版高考数学一轮复习题组训练文科课标版第6章第4讲数列求和数列的综合应用含模拟题含答案.docx

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版高考数学一轮复习题组训练文科课标版第6章第4讲数列求和数列的综合应用含模拟题含答案

第四讲　数列求和、数列的综合应用

题组1　等差、等比数列的综合应用

1.[2014新课标全国Ⅱ,5,5分][文]等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.n（n+1）B.n（n-1）C.D.

2.[2015湖南,14,5分]设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=　　　. 

3.[2014安徽,12,5分]数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=　　　　. 

4.[2017全国卷Ⅱ,17,12分][文]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.

（1）若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;

（2）若T3=21,求S3.

5.[2017北京,15,13分][文]已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.

（Ⅰ）求{an}的通项公式;

（Ⅱ）求和:

b1+b3+b5+…+b2n-1.

6.[2016天津,18,13分]已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项.

（Ⅰ）设cn=-,n∈N*,求证:

数列{cn}是等差数列;

（Ⅱ）设a1=d,Tn=（-1）k,n∈N*,求证:

<.

题组2　数列的实际应用

7.[2017全国卷Ⅰ,12,5分]几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:

已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:

N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（　　）

A.440B.330C.220D.110　　　　　　　　　　　　　　　

8.[2013江西,12,5分][文]某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n（n∈N*）等于　　　　. 

题组3　数列与其他知识的综合

9.[2016浙江,8,5分][文]如图6-4-1,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合）.若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则（　　）

图6-4-1

A.{Sn}是等差数列B.{}是等差数列

C.{dn}是等差数列D.{}是等差数列

10.[2015福建,16,4分][文]若a,b是函数f（x）=x2-px+q（p>0,q>0）的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于　　　　. 

11.[2016四川,19,12分][文]已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.

（Ⅰ）若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;

（Ⅱ）设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=2,求++…+.

12.[2015安徽,18,12分]设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1在点（1,2）处的切线与x轴交点的横坐标.

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式;

（Ⅱ）记Tn=…,证明:

Tn≥.

A组基础题

1.[2018武汉市部分学校调研,3]已知等比数列{an}中,3a2,2a3,a4成等差数列,设Sn为数列{an}的前n项和,则等于（　　）

A.B.3或C.3D.

2.[2017东北三省四市一模,5]已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,且满足a2016+

a2017=π,b20b21=4,则tan=（　　）

A.B.C.1D.-1

3.[2017石家庄市一模,8]已知函数f（x）在（-1,+∞）上单调,且函数y=f（x-2）的图象关于直线x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f（a50）=f（a51）,则数列{an}的前100项的和为（　　）

A.-200B.-100C.0D.-50

4.[2018长春市高三第一次质量监测,17]已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1+n-2.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）设bn=log2（an-1）,求证:

+++…+<1.

5.[2017南昌市三模,17]已知数列{an}满足+++…+=n2+n.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）若bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.

B组提升题

6.[2018洛阳市尖子生高三第一次联考,16]已知数列{an}满足nan+2-（n+2）an=λ（n2+2n）,其中a1=1,a2=2,若an

7.[2017宁夏银川市高中教学质量检测,16]我们把满足xn+1=xn-的数列{xn}叫作牛顿数列.已知函数f（x）=x2-1,数列{xn}为牛顿数列,设an=ln,已知a1=2,则a3=　　　　. 

8.[2017陕西省六校第三次适应性训练,16]已知数列{an}满足a1=,an+1-1=an（an-1）（n∈N*）,且Sn=++…+,则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合的真子集个数为　　　　. 

9.[2017长沙市五月模拟,17]设数列{an}的前n项和是Sn,若点An（n,）在函数f（x）=-x+c的图象上运动,其中c是与x无关的常数,且a1=3.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.

10.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,17]已知各项均为正数的等差数列{an}满足a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,设{an}的前n项和为Sn.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）设数列{}的前n项和为Tn,求证:

Tn<3.

答案

1.A　因为a2,a4,a8成等比数列,所以=a2·a8,所以（a1+6）2=（a1+2）·（a1+14）,解得a1=2.所以Sn=na1+d=n（n+1）.故选A.

