《数学分析选论》习题解答.docx

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《数学分析选论》习题解答

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第二章　连　续　性

1．设，证明：

．

证　由向量模的定义，

　　　　　　　　　　　．　　　　　□

　．　设到集合的距离定义为

．

证明：

（１）若是闭集，，则；

　　（２）若（称为的闭包），则

．

证　（１）倘若，则由的定义，，使得

．

因，故，于是必为的聚点；又因是闭集，故，这就导致矛盾．所以证得．

（２）．若，则显然成立．若，则（即为的聚点），由聚点定义，，因此同样有

．

反之，凡是满足的点，不可能是的外点（若为外点，则存在正数，使，这导致，与相矛盾）．从而只能是的聚点或孤立点．若为聚点，则；若为孤立点，则．所以这样的点必定属于．

综上，证得成立．　　　　　　　　　　　　　　　□

　　３．证明：

对任何，必为闭集．

证　如图所示，设为的任一聚点，

欲证，即亦为的聚点．

　　这是因为由聚点定义，，使得

　　　　　　．

再由为的聚点，，有

．

于是又有，所以为的聚点，即，亦即为闭集．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

４．证明：

对任何，必为闭集．

证　如图所示，设为的任一聚点，欲证，即亦为的界点．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　由聚点定义，，使

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．

　　　　　　　　　　　　　　　　再由为界点的定义，，

　　　　　　　　　　　　　　　　在内既有的内点，又有的外点．由此证得在内既有的内点，又有的外点，所以为的界点，即必为闭集．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

　５．设，为的任一内点，为的任一外点．证明：

联结与的直线段必与至少有一交点．

证　如图所示，把直线段置于一实轴上，并

为叙述方便起见，约定此实轴上的点与其坐标用同一字

母表示．下面用区间套方法来证明．

记．若，

则结论成立；若为的内点，则取；若为的外点，则取．一般地，用逐次二等分法构造区间套：

记（不妨设），并取

．

此区间套的特征是：

其中每个闭区间的左端点恒为的内点，右端点恒为的外点．现设，下面证明．

　　由区间套定理的推论，，当足够大时，，因此在中既含有的内点（例如），又含有的外点（例如），所以上的点必是的界点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

　　６．证明聚点定理的推论２和推论３．

（1）推论２　中的无限点集为有界集的充要条件是：

的任一无限子集必

有聚点．

证　［必要性］当为有界集时，的任一无限子集亦为有界集，由聚点定理直接

推知结论成立．

［充分性］用反证法来证明．倘若为无界集，则必能求得一个点列,

使得．这个作为的一个无限子集不存在聚点，与条件矛盾．故为有界集．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

（２）推论３　中的无限点集为有界闭集的充要条件是：

为列紧集，即

的任一无限子集必有属于的聚点．

证　［必要性］因有界，故的任一无限子集亦有界，由聚点定理，这种无限子集必有聚点．又因子集的聚点也是的聚点，而为闭集，故子集的聚点必属于．

［充分性］由上面（１）的充分性证明，已知必为有界集．下面用反证法再来证明为闭集．

．据题设条件，的惟一聚点应属于，故又导致矛盾．所以的所有聚点都属于，即为闭集．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

７．设．证明：

（１）；

（２）；

　　（３）若为一一映射，则．

证　（１）．若；

若．所以，当．这表示

．

反之，．若；若，于是．这表示，亦即

．

综上，结论得证．

（２）.因且，故

，

即,亦即．

然而此式反过来不一定成立．例如，则有

；

．

可见在一般情形下，．

　　（３），，使．当为

一一映射时，只能是，于是，故得

．

联系（２），便证得当为一一映射时，等式成立．　　　　□

８．设，且

．

证明：

（１）时可逆；

（２）．

证　设

，

．

利用向量函数极限与其分量函数极限的等价形式，知道

．

（１）．

当时，由于，因此由，推知

，即得．

（２）类似地有

　　　　　　　　　□

９．设．试证：

若存在证数，对任何满足

，

则在上连续，且一致连续．

证　这里只需直接证明在上一致连续即可．

，对任何，只要满足，便有

．

由于这里的只与有关，故由一致连续的柯西准则（充分性），证得在上一致连续．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

１０．设．试证：

若在点连续，则在近旁局部有界．

证　由在点连续的定义，对于，，当时，满足

，

所以在近旁局部有界．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

１１．设为连续函数，为任一开集，为任一闭集．试问是否必为开集？

是否必为闭集？

为什么？

解　不一定为开集．例如

．

这里为开集，但却为闭集．

当为有界闭集时，由连续函数的性质知道必为闭集且有界．但当为无界

闭集时，就不一定为闭集，例如

．

这里可看作一闭集，而却为一开集．　　　　　□

１２．设．试举例说明：

（1）仅有，不一定为一压缩映射；

（2）仅有存在，使对任何，满足

，

此时也不一定为一压缩映射．

解　（１）例如．这里为一闭域，它虽然满足，但因，所以不是压缩映射．（注：

这也可根据压缩映射原理来说明，由无解，即没有不动点，故不是压缩映射．）

（2）例如．它虽然满足

，

但因，故此仍不是一个压缩映射．　　　　　　　　　　　□

１３．讨论取怎样的值时，能使下列函数在指定的区间上成为一个压缩映射：

（１）；　　　　（２）；

（３）；　　　（４）．

解　（１）由，可知对任何，在上都不可能是压缩映射．

　　（２）首先，只有当时，才能使

．

其次，由于对任何都有

，

因此只要取，即，就能保证在上为一压缩映射．

（3）由，可知．再由

，

又可求得，即．所以，当取时，就能保证在上为一压缩映射．

（4）由于，因此可由

，

解出（即），．

　　再由，可见只要，就能保证在上为一压缩映射．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

１４．试用不动点方法证明方程在区间上有惟一解；并用迭代法求出这个解（精确到四位有效数字）．

解　若直接取，则因

，

可知在上不是压缩映射．为此把方程改写成，并设

．

由于在上，且

，

所以在上为一压缩映射，且在上有惟一不动点．

取，按迭代计算如下：

所以，方程即的解（精确到四位有效数字）为

　　　　　　　　　　　　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　□

１５．设，其中为一个维闭球（球心为）．试证：

若存在正数，使对一切，都有

，

，

则在中有惟一的不动点．

证　显然，只需证得了，连同条件便知在上为一压缩映射，从而有惟一的不动点．现证明如下：

．由，以及题设条件的两个不等式，得到

这表示，即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

０　

１　

２　

３