随机过程习题第4章01Word文档下载推荐.docx
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（t）t
tt
kete
0!
k1!
k1
根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为（t2t1）
EN
（t）
E
E[N
（t）]E[
N（t）]
E[
）]
其中，
[N（t2）N（t1）]（t2t1）
E[Nttt
2（）]22
111
于是，t2t1时的相关函数为
2222
N（t1）N（t）t（tt）ttttt
212111121
同理可得t1t2时的相关函数为
（tNtttt
1）（）
2122
4-1
所以，泊松过程的相关函数为
N（tNttttt
1）（）min,
21212
所以，泊松过程过程不是平稳过程。
4.2设有一个最一般概念的随机电报信号{（t）}，它的定义如下：
（1）（0）是正态分布的随机变量N（0,2）；
（2）时间内出现电报脉冲的个数服从泊松分布，即
（）
P{k,}e（k=1,2,⋯）
（3）不同时间的电报脉冲幅度服从正态分布N（0,2），这个脉冲幅度延伸到下
一个电报脉冲出现时保持不变，不同电报脉冲幅度的取值是相互统计独立
的，同一电报脉冲内幅度是不变的。
（4）不同时间间隔内出现电报脉冲的个数是相互统计独立的。
它的样本函数如图4-2。
（k）（t）
图4-2
（1）试求它的二元概率密度。
（2）试问该过程是否平稳？
设t1<
t2，t1和t2时刻的脉冲幅度之间的关系有两种情况：
①t1和t2处于同
一脉冲内；
②t1，和t2不处于同一脉冲内。
对于情况②，由于不同脉冲内的幅度取值
是相互统计独立的，因此两时刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为
f（t1（x1）f（t2）x2
（
4-2
其中，f（t）
（1）和f（t）
（2）分别是（t）在t1和t2时刻的概率密度函数。
发生情况②
1x2x
的概率就是t1和t2两个时刻间的脉冲变化次数大于等于1的概率，即
Pr{t1t}e1e,tt
和处于不同脉冲内
21
显然，t1和t2处于同一脉冲内的概率为e。
在这种情况下，两时刻的脉冲幅度间
的联合概率密度函数为
ft
（1）（21
（1xxx
因此，t1和t2时刻的脉冲幅度的联合概率密度函数为
f
（x,
x）
[1e
]
exp
x
（2）.由此可见该过程是平稳过程，并且可以推导其多维PDF也是只与各时刻间的间
隔有关，因此是严平稳过程。
4.3设1、2为独立同分布随机变量，且均匀分布于（0，1）上，又设有随机过程
（t）1sin（2t）
求
（1）（t）均值；
（2）（t）的相关函数
由于1、2是独立的，因此
E[（t）]E[1sin（2t）]E[1]E[sin（2t
1、2都均匀分布于（0，1）上，所以
E]
[1
E[sin（
sin（t）d
022
cost
E[（t）]
cos
2t
（2）相关函数为
4-3
E[2122
（）（）][）（
t1tE]E[sin（tsint
其中
[2
3
和
t）sin
22
{cos[（tt）]cos[（tt）]}d
02122122
sin（t
212
所以，
6
4.4设（t）是实正态分布平稳随机过程，它的数学期望为0。
如定义
|
试证明
E（）}cos
{t1k
22C代表（t）的方
k，C（）代表（t）的协方差函数，（0）
（）C（）/
差。
证明：
由给出的（t）定义式可知它有两种可能的取值，即
1,（t）（t）0（t）
0,（t）（t）0
因为（t）是实正态平稳随机过程，且均值为0，所以联合正态分布为
ftt
（）（
（x,y）
1x
1r
2rxy
（1
r
y
2k
rC（）/（）
参考《概率随机变量和随机过程》（西安电子科技大学译本）之第226至229页可以
4-4
得
P{（t）（t）0}
arcsinr
因此，（t）的均值为
E{（t）}1P{（t）（t）0}0P{（t）（t）0}
arccos（r）cos
1k
4.5设有随机过程（t）zsin（t），（t）。
其中，z,是相互独立的随机变
量，
P{}，
42
P{}，Z均匀分布于（-1，1）之间。
试证明（t）是宽
平稳随机过程，但（t）不满足严平稳的条件（不满足一级严平稳的条件）。
由Z均匀分布于（-1，1）之间得
E]0,[
[zEz2
并且z和相互独立。
所以，（t）的均值为
E[（t）]E[z]E[sin（t）]0
（t）的相关函数为
R[
z
]E[sin（t）sin（t
cos（t
cos（tt
由此可见，（t）的均值为常数，相关函数只与时间差t2t1有关。
因此，随机过程（t）
4-5
是宽平稳随机过程。
证明严平稳可以用特征函数，（t）的一维特征函数为
juzsin（t）
E[e]
Z
4
[e]
E[e
juzsin（t
d
juz
sin[usin（t）]sin[usin（t）]
44
jusin（t）jusin（t）
与时间t有关（如下图所示），因此（t）不是严平稳。
4.6设z为随机变量，为另一随机变量，z与相互统计独立，均匀分布于（0,2）
间；
又设有随机过程
（t）zsin（t）（t）
其中为常数，0，试利用特征函数证明（t）是一严平稳随机过程。