2.3n-1　由3S1,2S2,S3成等差数列,得4S2=3S1+S3,即3S2-3S1=S3-S2,则3a2=a3,所以公比q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.

3.1　解法一　因为数列{an}是等差数列,所以a1+1,a3+3,a5+5也成等差数列,又a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,所以a1+1,a3+3,a5+5是常数列,故q=1.

解法二　因为数列{an}是等差数列,所以可设a1=t-d,a3=t,a5=t+d,故由已知得（t+3）2=（t-d+1）（t+d+5）,化简得d2+4d+4=0,解得d=-2,所以a3+3=a1+1,即q=1.

4.设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+（n-1）d,bn=qn-1.

由a2+b2=2得d+q=3　①.

（1）由a3+b3=5得2d+q2=6　②.

联立①和②解得（舍去）或

因此{bn}的通项公式bn=2n-1.

（2）由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,

解得q=-5或q=4.

当q=-5时,由①得d=8,则S3=21;

当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.

5.（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.

因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10,

解得d=2,

所以an=2n-1.

（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2b4=a5=9,所以b1qb1q3=9,

解得q2=3,

所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.

从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=.

6.（Ⅰ）由题意得=anan+1,则cn=-=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d（an+2-an+1）=2d2,所以{cn}是等差数列.

（Ⅱ）Tn=（-+）+（-+）+…+（-+）

=2d（a2+a4+…+a2n）

=2d·

=2d2n（n+1）.

所以===·（1-）<.

7.A　设第一项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推,则第n组的项数为n,前n组的项数和为.由题意可知,N>100,令>100,∴n≥14,n∈N*,即N出现在第13组之后.易得第n组的所有项的和为=2n-1,前n组的所有项的和为-n=2n+1-n-2.设满足条件的N在第k+1（k∈N*,k≥13）组,且第N项为第k+1组的第t（t∈N*）个数,第k+1组的前t项的和2t-1应与-k-2互为相反数,即2t-1=k+2,∴2t=k+3,∴t=log2（k+3）,∴当t=4,k=13时,N=+4=95<100,不满足题意;当t=5,k=29时,N=+5=440>100;当t>5时,N>440,故选A.

8.6　设每天植树的棵数组成的数列为{an},由题意可知它是等比数列,且首项为2,公比为2,所以由题意可令第n天后的植树总数≥100,即2n≥51,而25=32,26=64,又n∈N*,所以n≥6.

9.A　如图D6-4-1,记hn为△AnBnBn+1的边BnBn+1上的高（n∈N*）,设锐角的大小为θ,根据图象可知,hn+1=hn+|AnAn+1|sinθ,又|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,∴Sn+1-Sn=|Bn+1Bn+2|·hn+1-|BnBn+1|·hn=

|BnBn+1|·（hn+1-hn）=|BnBn+1|·|AnAn+1|·sinθ.根据题意,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,|AnAn+1|=|An+1An+2|,∴|BnBn+1|·|AnAn+1|sinθ为常数,∴{Sn}为等差数列,故选A.

图D6-4-1

10.9　因为a,b为函数f（x）=x2-px+q（p>0,q>0）的两个不同的零点,所以又p>0,q>0,所以a>0,b>0,所以当-2在中间时,a,b,-2这三个数不可能成等差数列,且只有当-2在中间时,a,b,-2这三个数才能成等比数列.经分析知,a,b,-2或b,a,-2或-2,a,b或-2,b,a成等差数列,a,-2,b或b,-2,a成等比数列.不妨取a>b,则只需研究数列a,b,-2成等差数列,数列a,-2,b成等比数列,则有解得或（舍去）,所以所以p+q=9.

11.（Ⅰ）由已知Sn+1=qSn+1,得Sn+2=qSn+1+1,两式相减,得an+2=qan+1,n≥1.

又由S2=qS1+1得a2=qa1,

故an+1=qan对所有n≥1都成立.

所以数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列,

从而an=qn-1.

由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3,

所以a3=2a2,故q=2,

所以an=2n-1（n∈N*）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,an=qn-1.

所以双曲线x2-=1的离心率en==.

由e2==2得q=.

所以++…+=（1+1）+（1+q2）+…+[1+q2（n-1）]

=n+[1+q2+…+q2（n-1）]

=n+

=n+（3n-1）.

12.