整理第四章一元函数积分学导学.docx

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整理第四章一元函数积分学导学

第四章一元函数积分学导学

一、

学习要求

1、理解原函数与不定积分概念，弄清两者之间的关系。

会求当曲线的切线斜率已知时，满足一定条件的曲线方程。

知道不定积分与导数（微分）之间的关系。

了解定积分的定义设f（x）在[a,b]上连续，存在F（x）使得F‘（x）=f（x），则

2、熟记积分基本公式，熟练掌握不定积分的直接积分法。

了解不定积分和定积分的性质，尤其是：

3、熟练掌握第一换元积分法（凑微分法）

注意：

不定积分换元，要还原回原变量的函数；定积分换元，一定要换上、下限，直接计算其值。

4、熟练掌握分部积分法。

分部积分公式为：

会求被积函数是以下类型的不定积分和定积分

（1）幂函数与指数函数相乘。

（2）幂函数与对数函数相乘。

（3）幂函数与正（余）弦函数相乘。

5、知道无穷限积分的收敛性，会求无穷限积分。

6、知道变上限定积分概念，知道是f（x）的原函数，即

7、记住奇偶函数在对称区间上的定积分性质，即

（1）若f（x）是奇函数，则有

（2）若f（x）是偶函数，则有

本章重点

不定积分、原函数概念，积分的计算

二、学习方法看例子、尝试做、不懂就问

三、学习内容

（一）、原函数概念

定义一：

设f（x）是定义在区间D上的函数，若存在函数F（x）对任何x∈D,都有F（x）’=f（x）（或df（x）=f（x）dx）

则称F（x）为f（x）在区间D上的原函数（简称为f（x）的原函数）

如:

已知函数f（x）=sinx

函数F1（x）=-cosx和F2（x）=-cosx+2都是f（x）=sinx的原函数。

∵（C’）=0,∴F（x）=-cosx+C都是f（x）=sinx的原函数

注：

一个函数的原函数若存在，则有无数个。

定理1，若F（x）是f（x）在某区间上的原函数，则F（x）+C（C为任意常数）包含了f（x）的全体原函数。

如：

在任一点x处切线斜率为2x的曲线方程是y=x2+c

2、不定积分的定义

定义2，对于某区间D上的函数f（x），若存在原函数，则称f（x）为可积函数，并将f（x）的全体原函数记为

∫f（x）dx

称它是函数f（x）的不定积分,其中f（x）是被积函数,x是积分变量,∫是积分符号。

若F（x）是f（x）的一个原函数，则f（x）的不定积分为

∫f（x）dx=F（x）+C（C称为积分常数）

注:

（1）积分号∫表示对函数f（x）实行求原函数的运算,即要找出导函数等于已知函数f（x）的（原）函数F（x）+C

（2）x是积分变量,它与用什么字母表示无关,所以式中将x换成u仍成立,即

∫f（u）du=F（u）+C（C为积分常数）

（3）“求一个已知函数f（x）的全体原函数”可表示为:

∫f（x）dx=F（x）+C

（4）求一个已知函数f（x）的全体原函数的方法为:

①先求一个原函数F（x）即F’（x）=f（x）

②再由式即可求出全体原函数.

例1、已知曲线y=F（x）在任一点x处的切线斜率为2x，且曲线过（1,2）点，求此曲线方程：

解：

由导数的几何意义知：

k=F’（x）=2x

∵（x2）’=2x∴F（x）=x2是2x的一个原函数。

∴y=∫2xdx=x2+c

又曲线过（1,2）点,把x=1,x=2代入上式得

2=12+C即C=1

所以,所求曲线方程为:

y=x2+1

例2经过调查发现,某产品的边际成本可由下列函数给出2q+3某中,q是产量数,已知生产的固定成本为2,求生产成本函数。

解：

设所求生产成本函数为C（q），由题知：

C’（q）=2q+3

∵（q2+3q）’=2q+3

∴F（q）=q2+3q是2q+3的一个原函数

∴C（q）=∫（2q+3）dq=q2+3q+c0（c0是积分常数）

由已知生产的固定成本为2,即生产是q=0时,成本是2,代入上式,得

C（0）=02+3·0+C0=3得C0=2

所以,生产成本函数为:

