专题13 算法初步推理与证明数系的扩充与复数的引入备战高考数学文之纠错笔记系列原卷版.docx

专题13 算法初步推理与证明数系的扩充与复数的引入备战高考数学文之纠错笔记系列原卷版.docx

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专题13算法初步推理与证明数系的扩充与复数的引入备战高考数学文之纠错笔记系列原卷版

专题13算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入

易错点1忽略判断框内的条件

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为.

【错解】依题意，该程序框图的任务是计算S=21＋22＋23＋…＋28＋1＋2＋3＋…＋8=546，故输出S的值为546.

【错因分析】解题过程错在循环是在k=10终止，而不是在k=9时终止，所以循环体最后一次执行的是S=S＋29＋9.

【试题解析】依题意，该程序框图的任务是计算S=21＋22＋23＋…＋29＋1＋2＋…＋9=1067，故输出S的值为1067.

【参考答案】1067

【警示】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明晰循环结构程序框图的真正含义，对于本题，要认清程序框图运行的次数.

1.注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.

2.注意条件结构与循环结构的联系：

对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.

1．执行如图所示的程序框图，输出的结果是

A．56B．54

C．36D．64

【答案】B

【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：

a=1，b=1，S=2，c=1+1=2，S=2+2=4；

c≤20，a=1，b=2，c=1+2=3，S=4+3=7；

c≤20，a=2，b=3，c=2+3=5，S=7+5=12；

c≤20，a=3,b=5,c=3+5=8,S=12+8=20;

c≤20，a=5,b=8,c=5+8=13,S=20+13=33;

c≤20，a=8,b=13,c=8+13=21,S=33+21=54.

c＞20,此时结束循环，S=54.

故答案为B.

【名师点睛】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出程序结束后输出的S值．

（1）本题主要考查程序框图，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.

（2）求程序框图的输入和输出结果，主要方法是模拟运行，认真计算.

易错点2误将类比所得结论作为推理依据

已知都是非零实数,不等式的解集分别为M,N,则“”是“M=N”成立的条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一种）.

【错解】由知两个不等式同解,即“”是“M=N”成立的充要条件.

【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中,忽略了不等式与等式的本质区别.

【试题解析】当时，可取,则,

故;

当时，可取，则，即.

综上知“”是“M=N”成立的既不充分又不必要条件.

【参考答案】既不充分又不必要条件

类比推理是不严格的,所得结论的正确与否有待用实践来证明,解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误.

2．下面给出了关于向量的三种类比推理：

①由数可以比较大小类比得向量可以比较大小；

②由平面向量的性质类比得到空间向量的性质；

③由向量相等的传递性，可类比得到向量平行的传递性：

，.

其中正确的是

A．②③B．②

C．①②③D．③

【答案】B

【解析】向量既有大小又有方向，所以向量不能比大小，①错；

当为零向量，与为不共线的非零向量时，不满足向量平行的传递性，③错误；

只有②正确，

故选B．

【名师点睛】本题主要考查的是向量和类比推理，向量是有方向又有长度的量，长度可以比较大小，向量不可以比较大小，规定零向量是与任意向量共线（平行）的，所以考虑平行时要特别注意零向量.对三个选项逐个进行分析即可得到结论.

易错点3小前提错误

判断函数的单调性．

【错解】指数函数是增函数，而是指数函数，所以函数是增函数．

【错因分析】错解中的小前提“是指数函数”是错误的，函数不是指数函数，而是一个分段函数，在每一个分段区间上是指数函数，并且底数的取值不同，要对单调性进行讨论．

【试题解析】对于指数函数，当时是增函数，当时是减函数，故当时，是增函数；当时，是减函数．

演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的小前提.

3．因为对数函数是增函数，而是对数函数，所以是增函数，上面的推理错误的是

A．大前提B．小前提

C．推理形式D．以上都是

【答案】A

【解析】由于三段论的大前提“对数函数是增函数”是错误的，只有当a>1时，对数函数才是增函数.

