最优捕鱼策略文档格式.docx
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假设某种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，……，4龄鱼。
各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×
105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。
渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。
如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度。
常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：
1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。
以及对某承包这种鱼捕捞业务的渔业公司，提出最优捕捞策略。
同时提供了一种可再生资源的开发思路与管理模型。
因为通常使用的鱼网只能捕捞3、4龄鱼，所以年收获量（捕捞总重量）是由3、4龄鱼的捕捞条数决定。
由于3、4龄鱼的年捕捞量与其各自的条数成正比（比例系数称为捕捞强度系数ki）,同时按照题意要求：
实现可持续收获，即每年开始捕捞时渔场中3、、4龄鱼各自的条数应该是一个固定不变的量，那末年收获量实质是由捕捞强度系数决定的量，因此可以把本题就转化为约束极值问题。
通常情况下，渔业管理以一年为一个周期，则称“捕捞——产卵”为一个周期（每年的1到8月“捕捞”，后4月“产卵”），为满足可持续收获这一约束条件，可将问题看作多阶段。
又因为上一年产卵成活1龄鱼的多少直接影响这一年2龄鱼的多少，这一年2龄鱼的多少直接影响下一年3龄鱼的多少……即各个阶段的各年龄组鱼群的数量存在必然联系，所以依据这些关系，我们可以从“离散”入手建立一系列的方程，然后在此基础上，利用微分方程处理“连续”的情况，逐步求得最优解。
二、模型的基本假设与符号说明
（一）基本假设
1．渔场是非开放性的，不与其他水域发生关系，或流入和流出的鱼对应相等，鱼类的死亡只分为自然死亡和捕捞；
2．鱼群与其他生物不存在竞争；
或虽存在竞争，而其影响也仅局限在鱼的自然死亡率内；
3．本题已给出了平均的产卵数量，为方便起见，不防不考虑雄性鱼不产卵的情况，将这个平均值平分在每条鱼上。
；
4．3、4龄鱼的捕获仅可在前八个月进行。
5．3、4龄鱼的产卵在八月底完成，卵的孵化要在12月底才完成，完成后存活的鱼在年初成为1龄鱼；
5．假设相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第T年底k龄鱼的条数等于第T年初第k+1龄鱼的条数（k=1，2，3）；
6．存活的k龄鱼每经过一年成长为（k+1）龄鱼（k=1，2，3），而4龄鱼不变。
7．各年龄组的每条鱼的平均重量在最近几年内保持不变。
8．每年的产卵量一定，在最近几年内不会发生变化。
9．每年这些鱼的死亡率不变，并且各年龄给的鱼可以在一年中的任何一个时候死亡。
10．13mm网眼的拉网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，两个的捕捞系数之比在最近几年内不变，为0.42：
1。
11．只有3、4龄鱼才能产卵，1、2龄鱼不能产卵。
12．该渔业公司承包这种鱼的捕捞业务时设定是第一年的年初。
13．该渔业公司的承包此渔场之后，要保证在第六年初鱼群的生产能力不受到太大的破坏。
（二）符号说明
：
第T年初k龄鱼的数量（单位：
条）；
k龄鱼的单位产卵量（单位：
个）；
b：
4龄鱼的单位产卵量（单位：
k龄鱼的捕捞强度系数（单位：
k龄鱼的年死亡率（单位：
1/年）；
k龄鱼的单位平均重量（单位：
克）；
鱼捕获的总重量（单位：
MM：
5年的总收获量；
鱼卵孵化并成活为一龄鱼的成活率；
T：
时间，任意自然数（单位：
年）；
t：
时间，范围在[0，1]（单位：
年）。
三、基本模型的建立
（一）、离散化基本模型
我们把整个过程以年为单位离散化来处理，通过假设使得1、2、3龄组的鱼群可能经不同时间成长变化为2、3、4龄组的鱼群，则根据题意知，
