二次函数的知识点归纳总结.docx

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二次函数的知识点归纳总结

二次函数的知识点归纳总结

　　篇一：

二次函数知识点概括总结

　　二次函数知识点总结及相关典型题目

　　第一部分二次函数基础知识

　　?

相关概念及定义

　　b，c是常数，a?

0）的函数，叫做二次函数。

这?

二次函数的概念：

一般地，形如y?

ax2?

bx?

c（a，

　　c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：

和一元二次方程类似，二次项系数a?

0，而b，

　　数．

　　?

二次函数y?

ax2?

bx?

c的结构特征：

　　⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

　　b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．⑵a，

　　?

二次函数各种形式之间的变换

　　?

二次函数y?

ax2?

bx?

c用配方法可化成：

y?

a?

x?

h?

?

k的形式，其中

　　2

　　b4ac?

b2

　　h?

?

，k?

.

　　2a4a

　　?

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①y?

ax2；②y?

ax2?

k；③y?

a?

x?

h?

；④

　　2

　　y?

a?

x?

h?

?

k；⑤y?

ax2?

bx?

c.

　　2

　　?

二次函数解析式的表示方法

　　?

一般式：

y?

ax2?

bx?

c（a，b，c为常数，a?

0）；

　　?

顶点式：

y?

a（x?

h）2?

k（a，h，k为常数，a?

0）；

　　?

两根式：

y?

a（x?

x1）（x?

x2）（a?

0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

　　?

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，

　　只有抛物线与x轴有交点，即b2?

4ac?

0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.?

抛物线y?

ax2?

bx?

c的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

　　?

　　a的符号决定抛物线的开口方向：

当a?

0时，开口向上；当a?

0时，开口向下；

　　b

　　.特别地，y轴记作直线x?

0.2a

　　a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

　　?

对称轴：

平行于y轴（或重合）的直线记作x?

?

　　b4ac?

b2

　　（?

）?

顶点坐标坐标：

　　2a4a

　　?

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口

　　大小完全相同，只是顶点的位置不同.?

抛物线y?

ax2?

bx?

c中，a,b,c与函数图像的关系?

二次项系数a

　　二次函数y?

ax2?

bx?

c中，a作为二次项系数，显然a?

0．

　　⑴当a?

0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a?

0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

　　总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

　　?

一次项系数b

　　在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a?

0的前提下，

　　b

　　当b?

0时，?

?

0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

　　2ab

　　当b?

0时，?

?

0，即抛物线的对称轴就是y轴；

　　2a

　　b

　　?

0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a

　　⑵在a?

0的前提下，结论刚好与上述相反，即

　　b

　　当b?

0时，?

?

0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

　　2ab

　　当b?

0时，?

?

0，即抛物线的对称轴就是y轴；

　　2ab

　　当b?

0时，?

?

0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

　　2a

　　总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：

　　?

常数项c

　　⑴当c?

0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c?

0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c?

0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

　　b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a，

　　?

求抛物线的顶点、对称轴的方法

　　当b?

0时，?

　　b4ac?

b2b?

4ac?

b2?

　　（?

）?

公式法：

y?

ax?

bx?

c?

a?

x?

，∴顶点是，对称轴是直线?

?

　　2a4a2a?

4a?

　　bx?

?

.

　　2a

　　2

　　?

配方法：

运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?

a?

x?

h?

?

k的形式，得到顶点为（h,k），对

　　称轴是直线x?

h.

　　2

　　2

　　?

运用抛物线的对称性：

由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是

　　抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

　　用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.?

用待定系数法求二次函数的解析式

　　?

一般式：

y?

ax?

bx?

c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.?

顶点式：

y?

a?

x?

h?

?

k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

　　2

　　2

　　?

交点式：

已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

y?

a?

x?

x1?

?

x?

x2?

.?

直线与抛物线的交点

　　?

　　y轴与抛物线y?

ax2?

bx?

c得交点为（0,c）.

　　2

　　22

　　?

与y轴平行的直线x?

h与抛物线y?

ax?

bx?

c有且只有一个交点（h,ah?

bh?

c）.

　　?

抛物线与x轴的交点:

二次函数y?

ax?

bx?

c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax?

bx?

c?

0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

　　①有两个交点?

?

?

0?

抛物线与x轴相交；

　　②有一个交点（顶点在x轴上）?

