打包下载高中数学全一册课时作业共28套新人教A版必修4Word版含答案Word文件下载.docx
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D．α＋β＝（2k＋1）180°
α与β的终边关于y轴对称，则α与180°
－β终边相同，故α＝180°
－β＋360°
·
k，即α＋β＝（2k＋1）·
180°
，k∈Z.
二、填空题（每小题5分，共15分）
6．若角α的终边与75°
角的终边关于直线y＝0对称，且0°
，则角α的值为________．
如图，设75°
角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°
，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·
－75°
，k∈Z}．又0°
，令k＝1，得α＝285°
.
285°
7．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°
，360°
），则角α＝________.
由条件知，2α＝α＋k·
，
所以α＝k·
（k∈Z），
因为α∈[0°
），所以α＝0°
8．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．
先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°
＋k·
≤α≤150°
，k∈Z}．
{α|30°
，k∈Z}
三、解答题（每小题10分，共20分）
9．在0°
～360°
范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
（1）549°
；
（2）－60°
（3）－503°
36′.
＝189°
＋360°
，而180°
189°
270°
，因此，549°
角为第三象限角，且在0°
范围内，与189°
角有相同的终边．
＝300°
－360°
，而270°
300°
，因此，－60°
角为第四象限角，且在0°
范围内，与300°
36′＝216°
24′－2×
216°
24′<
.因此，－503°
36′角是第三象限角，且在0°
范围内，与216°
24′角有相同的终边．
10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
（1）终边落在射线OM上；
（2）终边落在直线OM上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
（1）终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°
（2）由
（1）得终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°
，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°
，k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°
，k∈Z}∪{α|α＝225°
＝{α|α＝45°
＋2k·
，k∈Z}∪{α|α＝45°
＋（2k＋1）·
，k∈Z}＝{α|α＝45°
＋n·
，n∈Z}．
（3）终边落在直线ON上的角的集合为
C＝{β|β＝60°
，n∈Z}，
则终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为S＝{α|45°
≤α≤60°
|能力提升|（20分钟，40分）
11．若角α与65°
角的终边相同，角β与－115°
角的终边相同，那么α与β之间的关系是（ ）
A．α＋β＝－50°
B．α－β＝180°
＋180°
D．α－β＝k·
由题意可知，α＝k1·
＋65°
（k1∈Z），β＝k2·
－115°
（k2∈Z），所以α－β＝（k1－k2）·
，记k＝k1－k2∈Z，故α－β＝k·
（k∈Z）．
12．如图所示，终边落在直线y＝x上的角的集合为________．
终边落在射线y＝x（x>
0）上的角的集合是S1＝{α|α＝60°
，k∈Z}，终边落在射线y＝x（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝240°
，k∈Z}，于是终边落在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°
，k∈Z}∪{α|α＝240°
，k∈Z}＝{α|α＝60°
，k∈Z}∪{α|α＝60°
{α|α＝60°
，n∈Z}
13．已知α＝－1910°
（1）把α写成β＋k·
（k∈Z,0°
≤β<
）的形式；
（2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°
≤θ<
（1）因为－1910°
÷
＝－6余250°
所以－1910°
＝－6×
＋250°
（2）令θ＝250°
因为－720°
所以－720°
≤250°
即－≤k<
－，
因为k∈Z，所以k＝－1或－2.
即250°
＋（－1）·
＝－110°
，250°
＋（－2）·
＝－470°
14．已知α是第四象限角，则2α，各是第几象限角？
由题意知k·
＋270°
k·
因此2k·
＋540°
2α<
2k·
＋720°
即（2k＋1）360°
（2k＋1）360°
故2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．
又k·
＋135°
当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），则n·
n·
（n∈Z），此时，是第二象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），则n·
＋315°
（n∈Z），此时，是第四象限角．
因此是第二象限角或第四象限角．
课时作业2 弧度制
1．1920°
的角化为弧度数为（ ）
A. B.
C.πD.π
∵1°
＝rad，
∴1920°
＝1920×
rad＝πrad.
2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，得，解得θ＝3，故选C.
3．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
－3π的终边在x轴的非正半轴上，－π的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．
4．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．2kπ＋45°
B．k·
＋（k∈Z）
C．k·
－315°
D．kπ＋（k∈Z）
A，B中弧度与角度混用，不正确．
π＝2π＋，所以π与终边相同．
＝－360°
＋45°
，所以－315°
也与45°
终边相同．故选C.
5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为（ ）
A.B.
C.D．2
如右图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
6．下列四个角：
1,60°
，，－由大到小的排列为________．
只需把60°
化成弧度数，因为60°
＝60×
＝，所以四个角为1，，，－.所以60°
＝>
1>
－.
60°
－
7．若三角形三内角之比为345，则三内角的弧度数分别是________．
设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k，则由3k＋4k＋5k＝π，得k＝，所以3k＝，4k＝，5k＝.
，，
8．弧长为3π，圆心角为135°
的扇形的半径为________，面积为________．
135°
＝＝，所以扇形的半径为＝4，
面积为×
3π×
4＝6π.