C（q）=q2+3q+2

（二）、积分基本公式

1、不定积分与导数（微分）之间的关系

2、导数基本公式积分基本公式

注：

上述积分公式中x可以换成u

（三）、基本积分法

1、不定积分的性质

性质1：

两个函数之和（差）的不定积分，等于它们的不定积分之和（差）即

性质2：

在求不定积分时，非0常数因子可以提到积分号外面。

即

2、直接积分法：

得用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。

举例：

书P155～157

例1：

求下列不定积分

例2、某商场销售商品的边际收入是64q-q2（万元/千件）某中q是销领带量（千件），求收入函数及收入最大时的销售量。

解：

设收入函数为R（q），由题知R’（q）=64q-q2

得

由q=0,R（q）=0,知，C=0

因此，所求收入函数为

收入最大时的销售量是使

的q值，得q=64（q=0舍去）所以获得最大收入时的销售量为64（千件）

3、凑微分法（第一换元法）

由

应将微分dx凑成

使变量x改为3x，即

应将微分dx凑成

使变量一致变为3x-1，

即

一般地，凑微分法是先将∫f（x）dx中的f（x）dx凑成微分形式（可统一变量的微分形式）

亦即第一换元法。

注：

关键是将f（x）凑成f1（u（x））·u’（x）且∫f1（u（x））u’（x）dx可利用积分基本公式积出。

书P158～159

注：

关键是将f（x）凑成f1（u（x））·u’（x）且∫f1（u（x）u’（x）dx）可利用积分基本公式积出.

书P158～159

例3:

求下列不定积分:

解:

（1）用凑微分法及积分基本公式

（2）用凑微分法及积分基本公式

（3）用凑微分法及积分基本公式

（4）凑微分法及积分基本公式

4、分部积分法

（1）分部积分公式

定理4.2设u（x），v（x）是可微函数，则有

∫u（x）·v’（x）dx=u（x）v（x）-∫u’（x）·v（x）dx

注:

①分部积分公式简写为∫udv=uv-∫vdu

②分部积分关键是:

a:

被积函数f（x）可以写成u（x）v’（x）的特殊乘积形式;

b:

等式右边的积分∫u’（x）v（x）dx容易计算出结果。

③1）若f（x）是幂函数乘以ex或sinx、cosx常选择幂函数为u（x），把ex、sinx、cosx写成v’（x）形式。

2）若f（x）是幂函数乘以lnx,常选择lnx为u（x），把幂函数写成v’（x）形式。

3）若f（x）是ex乘以sinx、cosx、u（x）、v’（x）可以任意选取。

如：

求下列不定积分

解：

（2）分部积分的列表法：

自学

四、重难点解析

（一）、原函数与不定积分的概念

若F（x）的导数为f（x），即,则F（x）是f（x）的一个原函数，且原函数具有下列性质：

若F（x）是f（x）是一个原函数，则F（x）+C仍是f（x）的原函数，其中C为任意常数。

若f（x）有原函数存在，则有无穷多个，且任意两原函数之间仅相差一个常数。

求已知函数的不定积分即为求已知函数的全体原函数。

（2）建设项目周围环境的现状。

二、不定积分的性质

1、与求导（求微分）为互逆运算

专项规划工业、农业、畜牧业、林业、能源、水利、交通、城市建设、旅游、自然资源开发有关的专项规划。

环境影响报告书

2、运算性质

除了房地产市场外，在不同职业和地点的工资差别中也可以发现类似的情形。

其中k1,k2是任意实数。

3、积分基本公式

[答疑编号502334050102]正如导数公式是求导运算的基础一样，积分基本公式是积分运算的基础，在积分中无论采取怎样的方法进行计算，归根结底还是要设法利用积分基本公式求得最后的结果，可见，积分基本公式在积分计算中的重要，必须熟记并熟练使用。

2.规划环境影响报告书的审查内容4、积分计算

4.建设项目环境影响评价文件的分级审批因为对于定积分只需先求得相应的不定积分;再利用N—L公式求定积分。

1.规划环境影响评价的技术依据

五、练习

按照国家规定实行审批制的建设项目，建设单位应当在报送可行性研究报告前报批环境影响评价文件。

按照国家规定实行核准制的建设项目，建设单位应当在提交项目申请报告前报批环境影响评价文件。

按照国家规定实行备案制的建设项目，建设单位应当在办理备案手续后和开工前报批环境影响评价文件。

1、已知

影响支付意愿的因素有：

收入、替代品价格、年龄、教育、个人独特偏好以及对该环境物品的了解程度等。

2、计算

（三）环境标准和环境影响评价技术导则3、计算

4、

设总成本函数C（x）=2x2+10x+100（万元），边际收入R'（x）=60-x（万元/百台）

求

（1）收入函数

（2）最大利润产量

（3）最大利润

（4）从最大利润产量再生产2（百台）时，利润的改变量。