八年级下第一单元典型例题讲解一Word文件下载.docx
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,AB=3,AC=5.将△ABC折叠使C与A重合,折痕为DE,求BE的长.
11.(2005•双柏县)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行多少米?
12.(2013秋•兴庆区校级期中)如图所示,小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后,发现下端刚好接触地面.请你求出旗杆的高度.
四.解答题(共3小题)
13.如图,在△ABC中,AD为边BC上的高,AB=13,AD=12,AC=15.求BC的长.
14.(2015秋•丹东期末)在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高多少米?
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,D为斜边的中点,点E、点F分别在直线CA、BC上,且DE⊥DF.
(1)证明:
△DEF是等腰直角三角形;
(2)求证:
EF2=AE2+BF2;
(3)若AE=5,BF=12,求S△CEF的值;
(4)探索S△CEF、S△DEF、S△ABC之间的数量关系.
参考答案与试题解析
【解答】解:
如图,∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°
.
又∵AB=17,BD=15,DC=6,
∴在直角△ABD中,由勾股定理得到:
AD2=AB2﹣BD2=64.
在直角△ACD中,由勾股定理得到:
AC=
=
=10,即AC=10.
故选:
B.
由折叠可得DF=EF,设AF=x,则EF=8﹣x,
∵AF2+AE2=EF2,
∴x2+42=(8﹣x)2,
解得x=3.
A.
3.(2008•临沂)如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E、F,连接CE,则CE的长为
.
EF垂直且平分AC,故AE=EC,AO=CO.
所以△AOE≌△COE.
设CE为x.
则DE=AD﹣x,CD=AB=2.
根据勾股定理可得x2=(3﹣x)2+22
解得CE=
故答案为
4.(2014春•句容市校级期中)如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1和3,则正方形的面积是 10 .
作AM⊥l于M,CN⊥l于N,如图所示:
则∠AMB=∠BNC=90°
,AM=1,CN=3,
∴∠ABM+∠BAM=90°
,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°
,AB=BC,
∴∠ABM+∠CBN=90°
∴∠BAM=∠CBN,
在△ABM和△BCN中,
∴△ABM≌△BCN(AAS),
∴BM=CN=3,
∴AB2=AM2+BM2=12+32=10,
∴正方形ABCD的面积=AB2=10;
故答案为:
10.
∵大正方形的面积=(a+b)2,四个直角三角形的面积和=4×
ab=2ab,中间的正方形的面积=c2∴2ab+c2=(a+b)22ab+c2=a2+b2+2ab
∴c2=a2+b2
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BC=12,AC=16,
∴AB=
=20.
∵CD⊥AB于点D,
∴CD=
=9.6.
【解答】证明:
∵MN⊥AB于N,
∴BN2=BM2﹣MN2,AN2=AM2﹣MN2
∴BN2﹣AN2=BM2﹣AM2,
又∵∠C=90°
∴AM2=AC2+CM2
∴BN2﹣AN2=BM2﹣AC2﹣CM2,
又∵BM=CM,
∴BN2﹣AN2=﹣AC2,
即AN2﹣BN2=AC2.
∵△ACD与△AED关于AD成轴对称,
∴AC=AE=6cm,CD=DE,∠ACD=∠AED=∠DEB=90°
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=62+82=102,
∴AB=10,
BE=AB﹣AE=10﹣6=4,
设CD=DE=xcm,则DB=BC﹣CD=8﹣x,
在Rt△DEB中,由勾股定理,得x2+42=(8﹣x)2,
解得x=3,
即CD=3cm.
由AAS可得△EFC≌△DFA,
∴DF=EF,AF=CF,
设FC=x,则DF=8﹣x,
在RT△ADF中,DF2+AD2=AF2,即(8﹣x)2+16=x2,
解得:
x=5,即CF=5cm,
∴折叠后重合部分的面积=
CF×
AD=10cm2.
∵在Rt△ABC中,∠B=90°
,AB=3,AC=5,
∴BC=
=4,
∵△ADE由△CDE翻折而成,
∴AE=CE,
设BE=x,则AE=4﹣x,
在Rt△ABE中,
AB2+BE2=AE2,即32+x2=(4﹣x)2,解得x=
,即BE=
如图,设大树高为AB=10m,
小树高为CD=4m,
过C点作CE⊥AB于E,则EBDC是矩形,
连接AC,
∴EB=4m,EC=8m,AE=AB﹣EB=10﹣4=6m,
在Rt△AEC中,AC=
=10m,
故小鸟至少飞行10m.
设旗杆的高度为x米,则绳子的长度为(x+1)米,
根据勾股定理可得:
x2+52=(x+1)2,
解得,x=12.
答:
旗杆的高度为12米.
∵AD为边BC上的高,AB=13,AD=12,AC=15,
∴在RT△ABD中由勾股定理可得:
BD=
=5,CD=
=9,
∴BC=BD+CD=14.
14.
由题意知AD+DB=BC+CA,且CA=20米,BC=10米,
设BD=x米,则AD=(30﹣x)米,
∵在Rt△ACD中:
CD2+CA2=AD2,
即(30﹣x)2=(10+x)2+202,
解得x=5,
故树高为CD=10+x=15米
答树高为15米.
【解答】
连接CD,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴CD⊥AB,AD=DB=CD,∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°
∵ED⊥DF,
∴∠CDE+∠CDF=90°
∴∠ADE=∠CDF,
在△ADE与△CDF中,
∴△ADE≌△CDF,
∴DE=DF,
∴△DEF是等腰直角三角形;
(2)延长FD,使DM=DF,连接AM,EM,
在△DFB与△AMD中,
∴△DFB≌△AMD,
∴AM=BF,∠B=∠DAM=45°
∴∠CAD+DAM=90°
∴AE2+AM2=EM2,
∵DE⊥DF,DM=DF,
∴EF=EM,
∴EF2=AE2+BF2;
(3)∵△AED≌△CDF,
∴CF=AE=5,
∴BC=17=AC,
∴BF=CE=12,
∴S△CEF=
=30;
(4)∵△AED≌△CDF,
∴S△ADE=S△CDF,
∵S△ADE+S△CDE=
S△ABC=S△CDF+S△BDF,
∴S△BDF=S△CDE,
∴S△ADE+S△BDF=
S△ABC,
∴S△DEF+S△CEF=
S△ABC.