对于1龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼产卵、孵化成活数决定，则，
（1-1）
对于2龄鱼，每年初的条数是由前一年的1龄鱼存活数决定，则，
（1-2）
对于3龄鱼，每年初的条数是由前一年的2龄鱼存活数决定，则，
（1-3）
对于4龄鱼，每年初的条数是由前一年的3龄鱼和4龄鱼的存活数决定，则，
（1-4）
题意要求在“实现可持续捕获”，即每一年初的各年龄组鱼群条数等于前一年的条数，
则建立等式如下：
（1-5）
又因为题目给出3龄鱼和4龄鱼的捕捞强度系数之比为0.42：
1，则
（1-6）
“只能捕获3龄鱼和4龄鱼”，则年收获量等于3、4龄鱼捕获的条数与各自的平均重量乘积的和，建立函数关系为，
（1-7）
要求在“实现可持续捕获”前提下达到最高的捕获量，则可建立以1-1~1-5为约束条件的目标函数表示如下，
（1-8）
（二）连续型基本模型
我们把第T年（这里T为定值）的t时刻（
表示从年初到年末）3、4龄鱼各自的条数
看作t的连续函数。
在
时间内的变化量
，等于它的变化率（假定为α）与
以及
三者的积，由此建立微分方程如下，
（2-1）
年初1龄鱼的数量由前一年各年龄组的鱼的孵化的成活率决定，所以可以得到如下的等式，
（2-2）
显然
的值受到自然死亡率
、捕获强度系数
等的制约，也由它们共同确定。
要实现最大收获量的目标，我们可以建立如下的目标函数，
（2-3）
显然，目标函数受到（2-1）~（2-2）等一系列条件的约束。
三、原问题模型的建立与求解
我们接下来利用连续型模型来解决原问题，在建立相关模型之前我们有必要再作相关假设。
根据相关资料我们可以得知对于某一种鱼，它的产卵期一般仅需较短的时间，所以我们不妨作假设如下：
（1）3、4龄鱼可以在一年的任意时间点死亡，鱼群每年在8月底瞬间产卵完毕，卵在12月底全部孵化完毕。
（2）1、2龄鱼在全年数量只与死亡率有关。
由此可知，各龄鱼的变化满足：
（3-1）
（3-2）
联立（2-2）和（2-3）求解得：
（3-3）
3、4龄鱼的数量在每年的前8个月与死亡率和捕获强度系数有关。
（3-4）
（3-5）
求解得：
（3-6）
由（3-6）不难得到：
（3-7）
3、4龄鱼在每年后四个月不捕捞，其数量仅与死亡率有关，由此可知其变化满足，
（3-8）
根据时间和函数上的连续性，我们很容易可以得到以下的等式：
（3-9）
联立（3-8）和（3-9）解得：
（3-10）
其中：
（3-11）
鱼群每年在8月底瞬间产卵完毕，卵在12月底全部孵化完毕，则不难得到每年的产卵量，可以表示为，
（3-12）
每年初1龄鱼的数量为：
（3-13）
题目已经给出成活率
，联立（3-12）~（3-13）可得，
（3-14）
（一）年度生产最优模型
可持续捕捞要求每年初渔场中各年龄组鱼群条数都一样，既要求x1（0）=x0
（1），x2（0）=x1
（1），x3（0）=x2
（1），x4（0）=x3
（1）。
在这种平衡状态下，捕捞强度就影响年收获量。
要得到最高年收获量，考虑到前面的方程，可以得到以下的优化模型：
（3-15）
用MATLAB编译程序求解得,
附：
求解程序如下：
functionfishing2
x=fminu（'
fishing1'
0,100）,z=-fishing1（x）
functionT=fishing1（x）
n=（122000000000*110700*[0.5*exp（-6.4/3-0.28*x）+exp（-10.4/3-2.84/3*x）]-122000000000）;
A=122000000000*n/（122000000000+n）;
T1=17.86*0.42*x*A/（0.8+0.42*x）*（exp（-1.6）-exp（-6.4/3-0.28*x））;
T2=22.99*x*A/（0.8+x）*（exp（-8.8/3-0.28*x）-exp（-10.4/3-2.84/3*x））;
T=-T1-T2;
xl=[A;
A*exp（-0.8）;
A*exp（-1.6）;
A*exp（-8.8/3-0.28*x）];
x%四龄鱼的捕捞强度系数
n%3,4鱼的产卵总量
xl%1~4龄鱼的数量构成的向量
为了保证渔业的可持续发展，应该使捕捞强度系数不超过值最大值H。
取极限解
得H=31.38606644726694，即要实现可持续发展，首要条件就是要满足h<
