导数及定积分知识点总结及练习经典.docx

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导数及定积分知识点总结及练习经典

导数的应用及定积分

（一）导数及其应用

1．函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是＝.我们称它为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝＝。

2．导数的几何意义

函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f（x）在x＝x0处的切线的斜率，即k＝f′（x0）＝.

3．函数的导数

对于函数y＝f（x），当x＝x0时，f′（x0）是一个确定的数．当x变化时，f′（x）便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f（x）的导函数（简称为导数），即f′（x）＝y′＝.

4．函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）就是导函数f′（x）在点x＝x0处的函数值，即f′（x0）＝f′（x）|x＝x0。

5．常见函数的导数

（xn）′＝__________.（）′＝__________.（sinx）′＝__________.（cosx）′＝__________.

（ax）′＝__________.（ex）′＝__________.（logax）′＝__________.（lnx）′＝__________.

（1）设函数f（x）、g（x）是可导函数，则：

（f（x）±g（x））′＝________________；（f（x）·g（x））′＝_________________．

（2）设函数f（x）、g（x）是可导函数，且g（x）≠0，′＝___________________.

（3）复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

6．函数的单调性

设函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，

（1）如果在区间（a，b）内，f′（x）>0，则f（x）在此区间单调__________；

（2）如果在区间（a，b）内，f′（x）<0，则f（x）在此区间内单调__________．

（2）如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________，其图象比较__________．

7．函数的极值

一般地，已知函数y＝f（x）及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有________，则称函数f（x）在点x0处取得________，并把x0称为函数f（x）的一个_________；如果都有________，则称函数f（x）在点x0处取得________，并把x0称为函数f（x）的一个________．极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________．

8．函数的最值

假设函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在[a，b]上一定能够取得____________与____________，若该函数在（a，b）内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．

9．生活中的实际优化问题

（1）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．

（2）实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是__________点．

（二）定积分

1．曲边梯形的面积

（1）曲边梯形：

由直线x＝a、x＝b（a≠b）、y＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形．

（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：

①分割：

把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_______________；

②近似代替：

对每个小曲边梯形“___________”，即用__________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的________；

③求和：

把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值________；

④取极限：

当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个________，即为曲边梯形的面积．

2．求变速直线运动的路程

如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v（t），那么也可以采用________、________、________、________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

3．定积分的概念

如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

这里，a与b分别叫做________与________，区间[a，b]叫做________，函数f（x）叫做________，x叫做________，f（x）dx叫做________．

4．定积分的几何意义

如果在区间[a，b]上函数f（x）连续且恒有___________，那么定积分表示由_________________________，y＝0和_____________所围成的曲边梯形的面积．

5．定积分的性质

①＝__________________（k为常数）；

②＝________________；

③＝＋_______________（其中a

6．微积分

（1）微积分基本定理

如果F（x）是区间[a，b]上的________函数，并且F′（x）＝________，那么＝___________．

（2）用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′（x）＝f（x）的函数F（x），即找被积函数的________，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F（x）．

（3）被积函数的原函数有很多，即若F（x）是被积函数f（x）的一个________，那么F（x）＋C（C为常数）也是被积函数f（x）的________．但是在实际运算时，不论如何选择常数C（或者是忽略C）都没有关系，事实上，以F（x）＋C代替式中的F（x）有＝[F（b）＋C]－[F（a）＋C]＝F（b）－F（a）．

（4）求定积分的方法主要有：

①利用定积分的________；②利用定积分的___________；③利用_______________。

（5）常用公式

①＝cx|（c为常数）；②＝xn＋1|（n≠－1）；

③dx＝lnx|（b>a>0）；④＝－cosx|；

⑤＝sinx|；⑥＝ex|；

⑦＝|（a>0且a≠1）．

练习题：

1．若直线y＝－x＋b为函数y＝的图象的切线，求b及切点坐标．

2．曲线y＝x2在点（3,6）处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________________．

3．设y＝，－π

4．求下列函数的导数．

①y＝x2sinx　　②y＝x2（x2－1）③y＝＋＋

④y＝x·tanx⑤y＝ln

⑥y＝⑦y＝sin

5．已知曲线f（x）＝x3＋ax＋b在点P（2，－6）处的切线方程是13x－y－32＝0.

