中考一轮复习数学函数小专题二次函数根与系数的关系二文档格式.docx

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，与x轴的一个交点A（﹣

，0），抛物线的顶点B纵坐标1＜yB＜2，则以下结论：

①abc＜0；

②b2﹣4ac＞0；

③3a﹣b＝0；

④4a+c＜0；

⑤﹣

，其中正确结论的个数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：

②b﹣a＞c；

③4a+2b+c＞0；

④3a＞c；

⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的有（　　）

A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤

11．已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：

②b2﹣4ac＝0；

③a＞2；

④ax2+bx+c＝﹣2的根为x1＝x2＝﹣1；

⑤若点B（﹣

，y1）、C（﹣

，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2．其中正确的个数是（　　）

12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：

②4a+2b+c＞0；

③

＜a＜

；

④b＞c．其中含所有正确结论的选项是（　　）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④

13．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

②a+b+c＝2；

④a＜

⑤b＞1，其中正确结论有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

14．如图所示，抛物线L：

y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝5，且与x轴的左交点为（1，0），则下列说法正确的有（　　）

①C（9，0）；

②b+c＞﹣10；

③y的最大值为﹣16a；

④若该抛物线与直线y＝8有公共交点，则a的取值范围是a≤

．

A．①②③④B．①②③C．①③④D．①④

15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，则下列四个结论错误的是（　　）

A．c＞0B．2a+b＝0C．a﹣b+c＞0D．b2﹣4ac＞0

16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：

②4ac＜b2；

③2a+b＞0；

④其顶点坐标为（

，﹣2）；

⑤当x＜

时，y随x的增大而减小；

⑥a+b+c＞0中正确的有（　　）

A．3个B．4个C．5个D．6个

17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x＝2，下列结论：

②4a+b＝0；

③若点A坐标为（﹣1，0），则线段AB＝5；

④若点M（x1，y1），N（x2，y2）在该函数图象上，且满足0＜x1＜1，2＜x2＜3，则y1＜y2，其中正确结论的序号为（　　）

A．①，②B．②，③C．③，④D．②，④

18．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，①abc＞0；

②a+b+c＜0；

③4a﹣2b+c＜0；

④4ac﹣b2＜0，其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③B．①③C．②④D．③④

19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论：

①b＞0；

②a﹣b+c＜0；

③阴影部分的面积为4；

④若c＝﹣1，则b2＝4a．其中正确的个数为（　　）

20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论中正确的有（　　）

①4ac＜b2

②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3

③3a+c＞0

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3

A．①②B．①②③C．①③④D．②④

参考答案

1．解：

①∵抛物线开口向下，

∴a＜0，结论①正确；

②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，

∴﹣

＝﹣1，

∴b＝2a＜0，结论②错误；

③∵抛物线与x轴有两个交点，

∴△＝b2﹣4ac＞0，结论③正确；

④∵当x＝1时，y＜0，

∴a+b+c＜0，结论④正确．

故选：

C．

2．解：

∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，

∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，

∵抛物线的对称轴为x＝2，

∴

，即x1+x2＝4，

由图象可知，﹣1＜x1＜0，

∴﹣1＜4﹣x2＜0，

解得：

4＜x2＜5，故选项A正确；

x1＜x2，观察图象可知，故选项B错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误；

由对称轴可知x1+x2＝4，故选项D错误．

A．

3．解：

由图象可得，

a＜0，b＞0，c＞0，

∴abc＜0，故①错误，

﹣

＝1，则b＝﹣2a，故2a+b＝0，故②正确；

抛物线与直线y＝2有两个交点，故方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，故③正确；

∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x＝1，

