数学华师版八年级上册第13章全等三角形整合提升密码Word文档格式.docx

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加倍折半法

5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°

，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．

截长补短法

6．如图所示，AB∥CD，BE、CE分别为∠ABC、∠BCD的平分线，点E在AD上．

BC＝AB＋CD.

专训三：

分类讨论思想在等腰三角形中的应用

分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：

先分类，再画图，后计算．

当顶角和底角不确定时，分类讨论

1．若等腰三角形中有一个角等于40°

，则这个等腰三角形的顶角度数为（　　）

A．40°

　　B．100°

　　C．40°

或70°

　　D．40°

或100°

2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝

BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为（　　）

A．45°

　　B．75°

　　C．45°

或75°

　　D．65°

3．若等腰三角形的一个外角为64°

，则底角的度数为________．

当底和腰不确定时，分类讨论

4．（2015·

荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（　　）

A．8或10　　B．8　　C．10　　D．6或12

5．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．

6．若实数x，y满足|x－5|＋（10－y）2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．

当高的位置关系不确定时，分类讨论

7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°

，求这个三角形的各个内角的度数．

由腰的垂直平分线引起的分类讨论

8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°

，求∠B的度数．

由腰上的中线引起的分类讨论

9．等腰三角形ABC的底边BC长为5cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3cm的两部分．求腰长．

点的位置不确定引起的分类讨论

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）

（第10题）

A．7个B．6个C．5个D．4个

11．如图，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°

，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．

（第11题）

专训四：

三角形中常见的热门考点

本章主要学习了互逆命题与互逆定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形，线段垂直平分线与角平分线等常见的轴对称图形的性质与判定．本章的考点较多，也是中考的重点考查内容．

互逆命题、基本事实、互逆定理

1．下列命题是真命题的是（　　）

A．无限小数是无理数

B．相反数等于它本身的数是0和1

C．对顶角相等

D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

2．下列命题及其逆命题是互逆定理的是（　　）

A．全等三角形的对应角相等

B．若两个角都是直角，则它们相等

C．同位角相等，两直线平行

D．若a＝b，则|a|＝|b|

全等三角形的性质与判定

3．如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°

，AB＝DC，那么图中的全等三角形有（　　）

A．3对　　　B．2对　　　C．1对　　　D．0对

4．如图，在△ABC中，AC＝5，F是高AD和BE的交点，AD＝BD，则BF的长是（　　）

A．7B．6C．5D．4

5．（2015·

杭州）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：

DM＝DN.

等腰三角形的判定与性质

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：

（1）∠DEF＝∠DFE；

（2）AE＝AF；

（3）DA平分∠EDF；

（4）AD垂直平分EF.其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

（第7题）

（第8题）

7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°

，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．

8．如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N.若AB＝6cm，AC＝9cm，则△AMN的周长为________．

9．（中考·

淄博）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.

AB＝AD.

（第9题）

尺规作图

10．如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法如下：

（1）作线段BC＝a；

（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；

（3）在直线MN上截取线段h；

（4）连接AB，AC.

△ABC即为所要求作的等腰三角形．

上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（　　）

A．

（1）B．

（2）C．（3）D．（4）

线段垂直平分线与角平分线

11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°

，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，则下列结论错误的是（　　）

A．BD平分∠ABC

B．△BCD的周长等于AB＋BC

C．AD＝BD＝BC

D．点D是线段AC的中点

（第12题）

12．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°

，那么∠CAB的大小是（　　）

A．80°

B．50°

C．40°

D．20°

13．如图，已知C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，点B，D分别在AM，AN上，且AE＝

（AD＋AB）．问：

∠1和∠2有何关系？

并说明理由．

（第13题）

思想方法

a．分类讨论思想

14．等腰三角形的一个外角等于110°

，则这个三角形的顶角度数为________．

15．（2014·

安顺）已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足

＋（2a＋3b－13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）

A．7或8B．6或10

C．6或7D．7或10

b．方程思想

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．

（第16题）

c．转化思想

17．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E，求证：

BE＝

（AC－AB）．

（第17题）

答案

专训一

1．证明：

连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴∠EAD＝∠FAD.

在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（S.A.S.）．

∴DE＝DF.

2．证明：

过点C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则CG∥AB，

∴∠BAF＝∠G.

又∵AF⊥BD，AC⊥CG，

∴∠BAF＋∠ABF＝90°

，∠CAG＋∠G＝90°

.

∴∠ABF＝∠CAG.

在△ABD和△CAG中，

∴△ABD≌△CAG（A.S.A.）．

∴AD＝CG，∠ADB＝∠G.

又∵D为AC的中点，∴AD＝CD，∴CD＝CG.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

又∵AB∥CG，∴∠ABC＝∠GCE.

∴∠ACB＝∠GCE.又∵CE＝CE，∴△CDE≌△CGE（S.A.S.）．

∴∠G＝∠CDE.

∴∠ADB＝∠CDE.