（1）求a，b的值；

（2）如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线l：

y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

6．设函数f（x）＝ax－－2lnx.

（1）f′

（2）＝0，求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

7．已知f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a、b的值．

8．设函数f（x）＝x3＋ax2－a2x＋m（a>0）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在x∈[－1,1]内没有极值点，求a的取值范围；

（3）若对任意的a∈[3,6]，不等式f（x）≤1在x∈[－2，2]上恒成立，求m的取值范围．

9．设f（x）＝－x3＋x2＋2ax.

（1）若f（x）在（，＋∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围；

（2）当0

10．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P＝24200－x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？

最大利润是多少？

（利润＝收入－成本）．

11．计算（－x3）dx的值；

12．求下列定积分：

（1）dx

（2）（1＋）dx（3）cos2xdx（4）dx.

13．求直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积．

6题：

（1）由已知得x>0，故函数f（x）的定义域为（0，＋∞）．

∵f′（x）＝a＋－，∴f′

（2）＝a＋－1＝0，∴a＝.

∴f′（x）＝＋－＝（2x2－5x＋2），

令f′（x）>0，得02，令f′（x）<0，得

∴函数f（x）的单调递增区间为（0，），（2，＋∞），单调递减区间为（，2）．

（2）若f（x）在定义域上是增函数，则f′（x）≥0对x>0恒成立，因为f′（x）＝a＋－＝，所以需x>0时ax2－2x＋a≥0恒成立，

即a≥对x>0恒成立．

因为＝≤1，当且仅当x＝1时取等号，所以a≥1.

7题：

因为f（x）在x＝－1时有极值0，且f′（x）＝3x2＋6ax＋b.

所以，即，

解得，或.

当a＝1，b＝3时，f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0，

所以f（x）在R上为增函数，无极值，故舍去；

当a＝2，b＝9时，f′（x）＝3x2＋12x＋9＝3（x＋1）（x＋3）．

当x∈[－3，－1]时，f（x）为减函数；

当x∈[－1，＋∞）时，f（x）为增函数，

所以f（x）在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.

8题：

（1）∵f′（x）＝3x2＋2ax－a2＝3（x－）（x＋a），

又a>0，∴当x<－a或x>时，f′（x）>0；当－a

∴函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－a），（，＋∞），单调递减区间为（－a，）．

（2）由题设可知，方程f′（x）＝3x2＋2ax－a2＝0在[－1，1]上没有实根，

∴∴

∵a>0，∴a>3.

（3）∵a∈[3,6]，∴∈[1,2]，－a≤－3，

又x∈[－2,2]，∴当x∈[－2，）时，f′（x）<0，f（x）单调递减，当x∈（，2]时，f（x）单调递增，故f（x）的最大值为f

（2）或f（－2）．

而f

（2）－f（－2）＝16－4a2<0，f（x）max＝f（－2）＝－8＋4a＋2a2＋m，

又∵f（x）≤1在[－2,2]上恒成立，

∴－8＋4a＋2a2＋m≤1，

即m≤9－4a－2a2，在a∈[3,6]上恒成立，

∵9－4a－2a2的最小值为－87，

∴m≤－87.

9题：

（1）由f′（x）＝－x2＋x＋2a＝－（x－）2＋＋2a，

当x∈[，＋∞）时，f′（x）的最大值为f′（）＝＋2a；令＋2a>0，得a>－，所以，当a>－时，f（x）在（，＋∞）上存在单调递增区间．

（2）令f′（x）＝0，得两根

x1＝，x2＝，

所以f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增．

因为0

又f（4