故答案为A.

【名师点睛】

（1）本题主要考查三段论，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.

（2）一个三段论，只有大前提正确，小前提正确和推理形式正确，结论才是正确的.

易错点4反证法误区——推理中未用到结论的反设

已知实数p满足不等式（2p+1）（p+2）<0,用反证法证明:

关于x的方程无实数根.

【错解】假设方程有实数根，由已知实数p满足不等式（2p+1）（p+2）<0，解得，而关于x的方程的根的判别式.

∵,∴，∴,即关于x的方程无实数根.

【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法.

【试题解析】假设方程有实数根，则该方程的根的判别式，解得或①,

而由已知实数p满足不等式（2p+1）（p+2）<0，解得②.

数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x的方程无实数根.

利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立.

4．利用反证法证明：

“若，则”时，假设为

A．，都不为0B．且，都不为0

C．且，不都为0D．，不都为0

【答案】D

【解析】原命题的结论是都为零，反证时，假设为不都为零.

故选D.

易错点5对复数的相关概念不理解出错

设复数a＋bi（a，b∈R）的模为，则（a＋bi）（a－bi）=.

【错解】复数a＋bi的模为，则a2＋b2=.又（a＋bi）（a－bi）=a2－b2i2=a2＋b2=，故（a＋bi）（a－bi）=.

【错因分析】上述的解题过程对复数模的运算处出现了一个简单的失误，对于复数z=a＋bi的模|z|=，故应为a2＋b2=3.

【试题分析】复数a＋bi（a，b∈R）的模为，则a2＋b2=3，则（a＋bi）（a－bi）=a2－（bi）2=a2－b2i2=a2＋b2=3.

【参考答案】3

复数的运算过程中要注意灵活运用复数的概念及运算法则.如本例中模的计算要两边同时平方而得出正确结论.

1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.

2.对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.

3.两个虚数不能比较大小.

4.利用复数相等a＋bi=c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.

5.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若z1，z2∈C，=0，就不能推出z1=z2=0；z2<0在复数范围内有可能成立.

5．复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】由题意可得：

，

据此可知，复数z的虚部为.

本题选择D选项.

【名师点睛】首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．

一、算法初步

1.在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：

概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.

2.在画算法框图时首先要进行结构的选择.若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构.

3.循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来编写程序.

4.关于赋值语句，有以下几点需要注意：

（1）赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3=m是错误的.

（2）赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y=x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x=Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值.

（3）在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=”.

二、推理与证明

1．常见的类比、归纳推理及求解策略

（1）在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：

①找两类对象的对应元素，如：

三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：

两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．

（2）归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.

2．利用综合法、分析法证明问题的策略

（1）综合法的证明步骤如下：

①分析条件,选择方向：

确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理等；

②转化条件,组织过程：

将条件合理转化,书写出严密的证明过程.特别地,根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.

（2）分析法的证明过程是：

确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化,直到获得一个显而易见的命题即可.

（3）实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”（分析），从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径.

3．用反证法证明不等式要把握的三点

（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面．

（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证.

（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的.

4．反证法的一般步骤

用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程.这个过程包括下面三个步骤:

（1）反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真;

（2）归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾;

（3）存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立.

即反证法的证明过程可以概括为：

反设——归谬——存真.

三、数系的扩充与复数的引入

1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.

2.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.

3.实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系，即

4.复数运算常用的性质：

（1）①（1±i）2=±2i；

②i，i.

（2）设ω=，则①|ω|=1；②1＋ω＋ω2=0；③=ω2.

（3）in＋in＋1＋in＋2＋in＋3=0（n∈N*）.

1．（2018全国卷Ⅲ文）

A．B．

C．D．

2．$http:

//www.wln100.@com未$来脑（教学云平台（2018浙江）复数（i为虚数单位）的共轭复数是

A．1+iB．1−i

C．−1