　（第3题）

3．证明：

如图，连接ED，FD.∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C.在△BDE和△CFD中，

∴△BDE≌△CFD（S.A.S.）．

又∵点G是EF的中点，∴DG⊥EF.

4．证明：

∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°

，

又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH.

在△BCE和△AHE中，

∴△BCE≌△AHE（A.S.A.）．

∴AH＝BC.

又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，

∴AH＝2BD.

5．证明：

如图，延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E.

∵∠ABC＝2∠C＝2∠E，∴∠E＝∠C，∴AE＝AC.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.

∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.

又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，

∴∠EAD＝∠EDA.

∴AE＝DE.

∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.

6．证明：

如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE.

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.

在△AEP和△ACP中，

∴△AEP≌△ACP（S.A.S.），∴PE＝PC.

在△PBE中，BE＞PB－PE，∴AB－AC＞PB－PC.

专训二

如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.

∵∠ACB＝90°

，∴∠2＋∠ACF＝90°

∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°

，∴∠1＋∠ACF＝180°

－∠AEC＝180°

－90°

＝90°

∴∠1＝∠2.

在△ACD和△CBG中，

∴△ACD≌△CBG（A.S.A.）．

∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.

∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.

又∵∠DBG＝90°

，∠DBF＝45°

∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°

－45°

＝45°

.∴∠DBF＝∠GBF.

在△BDF和△BGF中，

∴△BDF≌△BGF（S.A.S.）．

∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.

点拨：

本题运用了构造基本图形法，通过作辅助线构造△CBG、△BGF是解题的关键．

如图，延长AD交BC于点F.（相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE）

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.

∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°

在△ABD和△FBD中，

∴△ABD≌△FBD（A.S.A.）．

∴∠2＝∠DFB.

又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.

3．解：

如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.

∵∠ABE＝90°

，∠D＝90°

，∴∠ABH＝∠D＝90°

在△ABH和△ADF中，

∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.

∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°

∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.

在△AEH和△AEF中，

∴△AEH≌△AEF.∴∠EAH＝∠EAF.

∴∠EAF＝

∠HAF＝45°

图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°

，使AD边与AB边重合，得到△ABH.

过点O作OD∥BC交AB于点D，∴∠ADO＝∠ABC.

∵∠BAC＝60°

，∴∠ABC＝80°

∴∠ADO＝80°

∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°

∴∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°

∴∠ADO＝∠AQB.

易知∠DAO＝∠QAO，OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.

∴OD＝OQ，AD＝AQ.

∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB，

又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.

∴BD＝OD.∴BD＝OQ.

，∠ABC＝80°

，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，

∴∠BAP＝30°

，∠ABQ＝40°

，∴∠BOP＝70°

∵∠BAP＝30°

，∴∠APB＝70°

∴∠BOP＝∠APB，∴BO＝BP.

∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝BQ＋AQ.

5．解：

在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝CD，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.故设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x，∴∠B＝2x，∠BAE＝180°

－2x－2x＝180°

－4x.∵∠BAC＝120°

，∴∠BAE＋∠EAC＝120°

，即180°

－4x＋x＝120°

，解得x＝20°

，则∠C＝20°

6．证法一：

用截长法，如图①所示，在BC上截取BF＝AB，连接EF.

因为BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，

所以∠ABE＝∠FBE，∠FCE＝∠DCE.

在△ABE和△FBE中，

因为

所以△ABE≌△FBE.

所以∠A＝∠EFB.

因为AB∥CD，

所以∠A＋∠D＝180°

因为∠BFE＋∠EFC＝180°

所以∠EFC＝∠D.

在△EFC和△EDC中，

所以△EFC≌△EDC.

所以FC＝DC.

所以BC＝BF＋FC＝AB＋CD.

证法二：

用补短法，如图②所示，延长BE交CD的延长线于点G.

所以∠ABE＝∠G.

因为BE平分∠ABC，

所以∠ABE＝∠CBE.

所以∠CBE＝∠G.

因为CE平分∠BCD，

所以∠BCE＝∠GCE.

在△BEC和△GEC中，

所以△BEC≌△GEC.

所以BC＝GC，BE＝GE.

在△ABE和△DGE中，

所以△ABE≌△DGE.

所以AB＝DG.

所以BC＝CG＝GD＋DC＝AB＋CD.

专训三

1．D　2.C　3.32°

4．C　5.23或25　6.25

7．解：

设等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D.

（1）当高与底边的夹角为25°

时，高一定在△ABC的内部，如图①，∵∠DBC＝25°

，∴∠C＝90°

－∠DBC＝90°

－25°

＝65°

，∴∠ABC＝∠C＝65°

，∠A＝180°

－2×

65°

＝50°

（2）当高与另一腰的夹角为25°

时，

如图②，高在△ABC的内部时，

∵∠ABD＝25°

，∴∠A＝90°

－∠ABD＝65°

∴∠C＝∠ABC＝（180°

－∠A）÷

2＝57.5°

；

如图③，高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°

∴∠BAD＝90°

－∠ABD＝90°

∴∠BAC＝180°

－65°

＝115°

∴∠ABC＝∠C＝（180°

－115°

）÷

2＝32.5°

故三角形各内角的度数为：

，65°

，50°

或65°

，57.5°

或115°

，32.5°

由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．

8．解：

此题分两种情况：

（1）如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°

，则∠A＝50°

∵AB＝AC，∴∠B＝（180°

－50°

2＝65°

（2）如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°

，则∠DAE＝50°

，∴∠BAC＝130°

－130°

2＝25°

故∠B的大小为65°

或25°

9．解：

∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD.

