近世代数复习提纲.doc
《近世代数复习提纲.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《近世代数复习提纲.doc(9页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
近世代数复习提纲
群论部分
一、基本概念
1、群的定义(四个等价定义)
2、基本性质
(1)单位元的唯一性;
(2)逆元的唯一性;
(3);
(4);
(5);。
3、元素的阶
使成立的最小正整数叫做元素的阶,记作;若这样的正整数不存在,则称的阶是无限的,记作。
(1)。
(2)若,则
①;
②由可得。
(3)当群是有限群时,,有且。
(4),其中。
证明设。
因为,所以。
另一方面,因为,所以,从而,又,所以,故。
注:
1°,但若,且,则有(P70.3)。
2°;但。
例1令,则关于普通乘法作成群。
显然,1是的单位元,所以,有,但。
二、群的几种基本类型
1、有限群:
元素个数(即阶)有限的群,叫做有限群。
2、无限群:
元素个数(即阶)无限的群,叫做无限群。
3、变换群:
集合上若干一一变换关于变换乘法作成的群,叫做集合上的变换群。
(1)变换群的单位元是的恒等变换。
(2)的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成上最大的变换群。
(3)一般地,变换群不是交换群。
(4)任一个群都与一个变换群同构。
4、置换群:
有限集合上的一一变换叫做置换,若干置换作成的变换群叫做置换群。
即有限集合上的变换群叫做置换群。
例2设是中元素,求。
解
(1)元集合的所有置换作成的置换群,叫做次对称群,记作。
(2)。
(3)每个元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。
(4)。
(5)任一有限群都与一个置换群同构。
5、循环群:
若群中存在元素,使得,则称是循环群。
(1)循环群是交换群(P61.1)。
(2)素数阶群是循环群(P70.1)。
(3)循环群的子群是循环群(P65.4)。
(4)当时,;
当时,。
(5)
(6)当时,有且仅有两个生成元;
当时,有且仅有个生成元,这里表示小于且与互素的正整数个数。
且当时,是的生成元。
(7)若与同态,则
1° 也是循环群;
2°当时,;
3°的阶整除的阶。
例3(P79、3)
三、子群
1、定义:
设是群的非空子集,若关于的于是也构成群,则称是的子群,记作。
2、等价条件
(1)群的非空子集是子群Û,有
Û,有
(2)群的非空有限子集是子群Û,有。
3、运算
(1)若,则(可推广到任意多个情形)。
(2)若,则未必是的子群。
(3)若,则未必是的子群。
(4)若,则不是的子群。
4、陪集
设,则的子集叫做的包含的左陪集;的子集叫做的包含的右陪集。
(1)一般地,。
(2);;。
(3)。
(4)。
(5)是的一个分类,也是的一个分类。
即
,且(当时)
或
,且(当时)
5、指数:
群的子群的左陪集(右陪集)个数叫做的指数,记作。
当时,有。
6、不变子群
设是群的子群,若,都有,则称是的不变子群,记作。
群的子群是不变子群Û,有
Û,有。
例4(P74、1)
例5(P74、3)
1〫不变子群的交是不变子群。
2〫交换群的子群是不变子群。
3〫群的中心是的不变子群。
4〫设且有一个是不变子群,则。
7、商群设,令,,定义
则它是的代数运算,叫做陪集的乘法。
关于陪集的乘法作成群,叫做关于的商群。
当时,有。
四、群同态设是群到的同态满射,则
1、也是群;
2、;
3、;
4、;
5、;
6、;
7、;
8、;
9、;
10、。
注:
若,则映射是到的同态满射,叫做自然同态。
环论部分
一、基本概念
1、环的定义
设是一个非空集合,“+”与“。
”分别是加法与乘法运算,若
(1)关于“+”作成交换群(叫做加群);
(2)关于“。
”封闭;
(3),有;
(4),有
则称关于“+”与“。
”作成环。
2、基本性质
(1),;
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8)当是交换环时,,有
。
3、环的几种基本类型设是环
(1)交换环:
,有。
例6(P89.2)
(2)有单位元环:
存在,使得,有。
(3)无零因子环:
,当时,。
注:
无零因子环的特征:
无零因子环中的非零元关于加法的阶,叫做的特征。
1°无零因子环的特征,或是或是素数;
2°当无零因子环的元素个数有限时,的特征整除。
(4)整环:
有单位元无零因子的交换环。
(5)除环:
有单位元,且非零元都有逆元。
(6)域:
交换的除环。
二、两类特殊的环
1、模剩余类环:
。
(1)是有单位元的交换环,且是的单位元;
(2),,则不是零因子Û;
(3)无零因子Û是素数;
(4),,则不是零因子Û是可逆元;
(5)是域Û是素数。
2、多项式环:
。
例7(P109.2)
三、理想
1、定义:
设是环的非空子集,若
(1),有;
(2),有。
则称是环的理想子环,简称理想。
注:
1°理想一定是子环,但子环不一定是理想。
2°环的中心是子环,但未必是理想。
2、运算
(1)若是环的理想,则也是环的理想(可推广到任意多个情形)。
(2)若是环的理想,则未必是环的理想。
(3)若是环的理想,则也是环的理想。
(4)若是环的理想,则不是环的理想。
3、生成理想:
设环的一个非空子集,则的所有包含的理想的交仍是的理想,这个理想叫做由的理想,记作。
(1)是的包含的最小理想。
(2)当时,记,叫做由生成的主理想。
1°当是交换环时,;
2°当是有单位元环时,;
3°当是有单位元的交换环环时,。
(3),记。
且有
例8(P113.例3)
例9(P114.3)
4、最大理想:
设是环的理想,且。
若包含的环的理想,只有与,则称是环的最大理想(极大理想)。
(1)环的理想是最大理想Û当的理想适合时,必有或。
(2)环的理想是最大理想Û商环只有平凡理想。
(3)设是有单位元的交换环,则的理想是最大理想Û商环是域。
例10(P119.1)
已知:
。
求证:
是域。
证明:
因为是有单位元的交换环,所以,存在使得
所以,由此可见,当奇偶性相同时,同为偶数;当一奇一偶时,同为奇数。
反之,当的奇偶性相同时,取,就有
所以
且奇偶性相同}¹
设是的理想,且,若,则存在,但,所以奇偶性不同,从而奇偶性相同,因而有
于是,因而,从而是的最大理想。
故是域。
9