合情推理与演绎推理提高课时训练.docx

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合情推理与演绎推理提高课时训练

合情推理与演绎推理

【学习目标】

1.理解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，做出猜想。

2.理解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理.

【要点梳理】

要点一、推理的概念及分类

1.推理的概念：

根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．

要点诠释：

（1）任何推理都是由前提和结论两部分组成，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，推理的前提可以是一个，也可以是几个．结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．

（2）推理也可以看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结，常用的连结词有：

“因为……，所以……”“根据……，可知……”“如果……，那么……”等．

2.推理的分类：

（1）合情推理：

根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。

其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。

归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．

合情推理的推理过程

要点诠释：

由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用．

（2）演绎推理：

从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理．

要点二、归纳推理

1.定义：

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

2．归纳推理的特点

（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；

（2）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况有可能发生的（如教科书所述的“费马猜想”）；

（3）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；

（4）归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．

要点诠释：

归纳推理的结论可真可假

归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.

3．运用归纳推理时的一般步骤

（1）通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；

（2）把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；

（3）对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．

（2）一般模式：

部分整体，个体一般

（3）一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同性质；

②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；

③检验猜想.

4．完全归纳法和不完全归纳法

（1）完全归纳法：

通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理．由于完全归纳法考察了某类事物的全部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的结论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用．

（2）不完全归纳法：

通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理．由于不完全归纳法是对某类事物中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论之间未必有必然的联系，由不完全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻辑论证和实践检验．

要点三、类比推理

1．定义：

类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．

2．类比推理的几个特点

（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；

（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；

（3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．

3．运用类比推理的一般步骤

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性．

（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

（3）检验猜想.

要点诠释：

（1）如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．

（2）事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互制约的，如果两个事物在性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似．因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性．

（3）类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假．

要点四、演绎推理

（1）定义：

从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

（2）一般模式：

“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式：

　①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.

要点诠释：

①如果一个推理规则能用符号表示为“如果ab，bc，则ac”，那么这种推理规则叫做三段论推理．

②三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，两者结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题——结论．

（3）用集合的观点理解“三段论”

若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质.

要点诠释：

演绎推理的结论一定正确

演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。

要点五、合情推理与演绎推理的区别与联系

（1）从推理模式看：

①归纳推理是由特殊到一般的推理．

②类比推理是由特殊到特殊的推理．

③演绎推理是由一般到特殊的推理．

（2）从推理的结论看：

①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。

②演绎推理所得的结论一定正确。

（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。

合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.

要点诠释：

注意：

在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，合情推理不能用作证明．

【典型例题】

类型一、归纳推理

例1.用推理的形式表示数列的前项和的归纳过程.

【思路点拨】依题意，表示数列的前项和，即.为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出与的对应关系式.

【解析】对数列的前项和分别进行计算：

，

，

，

，

.

观察可得，数列{Sn}的前五项都等于1到相应序号的自然数之和的平方，

由此猜想数列的前项和.

【总结升华】】①本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理.

②归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.

③归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系.

④虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的.

举一反三：

【变式1】（2014秋台州期末）在数列{an}中，满足an+1=an－an－1（n≥2），a1=a，a2=b，设Sn=a1+a2+…+an，则合情推理推出a100=________，S100=________。

【答案】由an+1=an―an―1（n≥2），得

an+6=an+5―an+4=an+4―an+3―an+4=―an+3=―（an+2―an+1）=―（an+1―an―an+1）=an，

所以6为数列{an}的周期，

又a3=a2―a1=b―a，a4=a3―a2=―a，a5=a4―a3=―b，a5=a5―a4=a―b，

所以a100=a96+4=a4=―a，

S100=16（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3+a4=16×0+a+b+b―a―a=2b―a，

故答案为：

―a，2b－a。

【变式2】用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前项和的归纳过程.

【答案】对等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前1，2，3，4，5，6项的和分别进行计算：

；

；

；

；

；

；

观察可得，前项和等于序号的平方，由此可猜想.

【变式3】

各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有。

当，时，求通项公式an。

【解析】由

得。

将，代入化简得

∴当n=3时，。

当n=4时，。

∴由此归纳出。

（n∈N*）

（归纳猜想出的结论应予以严格证明才可，此处证明略．）

例2．（2014春高要市校级月考）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图。

其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n个图的蜂巢总数。

（1）试给出f（4），f（5）的值；

（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式；

（3）证明：

。

【答案】

（1）61

（2）f（n）=3n2－3n+1（3）略

【思路点拨】

（1）根据图象的规律可得f（4）和f（5）的值。

（2）根据相邻两项的差的规律可分析出f（n+1）－f（n）=6n，进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式；

（3）根据

（2）中求得的f（n）可得的表达式，进而利用裂项的方法证明原式。

【解析】

（1）f（4）=37，f（5）=61。

（2）由于f

（2）―f

（1）=7―1=6，

f（3）―f

（2）=19―7=2×6，

f（4）―f（3）=37―19=3×6，

f（5）―f（4）=61―37=4×6，

因此，有f（n+1）―f（n）=6n，

所以f（n）=[f（n）―f（n―1）]+[f（n―1）―f（n―2）]+…+[f

（2）―f

（1）]+f

（1）

=6[（n―1）+（n―2）+…+2+1]+1=3n2―3n+1。

又f

（1）=1=3×12－3×1+1，所以f（n）=3n2－3n+1。

（3）证明：

当k≥2时，

所以

。

【总结升华】本题主要考查了数列的求和问题，数列的求和是数列的重要内容之一，除等差数列和等比数列外，大部分的数列求和都需要一定的技巧，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求和解。

举一反三：

【变式1】根据给出的数塔猜测123456×9+7等于