高考数学学年数学高考二轮复习高考22题12+4分项练5三角函数与解三角形文科.docx

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高考数学学年数学高考二轮复习高考22题12+4分项练5三角函数与解三角形文科

12＋4分项练5　三角函数与解三角形

1．（2017·全国Ⅲ）已知sinα－cosα＝，则sin2α等于（　　）

A．－B．－C.D.

答案　A

解析　∵sinα－cosα＝，

∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，

∴sin2α＝－.

故选A.

2．（2017届陕西省渭南市二模）已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，则△ABC是（　　）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．以上情况都有可能

答案　C

解析　圆心到直线的距离d＝>2，

所以c2>a2＋b2，在△ABC中，cosC＝<0，

所以C为钝角．即△ABC为钝角三角形．故选C.

3．（2017·全国Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA（sinC－cosC）＝0，a＝2，c＝，则C等于（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　因为a＝2，c＝，

所以由正弦定理可知，＝，

故sinA＝sinC.

又B＝π－（A＋C），

故sinB＋sinA（sinC－cosC）

＝sin（A＋C）＋sinAsinC－sinAcosC

＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC

＝（sinA＋cosA）sinC

＝0.

又C为△ABC的内角，

故sinC≠0，

则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.

又A∈（0，π），所以A＝.

从而sinC＝sinA＝×＝.

由A＝知，C为锐角，故C＝.

故选B.

4．（2017·湖北省武汉市调研）如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b，则这段曲线的函数解析式可以为（　　）

A．y＝10sin＋20，x∈[6,14]

B．y＝10sin＋20，x∈[6,14]

C．y＝10sin＋20，x∈[6,14]

D．y＝10sin＋20，x∈[6,14]

答案　A

解析　由＝2（14－6）＝16，得ω＝，

A＝（30－10）＝10，b＝20，

由y＝10sin＋20过点（14,30），得

30＝10sin＋20，sin＝1，

φ＋＝2kπ＋，φ＝2kπ－，k∈Z，

取k＝1，得φ＝，

所以y＝10sin＋20，故选A.

5．已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β的值为（　　）

A.B.

C.D.或

答案　B

解析　因为锐角α，β，所以cosα＝，sinβ＝，因此cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝，因为α＋β∈（0，π），所以α＋β＝，故选B.

6．（2017届天津市红桥区二模）将函数f（x）＝2sin的图象向右平移φ（φ>0）个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　函数f（x）＝2sin的图象向右平移φ（φ>0）个单位长度，得到y＝2sin，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到y＝2sin，所得图象关于直线x＝对称，即sin＝±1，则2φ－＝kπ＋，φ＝＋，k∈Z，由φ>0，取k＝－1，得φ的最小值为，故选C.

7．（2017·安徽省蚌埠市质检）已知函数f（x）＝cos2＋sinωx－（ω>0，x∈R），若函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）

A.B.∪

C.D.∪

答案　D

解析　∵f（x）＝＋sinωx

＝cosωx＋sinωx＝sin，

当x∈（π，2π）时，ωx＋∈，

依题意得

⇒k－≤ω≤＋，k∈Z，

由＋>k－，可得k<，k＝0时，ω∈，

当k＝1时，ω∈，

所以ω的取值范围是∪，故选D.

8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：

以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：

弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB等于（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　设矢为x，那么代入弧田弧公式得＝（6x＋x2），解得x＝1，设圆的半径为R，那么根据弦心距、半径和半个弦长得到关系式为R2＝（R－1）2＋32，解得R＝5，

cos∠AOB＝＝，故选D.

9．（2017届湖南省长沙市一中模拟）已知函数f（x）＝（sinx＋cosx）cosx，则下列说法正确的为（　　）

A．函数f（x）的最小正周期为2π

B．函数f（x）在上单调递减

C．函数f（x）的图象关于直线x＝－对称

D．将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象

答案　D

解析　函数的解析式为f（x）＝sinxcosx＋cos2x

＝sin2x＋＝sin＋，

函数的最小正周期为T＝＝π，选项A错误；

∵x∈，2x＋∈，函数在该区间上单调递增，选项B错误；

当x＝－时，2x＋＝－，函数不关于x＝－对称，选项C错误；

将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到函数g（x）＝sin＋－＝sin2x的图象，该函数为奇函数，选项D正确．

故选D.