H=31.38606644726694，否则不可能实现可持续发展。
求解H的程序如下：
functionfishing3
x0=0;
h=fzero（'
fishing4'
x0）
functionT=fishing4（h）
T=122000000000*110700*[0.5*exp（-6.4/3-0.28*h）+exp（-10.4/3-2.84/3*h）]-122000000000;
（二）承包期总产量最优模型
依照年度生产最优模型的思想，将时间拉长为5年，只需保证在第六年的年初时，各种鱼的数量与第一年年初的数量没有发生太大的变化，由此可得出下面的非线性规划模型：
，通过积分运算得，
（3-16）
用MATLAB编译程序求解得，
承包期结束的之后，即第6年初的产卵并孵化成1龄鱼的数量
鱼的总收获量
functionfisher2
x=fmin（'
fisher'
0,100）,z=-fisher（x）
functionT=fisher（x）
A1=122000000000;
A2=29700000000;
A3=10100000000;
A4=3290000000;
q=122000000000;
s=110900;
n1=s*（1/2*A3*exp（-1.6/3-0.28*x）+A4*exp（-1.6/3-2/3*x））;
B1=n1*q/（q+n1）;
n2=s*（1/2*A2*exp（-4/3-0.28*x）+A3*exp（-4/3-2.84/3*x））;
B2=n2*q/（q+n2）;
n3=s*（1/2*A1*exp（-6.4/3-0.28*x）+A2*exp（-6.4/3-2.84/3*x））;
B3=n3*q/（q+n3）;
n4=s*（1/2*B1*exp（-6.4/3-0.28*x）+A1*exp（-8.8/3-2.84/3*x））;
B4=n4*q/（q+n4）;
n5=s*（1/2*B2*exp（-6.4/3-0.28*x）+B1*exp（-8.8/3-2.84/3*x））;
B5=n5*q/（q+n5）
T1=17.86*0.42*x/（0.8+0.42*x）*[A3*（1-exp（-1.6/3-0.28*x））+A2*（exp（-0.8）-exp（-3/4-0.28*x））+A1*（exp（-1.6）-exp（-6.4/3-0.28*x））+B1*（exp（-1.6）-exp（-6.4/3-0.28*x））+B2*（exp（-1.6）-exp（-6.4/3-0.28*x））];
T2=22.99*x/（0.8+x）*[A4*（1-exp（-1.6/3-2/3*x））+A3*（exp（-0.8-0.28*x））+A2*（exp（-1.6-0.28*x）exp（-6.4/3-2.84/3*x））+A1*（exp（-2.4-0.28*x）-exp（-8.8/3-2.84/3*x））+B1*（exp（-2.4-0.28*x）-exp（8.8/3-2.84/3*x））];
四、优缺点及改进方向
此模型的优点及其推广：
1．给出了两个从不同观点看问题的模型，从离散和连续上对问题进行分析，建立了差分方程和微分方程，易于求解，运用计算机软件进行求解，得到的解准确可靠,误差仅由计算机的精度产生。
2．该模型易用于其它的问题当中，比如，环境保护问题、动物群体的管理、生态经济现象（如伐木）等等。
3．对问题给予了一定的假设，使问题得到了简化。
比如：
将不能繁殖的雄性鱼与雌性鱼混合在一起，平均作为考虑对象。
此模型的缺点：
1．没有考虑其它环境因素对鱼类生存的影响。
2．将鱼的流入与流出之差视为零，并没有考虑这方面对鱼类数量的影响。
3．将5年内的捕捞系数系为不变，这虽然简化了计算，但是同时会带来误差，使得渔业公司也许不能获得更大的收益。
模型的改进方向：
对于模型的缺点3，我们对其进行改进，即：
认为为使渔业公司获得最大的收益，设定每年的捕捞系数不等。
用符号
表示k龄鱼在第T年的捕捞系数（
）
由上述建立的模型可得到修改后的模型如下：
参考文献
[1]寿纪麟.数学建模方法与范例.西安交通大学出版社,1993.12
[2]徐全智等.数学建模入门.四川电子科技大学出版社,1996年
[3]寿纪麟.数学建模——方法与范例.西安交通大学出版社,1993年
[4]李本亭.《海洋世界》,1997年第1期
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