（360°－α）=cosα

总结：

α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

注：

正切等其余的函数的诱导公式可通过同角三角函数关系式推导出。

2、诱导公式的推导

　　诱导公式二、三可由单位圆中的三角函数线来导出，即寻求180°＋α（或－α）与α的同名三角函数值之间的关系，公式四、五可由公式一、二、三推导.

　　由五组诱导公式，可将任意角的三角函数值转化为0°～90°的三角函数值，从而利用数学用表查值.

　　利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：

例1、推导出180°＋α，－α，180°－α，360°－α的正切、余切的诱导公式.

精析：

借助公式二、三、四、五和同角三角函数关系式推导.

解答：

过程略.

　tan（180°＋α）=tanα，cot（180°＋α）=cotα

　tan（－α）=－tanα，cot（－α）=－cotα

　tan（180°－α）=－tanα，cot（－α）=－cotα

　tan（360°－α）=－tanα，cot（360°－α）=－cotα

小结：

“函数名不变，正负看象限”不仅对于公式一～五成立，对于正切、余切函数也都成立，应深刻理解其含义.

2、诱导公式的应用——化简、求值、证明.

例2、设的值为（　）

　A．　　　　　　　　　　　B．

　C．－1　　　　　　　　　　　　D．1

精析：

　　利用诱导公式将条件等式和欲求式都化到α的同名三角函数上去，再利用同角三角函数基本关系式求解.

解答：

答案：

A

例3、计算=____________.

精析：

诱导公式的一个重要作用就是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，于是可着眼于角的变换，并辅以特殊角的三角函数值求解.

解答：

例4、已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：

（1）cos（2A＋B＋C）=－cosA；

（2）

精析：

△ABC的三内角应满足A＋B＋C=π，注意到左右两边角的差异，利用诱导公式可证.

解答：

∵A、B、C是△ABC的三个内角，∴A＋B＋C=π.

（1）cos（2A＋B＋C）=cos（π＋A）=－cosA；

（2）

三、难点知识解析

灵活运用诱导公式对含n的式子的讨论等是本节内容的难点.

例5、已知函数f（x）=asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f（1997）=－1，则f（xx）=（　）

　A．－1　　　　　　　　　　　　　B．0

　C．1　　　　　　　　　　　　　　D．2

精析：

利用诱导公式寻求f（xx）与f（1997）的关系，并注意xxπ=1997π＋π的数量关系.

解答：

f（1997）=asin（1997π＋α）＋bcos（1997π＋β）=－asinα－bcosβ，

　　f（xx）=asin（xxπ＋α）＋bcos（xxπ＋β）=asinα＋bcosβ，

　　两式相加，有f（1997）＋f（xx）=0，

　　∴f（xx）=1，故选C.

答案：

C

例6、若，则α的取值范围是__________.

精析：

采取逆向思维的方法，先用诱导公式和同角基本关系式将式子化简，再对比左右两边，得出α的取值范围.

解答：

原式变形为

例7、化简.

精析：

为能应用诱导公式，需对整数n的奇偶性进行讨论.

解答：

当n为偶数时，设n=2k（k∈Z）,

　　原式=；

　　当n为奇数时，设n=2k＋1（k∈Z），

　　原式

　　故原式=2tanα.

例8、化简

（1）tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°

（2）2－sin221°－cos221°＋sin417°＋sin217°cos217°＋cos217°

精析：

对90°的偶数倍的诱导公式应能熟练掌握和运用，而对于90°的奇数倍的诱导公式若能加以探索和掌握，则更能在解题时得心应手.

解答：

（1）∵tanα=cot（90°－α），且tanα·cotα=1

　　　　∴原式

　　　　　=tan1°·tan2°·tan3°·…·tan44°·tan45°·cot46°·…

　　　　　·cot1°

　　　　　=1·1·…·tan45°=tan45°=1

（2）原式

　　　　　=2－（sin221°＋cos221°）＋sin217°（sin217°＋cos217°）＋cos217°

　　　　=2－1＋sin217°＋cos217°=2

2019-2020年高中数学1．3.1单调性与最大（小）值第一课时教案精讲新人教A版必修1

[读教材·填要点]

1．定义域为I的函数f（x）的增减性

2．函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，就说函数y＝f（x）在区间D上具有（严格）的单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．

[小问题·大思维]

1．定义在（a，b）上的函数f（x），若存在x1，x2∈（a，b），使得x1＜x2时有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在（a，b）上为增函数，对吗？