10．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b等于（　　）

A．10B．9C．8D．5

答案　D

解析　由23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1

＝25cos2A－1＝0.

∴cosA＝，

由a2＝b2＋c2－2bccosA，得72＝b2＋62－12b×，

解得b＝5，b＝－（舍去）．故选D.

11．（2017届福建省福州第一中学模拟）函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，若f＝，则sin等于（　　）

A．－B.

C．±D．－

答案　A

解析　∵f（x）的图象两个相邻最高点的距离为π，

∴T＝π＝⇒ω＝2，f（x）＝sin（2x＋φ），

∵f（x）＝sin（ωx＋φ）图象关于直线x＝对称，

∴＋φ＝kπ＋，

∴当k＝0时，φ＝－，

f（x）＝sin，

f＝sin＝，sin＝，

∵0<α<，∴－<α－<，

∴cos＝，

∴sin＝sin＝－sin

＝－sin

＝－cos＝－，

故选A.

12．（2017届山西省太原市模拟）已知函数f（x）＝sinωx－cosωx（ω>0），若方程f（x）＝－1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　函数f（x）＝sinωx－cosωx＝2sin，

由f（x）＝－1有sin＝－，

所以有ωx－＝2kπ－或ωx－＝2kπ－，

当ωx－＝2kπ－时，ωx＝2kπ＋，k＝0时显然成立，

由于方程f（x）＝－1在（0，π）内有四个交点，所以k＝1时也成立，k＝2时，x＝π是第五个交点，但x∈（0，π），此时ω＝，所以ω≤；当ωx－＝2kπ－时，ωx＝2kπ－，k＝1或2，且当k＝2时，ωx＝，由于0，综上有<ω≤，故选B.

13．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．若sinB＝，cosB＝，则a＋c的值为________．

答案　3

解析　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.

∵sinB＝，cosB＝，

∴ac＝13，∴b2＝a2＋c2－2accosB，

∴a2＋c2＝37，∴（a＋c）2＝63，∴a＋c＝3.

14．（2017届江西省新余市第一中学模拟）某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80nmile，BC＝（40＋30）nmile，AD＝70nmile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A出发沿直线航行，一段时间到达D后，轮船收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sinθ＝________.

答案　

解析　连接AC，在△ABC中，根据余弦定理得AC＝

＝50，

再根据正弦定理得＝，

所以sin∠ACB＝，则显然可求cos∠ACB＝，

于是sin（135°－∠ACB）

＝×－×＝，

在△ACD中，根据正弦定理得

＝，

得sinD＝，所以D＝30°，

因此根据题意，θ＝75°－30°＝45°，

所以sinθ＝.

15．（2017·广东省湛江市二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin＝，且a＋c＝2，则△ABC的周长的取值范围是________．

答案　[3,4）

解析　∵0

∵sin＝，

∴＋＝，B＝，

b2＝a2＋c2－2accos

＝a2＋c2－ac＝（a＋c）2－3ac＝4－3ac，

∵a＋c＝2≥2，0

∴1≤4－3ac<4,1≤b2<4,1≤b<2,3≤a＋b＋c<4，

则△ABC的周长的取值范围是[3,4）．

16．（2017届江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）三模）已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C＝，c＝2.当·取得最大值时，的值为______．

答案　2＋

解析　设△ABC的外接圆半径为R，

则2R＝＝.

·＝bccosA＝2bcosA

＝2×sinBcosA＝sinBcosA，

∵B＝－A，

·＝cosAsin

＝cosA

＝4cos2A＋sinAcosA

＝2（1＋cos2A）＋sin2A

＝sin2A＋2cos2A＋2

＝＋2

＝sin＋2.

∵0

则当2A＋＝，即A＝时，·取得最大值＋2，此时△ABC中，B＝，＝，＝＝＝2＋.