∴该抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），

∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，故④正确；

∵当x＝1时，该函数取得最大值，此时y＝a+b+c，

∴点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确；

D．

4．解：

（A）（﹣1，0）与（3，0）关于直线x＝1，

＝1，

∴2a+b＝0，故A错误；

（B）∵抛物线过（3，0），

∴令x＝3，y＝9a+3b+c＝0，

故B正确；

（C）由图象可知：

﹣1≤x≤3，

∴y≤0，故C错误；

（D）当x1＜x2≤1时，

∴y1＞y2，故D错误；

B．

5．解：

①如图所示，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，

故①正确；

②如图所示，对称轴x＝﹣

＝1，则2a+b＝0．

故②正确；

③如图所示，当x＝1时，y＜0，即：

a+b+c＜0．

故③正确；

④如图所示，抛物线与x轴有两个不同的交点，则b2﹣4ac＞0．

故④错误．

综上所述，正确的结论有3个．

6．解：

①∵二次函数图象的开口向下，

∴a＜0，

∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，

＞0，

∴b＞0，

∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴c＞0，

∴abc＜0，故①错误；

②∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，故②正确；

③∵a﹣b+c＝0，∴b＝a+c．

由图可知，x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，

∴a+a+c+c＞0，

∴2a+2c＞0，∴a+c＞0，故③正确；

④∵a﹣b+c＝0，∴b＝a+c．

由图可知，x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，

∴4a+2（a+c）+c＜0，

∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故④正确．

7．解：

A、抛物线开口向上，则a＞0，所以A选项错误；

B、对称轴在y轴右侧，x＝﹣

＞0，则b＜0，所以B选项错误；

C、当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以C选项错误；

D、当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，所以D选项正确．

8．解：

①由图象可知：

a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；

②由于a＜0，所以﹣2a＞0．

又b＞0，

所以b﹣2a＞0，

故②错误；

③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误；

④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，

而当x＝n时，y＝an2+bn+c，

所以a+b+c＞an2+bn+c，

故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故④正确；

⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x＝﹣

＝1，即a＝﹣

，代入得9（﹣

）+3b+c＜0，得2c＜3b，故⑤正确；

故④⑤正确．

9．解：

a＜0，c＞0，

对称轴x＝

∴abc＜0，故①正确；

②抛物线与x轴有两个交点，

∴△＝b2﹣4ac＞0，故②正确；

③由对称轴可知：

x＝

＝

，

∴b+3a＝0，故③错误；

④由图可知：

x＝﹣1，y＜0，

∴a﹣b+c＝a+3a+c＝4a+c＜0，故④正确；

⑤由题意可知：

，1＜y＜2，

即1＜

+

b+c＜2，

∵抛物线与x轴的一个交点A（﹣

，0），

a﹣

b+c＝0，

∵b＝﹣3a，

∴c＝

∴1＜

＜2，

，故⑤错误；

10．解：

①∵对称轴在y轴的右侧，

∴ab＜0，

由图象可知：

c＞0，

∴abc＜0，

故①不正确；

②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，

∴b﹣a＞c，

③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，

④∵x＝﹣

∴b＝﹣2a，

∵a﹣b+c＜0，

∴a+2a+c＜0，

3a＜﹣c，

故④不正确；

⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，

而当x＝m时，y＝am2+bm+c，

所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），

故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），

故⑤正确．

故②③⑤正确．

11．解：

①由抛物线的对称轴可知：

＜0，

∴ab＞0，

由抛物线与y轴的交点可知：

c+2＞2，

∴abc＞0，故①正确；

②抛物线与x轴只有一个交点，

∴△＝0，

∴b2﹣4a（c+2）＝0，

即b2﹣4ac＝8a＞0，故②错误；

③令x＝﹣1，

∴y＝a﹣b+c+2＝0，

∵

∴b＝2a，

∴a﹣2a+c+2＝0，

∴a＝c+2，

∵c+2＞2，

∴a＞2，故③正确；

④由图象可知：

令y＝0，

即0＝ax2+bx+c+2的解为x1＝x2＝﹣1，