（1）当（AB＋AD）－（BC＋CD）＝3cm时，则AB－BC＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝8cm；

（2）当（BC＋CD）－（AB＋AD）＝3cm时，则BC－AB＝3cm，

∵BC＝5cm，∴AB＝2cm；

但是当AB＝2cm时，三边长为2cm，2cm，5cm，而2＋2＜5，不符合三角形三边关系，故舍去，故腰长为8cm.

10．B

11．解：

（1）当点D，E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，

∵BE＝BC，∴∠BEC＝（180°

－∠ABC）÷

2，

∵AD＝AC，∴∠ADC＝（180°

－∠DAC）÷

2＝∠BAC÷

∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，

∴∠DCE＝（180°

2－∠BAC÷

2＝（180°

－∠ABC－∠BAC）÷

2＝∠ACB÷

2＝40°

÷

2＝20°

（2）当点D，E在点A的同侧，且点D在D′的位置，点E在E′的位置时，如图②，

与

（1）类似地可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷

（3）当点D，E在点A的两侧，且点E在E′的位置时，如图③，

∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝（180°

－∠CBE′）÷

2＝∠ABC÷

又∵∠DCE′＝180°

－（∠BE′C＋∠ADC），

∴∠DCE′＝180°

－（∠ABC＋∠BAC）÷

2＝180°

－（180°

－∠ACB）÷

2＝90°

＋∠ACB÷

＋40°

2＝110°

（4）当点D，E在点A的两侧，且点D在D′的位置时，如图④，

∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝（180°

－∠BAC）÷

∴∠D′CE＝180°

－（∠D′EC＋∠ED′C）＝180°

－（∠BEC＋∠AD′C）＝180°

－[（180°

2＋（180°

2]＝（∠BAC＋∠ABC）÷

－40°

2＝70°

.综上所述，∠DCE的度数为20°

或110°

专训四

1．C　2.C　3.A　4.C

∵AM＝2MB，AN＝2NC，

∴AM＝

AB，AN＝

AC.

又∵AB＝AC，∴AM＝AN.

∵AD平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD.

又∵AD＝AD，∴△AMD≌△AND（S.A.S.）．

∴DM＝DN.

6．D　7.3　8.15cm

9．证明：

∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.

又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD.

10．C　11.D　12.D

13．解：

∠1与∠2互补．理由：

作CF⊥AN于F（如图），

∵AC平分∠MAN，∴∠3＝∠4，又∵CE⊥AM，CF⊥AN，

∴CF＝CE，∠CFA＝∠CEA＝90°

∴Rt△ACF≌Rt△ACE，

∴AF＝AE.

∵AE＝

（AD＋AB）＝

（AF－DF＋AE＋BE）＝AE＋

（BE－DF），

∴BE－DF＝0，∴BE＝DF，又CE＝CF，∠CEB＝∠CFD，

∴△DFC≌△BEC（S.A.S.），∴∠5＝∠2，

∵∠1＋∠5＝180°

∴∠1＋∠2＝180°

.即∠1与∠2互补．

14．70°

或40°

　点拨：

本题运用了分类讨论思想，将已知条件外角等于110°

分为底角处的外角和顶角处的外角两种情况进行讨论，解题时要防止漏解．

15．A　点拨：

∵

＋（2a＋3b－13）2＝0，

∴

解得

当a为底边长时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；

当b为底边长时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7.

综上所述，此等腰三角形的周长为7或8.

16．解：

设∠ABD的度数为x.∵AD＝DE＝EB，∴∠A＝∠AED＝2∠ABD＝2x.∵BC＝BD，∴∠C＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝3x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x.∴∠A＋∠C＋∠ABC＝8x＝180°

∴x＝22.5°

.∴∠A＝2x＝45°

17．证明：

如图，延长BE交AC于F.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠FAE.

　（第17题）

在△ABE和△AFE中，

∴△ABE≌△AFE（A.S.A.）．

∴∠ABF＝∠AFB，BE＝FE，AB＝AF.∴BE＝

BF.∠ABC＝∠ABF＋∠FBC＝∠AFB＋∠FBC＝∠C＋∠FBC＋∠FBC＝∠C＋2∠FBC，又∵∠ABC＝3∠C，∴3∠C＝∠C＋2∠FBC.

∴∠C＝∠FBC.∴BF＝CF.∴BE＝

CF.

∵CF＝AC－AF＝AC－AB，∴BE＝

本题运用了转化思想，通过添加辅助线构造等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质将AC与AB的差转化为AC与AF的差是解题的关键．