因为特征函数能唯一地确定概率密度函数，若能证明（t）的k阶特征函数具有
4-6
时移不变性，即
（u1,u2,,uk;
t1,t2,,tk）（u1,u2,,uk;
t1,t2,,tk）
则其k维概率密度函数是时移不变的。
如果对于任意k都成立，则该过程是严平稳
的。
该随机过程中包含z和两个随机变量，且z与相互统计独立。
因此，其特征
函数可以分两步求解。
首先，令za，对求均值，然后再对z求均值。
由于均匀
分布于（0,2）间，即
f（），于是
kk
Ei
{exp[ju（t）]za}exp[juasin（t）]
iii
i1i1
令。
则
E{exp[ju（t）]za}exp[juasin（ti）]
上式中的被积函数是的周期函数，周期为2。
因此，
E{exp[j
u（t）]z
ii
a}
i1
exp[j
u
i
asin（
（t）]z
E{i
E{exp[ju（t）]z}}E{E{exp[ju（t
ZiiZi
）]z}}
即
ui（t）]}E{exp[ju（t
）]}
由此可见，（t）的k阶特征函数具有时移不变性，即（t）为严平稳随机过程。
4.7设有一相位调制的正弦信号，其复数表示式为
4-7
（t）e
j
（t（tt
））
其中，为常数，>
0，（t）是一个二级严平稳过程，设t1t（u1,u2）是过程（t）的二
维特征函数，即
t1（u,u）Ee
t12
j[u
同时对于任何，0（1,0）0。
试证明过程（t）是宽平稳过程，并求它的相
关函数R（t1,t2）。
首先，（t）的均值为
jEeee
tj（t）jtjt
E{（,0,
t）}e[1,0]
[1,0]0
R
（t,
E{
）}
j（tt）j[（t）（t）]
1212
eEe
[1,
t,t
1]
因为（t）是一个二级严平稳过程，所以t（1,1）只与t1t2有关。
因此，R（t1,t2）也
1,t
只与t1t2有关，且其均值为常数，所以（t）是宽平稳随机过程。
4.8设有一时间离散的马尔可夫过程（n）（n0,1,2,）。
（0）具有概率密度函数
2x（0x1）
（x）
其它
对于n1,2,3,，当给定（n1）x时（n）的条件概率密度均匀分布于（1-x,1）之
间。
问（n）（n1,2,）是否满足严平稳的条件？
解：
对于任意一个马尔可夫过程和任意m+1个取样点，它们的联合概率密度函数有
如下性质
m1
f（x
jxfxf（xx
,）（）1|）
jmjjijijxfxf（xx
i0
对于本题，其中的f（xi1|xi）是不随时刻i变化的。
若f（xi）也是与时刻i无关的，
4-8
则f（xj,,xjm）在时间轴上做任意平移时是不变的，那么该过程是严平稳的。
只需要证明f（xj）与时刻j无关。
首先，
（1）的概率密度函数为
11
ff（y|x）f（x）dx2d2,（0
1yxxyy
11|00
y1y
1）
由此可见，
（1）的概率密度函数与（0）的概率密度函数相同。
依此类推，可得
（n）（n2,3,）的概率密度函数也与（0）的概率密度函数相同，即（n）的概率密度
函数不随时刻i变化。
因此，取样点在时间轴上做任意平移时该过程的所有有限维分
布函数是不变的，即（n）是严平稳过程。
01-y1x
4.9设有两状态时间离散的马尔可夫链（n）（n=1,2,3,⋯），..（n）可取0或1，它的一
步转移矩阵为
q
p
p1+q1=1,p2+q2=1
P{（0）0},
pp
P{（0）1}
试证明该过程为严平稳过程。
对于齐次马尔可夫链，其一步转移概率与时刻无关，若其一维概率分布也与
时刻无关，则其任意维联合概率密度函数只与取样点间的时间间隔有关，而与具体
4-9
的时刻无关，即具有严平稳性质。
因此，对于本题只需要证明该马尔可夫链的一维
概率分布与时刻无关。
首先，
（1）的概率分布为
P{
（1）0}P{
（1）0,（0）0}P{
（1）0,（0）1}
P{
（1）0|（0）0}P{（0）0}P{
（1）0|（0）1}P{（0）1}
qP{
（0）0}
pP{（0）
1}
P{（0）0}
同理可得
P{
（1）1}
ppqp
1221
p1P{（0）0}qP{（0）1}P{
（0）
由于一步转移概率与时刻无关。
所以，由此可以推知
P{（n）1}P{
（1）1}P{（0）1}
P{（n）0}P{
（1）0}P{（0）0}
其中，n=1,2,3,⋯。
..所以该过程为严平稳过程。
此题的另一种解法就是先求n步转移阵，然后直接求n时刻的概率分布。
利用习题2.11的结果可得n步转移阵为
（n）
p（1
n
p）
P{（n）1}
01
P{
0}
PP{
0）
4-10
同理可得，
P{（n）0}P{（0）0}
所以，该过程是严平稳过程。
4.10设有相位调制的正弦过程
（t）Acos[（t（t）]
0，t,t0是泊松过程，A是对称贝努利型随机变量，即
P{A1}，
P{A1}，A和t是相互统计独立的。
试画出其样本函数，样
本函数是否连续？
求（t）的相关函数R（t1,t2），问是否均方连续？
设t1t2。
由给出的（t）Acos[（t（t）]可得
A
cos[（t（t）]cos[（t
偶数
Acos
奇数
2（t2t）
1e
P{tt偶数}
P{tt奇数}
（t）（t）|A
a]
a
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