∴ax2+bx+c＝﹣2的根为x1＝x2＝﹣1，故④正确；

⑤∵﹣1＜

＜

∴y1＞y2，故⑤正确；

12．解：

①∵函数开口方向向上，

∴a＞0；

∵对称轴在y轴右侧

∴a、b异号，

∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，

②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，

∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），

∴当x＝2时，y＜0，

∴4a+2b+c＜0，

③∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，

∴﹣2＜c＜﹣1

∵图象与x轴交于点A（﹣1，0）和（3，0），

∴ax2+bx+c＝0的两根为﹣1和3，

∴﹣3＝

∴c＝﹣3a，

∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，

＞a＞

④∵对称轴为直线x＝﹣

∵a＞0，c＝﹣3a，

∴b＞c；

故④正确．

综上所述，正确的有①③④，

13．解：

∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上可得a＞0，交y轴于负半轴可得c＜0，由﹣

＜0，可得b＞0，

∵当x＝1时，y＝2，

∴a+b+c＝2；

故②正确，

∴b2﹣4ac＞0；

故③正确，

∵由图可知，当x＝﹣1时，对应的点在第三象限，将x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c，得a﹣b+c＜0

∴将a﹣b+c＜0与a+b+c＝2相减，得﹣2b＜﹣2，即b＞1，故⑤正确，

∵对称轴x＝﹣

＞﹣1，解得：

a＞

又∵b＞1，

∴a＞

，故④错误．

综上所述，正确的说法是：

②③⑤；

14．解：

∵抛物线L：

y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝5，且与x轴的左交点为（1，0）

∴抛物线L与x轴的交点C为（9，0）

∵抛物线L与x轴的左交点为（1，0）

∴a+b+c＝0

∴b+c＝﹣a＞0＞﹣10

y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝5

＝5，即b＝﹣10a

又∵a+b+c＝0

∴c＝9a

＝﹣16a

若该抛物线与直线y＝8有公共交点，则有8≤﹣16a，

∴a≤﹣

15．解：

A项，由抛物线的函数图象可知，该函数与y轴的交点位于y轴正半轴，故c＞0，故A项表述正确．

B项，抛物线可得对称轴为x＝﹣

＝1，故2a+b＝0，故B项表述正确．

C项，由抛物线可得当x＝﹣1时，y＜0，故a﹣b+c＜0，故C项表述错误

D项，根据函数图象可得抛物线与x轴有两个交点，可知△＝b2﹣4ac＞0，故D项表述正确．

16．解：

①由图象开口可知：

a＞0，c＜0，

∴b＜0，

②由图象可知：

△＞0，

∴b2﹣4ac＞0，

∴b2＞4ac，故②正确；

③抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），

∴抛物线的对称轴为：

＜1，

∴2a+b＞0，

④由图象可知顶点坐标的纵坐标小于﹣2，

故④错误；

⑤由③可知抛物线的对称轴为x＝

∴由图象可知：

x＜

时，y随着x的增大而减小，

故⑤正确；

⑥由图象可知：

x＝1时，y＜0，

∴a+b+c＜0，

故⑥错误；

17．解：

开口向下，故a＜0，

抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0，

∵对称轴为x＝2，

＝2，

∴b＝﹣4a，

∴4a+b＝0，故②正确；

点A坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝2，

∴对称点B（5，0），

∴AB＝6，故③正错误；

点M（x1，y1），N（x2，y2）在该函数图象上，且满足0＜x1＜1，2＜x2＜3，

∵对称轴x＝2，

∴点M距离对称轴远，

∴y1＜y2，故④正确

18．解：

当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故②错误；

当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故③正确；

函数图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故4ac﹣b2＜0，故④正确，

19．解：

∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

又∵对称轴为x＝﹣

∴结论①不正确；

∵x＝﹣1时，y＞0，

∴a﹣b+c＞0，

∴结论②不正确；

∵抛物线向右平移了2个单位，

∴平行四边形的底是2，

∵函数y＝ax2+bx+c的最小值是y＝﹣2，

∴平行四边形的高是2，

∴阴影部分的面积是：

2×

2＝4，

∴结论③正确；

＝﹣2，c＝﹣1，

∴b2＝4a，

∴结论④正确．

综上，结论正确的是：

③④，共2个，

20．解：

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），

∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；

∵x＝﹣

＝1，即b＝﹣2a，

而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，

∴a+2a+c＝0，

∴3a+c＝0，即a＝﹣

，所以③错误；

∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），

∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误．