?

?

0?

抛物线与x轴相切；③没有交点?

?

?

0?

抛物线与x轴相离.

　　?

平行于x轴的直线与抛物线的交点

　　可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标

　　是ax?

bx?

c?

k的两个实数根.

　　2

　　一次函数y?

kx?

n?

k?

0?

的图像l与二次函数y?

ax?

bx?

c?

a?

0?

的图像G的交点，

　　2

　　2

　　?

由方程组?

　　?

y?

kx?

n?

y?

ax?

bx?

c

　　2

　　的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时?

l与G有两个交点;②

　　方程组只有一组解时?

l与G只有一个交点；③方程组无解时?

l与G没有交点.

　　?

抛物线与x轴两交点之间的距离：

若抛物线y?

ax2?

bx?

c与x轴两交点为A?

x1，0?

，B?

x2，0?

，由于

　　x1、x2是方程ax2?

bx?

c?

0的两个根，故

　　bc

　　x1?

x2?

?

x1?

x2?

　　aa

　　AB?

x1?

x2?

　　x1?

x22

　　?

　　x1?

x22

　　b2?

4ac?

?

b?

4c

　　?

4x1x2?

?

?

?

?

?

?

　　aaaa?

?

　　2

　　?

二次函数图象的对称:

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

　　?

关于x轴对称

　　y?

a2x?

bx?

关于cx轴对称后，得到的解析式是y?

?

ax2?

bx?

c；

　　y?

a?

x?

h?

?

k关于x轴对称后，得到的解析式是y?

?

a?

x?

h?

?

k；?

关于y轴对称

　　y?

a2x?

bx?

关于cy轴对称后，得到的解析式是y?

ax2?

bx?

c；

　　22

　　y?

a?

x?

h?

?

k关于y轴对称后，得到的解析式是y?

a?

x?

h?

?

k；?

关于原点对称y?

a2x?

bx?

关于原点对称后，得到的解析式是cy?

?

ax2?

bx?

c；y?

a?

x?

?

h?

关于原点对称后，得到的解析式是ky?

?

a?

x?

h?

?

k；

　　?

关于顶点对称

　　2

　　2

　　22

　　b2y?

ax?

bx?

关于顶点对称后，得到的解析式是cy?

?

ax?

bx?

c?

；

　　2a

　　22

　　y?

a?

x?

h?

?

k关于顶点对称后，得到的解析式是y?

?

a?

x?

h?

?

k．

　　2

　　2

　　?

关于点?

m，n?

对称

　　n?

对称后，得到的解析式是y?

?

a?

x?

h?

2m?

?

2n?

ky?

a?

x?

h?

?

k关于点?

m，

　　2

　　2

　　?

总结：

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不

　　变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是

　　先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

　　?

二次函数图象的平移

　　?

平移规律

　　在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

　　概括成八个字“左加右减，上加下减”．

　　?

根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

?

三点式。

　　1，已知抛物线y=ax+bx+c经过A（，0），B（2，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。

　　２

　　2，已知抛物线y=a（x-1）+4，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。

?

顶点式。

　　22

　　1，已知抛物线y=x-2ax+a+b顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。

　　2

　　2，已知抛物线y=4（x+a）-2a的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

?

交点式。

　　1，已知抛物线与x轴两个交点分别为（3，0）,（5,0）,求抛物线y=（x-a）（x-b）的解析式。

　　2

　　2，已知抛物线线与x轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=?

定点式。

　　1，在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线y?

?

　　1

　　a（x-2a）（x-b）的解析式。

2

　　125?

ax?

x?

2a?

2经过x轴上一定点Q，直线22

　　y?

（a?

2）x?

2经过点Q,求抛物线的解析式。

　　2，抛物线y=x+（2m-1）x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

　　2

　　3，抛物线y=ax+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。

?

平移式。

　　22

　　1，把抛物线y=-2x向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a（x-h）+k,求此抛物

　　线解析式。

2，抛物线y?

?

x2?

x?

3向上平移,使抛物线经过点C（0,2）,求抛物线的解析式.?

距离式。

　　2

　　1，抛物线y=ax+4ax+1（a﹥0）与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

　　2

　　2，已知抛物线y=mx+3mx-4m（m﹥0）与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。

?

对称轴式。

　　22

　　1、抛物线y=x-2x+（m-4m+4）与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式