提示：

不对，如函数f（x）＝x2，（－1＜x＜1），

存在x1＝－，x2＝，显然x1＜x2，

有f（x1）＝＜f（x2）＝，

但f（x）＝x2在（－1,1）上不是增函数．

2．定义在（a，b）上的函数f（x），若有无穷多对x1，x2∈（a，b）使得x1

提示：

不对，如上述函数f（x）＝x2（－1＜x＜1）．

3．画出函数y＝的图象，你认为：

若f（x）在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f（x）在A∪B上也为减函数，对吗？

提示：

不对，如函数f（x）＝（x≠0），在（－∞，0）上为减函数，在（0，＋∞）上也为减函数，但在（－∞，0）∪（0，＋∞）上既不是增函数，也不是减函数．

证明或判断函数的单调性

[例1]　求证：

函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数，在（－∞，0）上是增函数．

[自主解答]　对于任意的x1，x2∈（－∞，0），且x1

＝＝

∵x10，x1＋x2<0，xx>0.

∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

∴函数f（x）＝在（－∞，0）上是增函数．

对于任意的x1，x2∈（0，＋∞），且x1

∵00，x2＋x1>0，xx>0.

∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）．

∴函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数．

——————————————————

利用定义证明函数单调性的步骤如下：

1取值：

设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1

2作差变形：

作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；

3定号：

确定fx1－fx2的符号；,4结论：

根据fx1－fx2的符合及定义判断单调性.

————————————————————————————————————————

1．证明函数f（x）＝x3＋x在R上是增函数．

证明：

设x1，x2∈R，且x1

f（x1）－f（x2）＝（x＋x1）－（x＋x2）

＝（x－x）＋（x1－x2）

＝（x1－x2）（x＋x1x2＋x＋1）

＝（x1－x2）[（x1＋x2）2＋x＋1]．

∵x1

又∵（x1＋x2）2＋x＋1>0，

∴f（x1）－f（x2）<0，

即f（x1）

∴f（x）在R上是增函数．

求函数的单调区间

[例2]　画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

[自主解答]　y＝－x2＋2|x|＋3

＝

函数图象如图所示．

函数在（－∞，－1]，[0,1]上是增函数，

函数在[－1,0]，[1，＋∞）上是减函数．

∴函数的单调增区间是（－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞）．

——————————————————

1对于初等函数y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝\f（k,x）单调区间的确定，常借助于函数图象去探求，而且这些函数的单调区间作为常识性的内容，可以直接使用.

2对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性区间.

————————————————————————————————————————

2．求函数f（x）＝|x＋1|－|2x－4|的单调递减区间．

解：

f（x）＝|x＋1|－|2x－4|

＝

画出函数f（x）的图象如下图所示，函数f（x）的单调减区间是[2，＋∞）．

由函数的单调性求参数取值范围

[例3]　已知函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求实数a的取值范围．

[自主解答]　函数f（x）＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．

由图象可知函数在（－∞，a]和[a，＋∞）上分别单调，因此要使函数f（x）在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2（其中当a≤1时，函数f（x）在区间[1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f（x）在区间[1,2]上单调递减，从而a∈（－∞，1]∪[2，＋∞）．

“若函数单调增区间为[2，＋∞），则a为何值？

”

解：

∵f（x）开口向上，且函数单调增区间为[2，＋∞），

∴对称轴x＝a＝2，即a＝2.　　　　

——————————————————

1已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：

视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.

（2）常见函数的单调性列表如下：

函数

单调性

一次函数y＝ax＋b（a≠0）

a>0时，在R上单调递增；

a<0时，在R上单调递减

反比例函数y＝（a≠0）

a>0时，单调减区间是（－∞，0）和（0，＋∞）；a<0时，单调增区间是（－∞，0）和（0，＋∞）

二次函数y＝a（x－m）2＋n（a≠0）

a>0时，单调减区间是（－∞，m]，单调增区间是[m，＋∞）；a<0时，单调减区间是[m，＋∞），单调增区间是（－∞，m]

（3）需注意若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

————————————————————————————————————————

3．若函数f（x）＝（2a－1）x＋b是R上的减函数，则a的取值范围为________．

解析：

∵f（x）＝（2a－1）x＋b为一次函数，

∴当2a－1<0即a<时，f（x）是R上的减函数．

答案：

（－∞，）

解题高手

妙解题

同样的结果，不一样的过程，