4 6π
9．将下列角度与弧度进行互化：
（1）20°
（2）－15°
（3）；
（4）－.
＝π＝.
＝－π＝－.
（3）＝（×
）°
＝（×
180）°
＝105°
（4）－＝（－×
＝（－×
＝－396°
10．如图，扇形AOB所在圆的半径为10，AB＝10.求：
（1）圆心角α的大小；
（2）扇形AOB的周长．
（1）由半径r＝10，AB＝10，知△AOB为等边三角形，
所以α＝∠AOB＝60°
＝.
（2）由
（1）知弧长l＝αr＝×
10＝，
所以扇形AOB的周长为2r＋l＝20＋.
11．集合中的角所表示的范围（如图中阴影部分所示）是（ ）
当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；
当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，故选C.
12．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，
则S′＝l′R′＝×
l×
R＝S.
13．已知α＝－800°
（1）把α改写成β＋2kπ（k∈Z,0≤β<
2π）的形式，并指出α的终边在第几象限；
（2）求γ角，使γ与α的终边相同，且γ∈.
（1）∵－800°
＝－3×
＋280°
，又280°
＝，∴α＝＋（－3）×
2π，∴α与的终边相同，∴角α的终边在第四象限．
（2）∵与α角终边相同的角可以表示为2kπ＋α，k∈Z，又α与的终边相同，
∴γ∈.
又∵γ∈，∴－<
2kπ＋<
，易知当且仅当k＝－1时，不等式成立，∴γ＝－2π＋＝－.
14．已知一扇形的圆心角为α（α>
0），所在圆的半径为R.
（1）若α＝60°
，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
（1）设弧长为l，弓形面积为S，则α＝60°
＝，
R＝10cm，l＝×
10＝（cm），
S＝S扇－S△＝×
×
10－×
102＝cm2.
（2）设扇形的弧长为l，
则l＋2R＝20，即l＝20－2R（0<
R<
10），
∴扇形的面积S＝lR＝（20－2R）R＝－R2＋10R＝－（R－5）2＋25.
∴当R＝5cm时，S有最大值25cm2，
此时l＝10cm，α＝＝2rad.
因此，当α＝2rad时，这个扇形的面积最大．
课时作业3 任意角的三角函数
（一）
1．如果角θ的终边在第二象限，那么点P（sinθ，cosθ）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
∵角θ的终边在第二象限，
∴sinθ>
0，cosθ<
0，
∴点P（sinθ，cosθ）位于第四象限．
2．若cosα＝－，且角α的终边经过点P（x,2），则P点的横坐标x是（ ）
A．2B．±
2
C．－2D．－2
r＝，由题意得＝－，∴x＝－2.故选D.
3．sin（－140°
）cos740°
的值（ ）
A．大于0B．小于0
C．等于0D．不确定
因为－140°
为第三象限角，
故sin（－140°
）<
0.
因为740°
＝2×
＋20°
所以740°
为第一象限角，
故cos740°
>
所以sin（－140°
0.故选B.
B
4．如果角α的终边经过点P（sin780°
，cos（－330°
）），则sinα＝（ ）
C.D．1
sin780°
＝sin（2×
＋60°
）＝sin60°
＝，cos（－330°
）＝cos（－360°
＋30°
）＝cos30°
＝.所以P，所以r＝|OP|＝.由三角函数的定义，得sinα＝＝＝.
5．设a<
0，角α的终边经过点P（－3a,4a），则sinα＋2cosα＝（ ）
A.B．－
C.D．－
∵a<
0，角α的终边经过点P（－3a,4a），∴点P与原点的距离r＝－5a，sinα＝－，cosα＝，∴sinα＋2cosα＝.选A.
A
6．若sinθ<
cosθ，且sinθ·
cosθ<
0，则角θ的终边位于第________象限．
由条件可知cosθ>
0，sinθ<
0，则θ为第四象限角．
四
7．sin＋cos－tan的值为________．
原式＝sin＋cos－tan＝sin＋cos－tan＝＋－1＝0.
8．已知角α的终边经过点P（3,4t），且sin（2kπ＋α）＝－（k∈Z），则t＝________.
sin（2kπ＋α）＝sinα＝－<
0，则α的终边在第三或第四象限．又点P的横坐标是正数，所以α是第四象限角，所以t<
0，又sinα＝，所以＝－，所以t＝－.
9．已知角α的终边过点（a,2a）（a≠0），求角α的正弦、余弦和正切值．
因为角α的终边过点（a,2a）（a≠0），
所以r＝|a|，x＝a，y＝2a.
当a>
0时，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝2；
当a<
0时sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝2.
10．判断下列各式的符号：
（1）α是第四象限角，sinα·
tanα；
（2）sin3·
cos4·
tan.
（1）因为α是第四象限角，
所以sinα<
0，tanα<
所以sinα·
tanα>
（2）因为<
3<
π，π<
4<
所以sin3>
0，cos4<
因为－＝－6π＋，
所以tan＝tan>
所以sin3·
tan<
11．若sinαtanα<
0，且<
0，则角α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
由sinαtanα<
0可知sinα，tanα异号，从而α是第二或第三象限角．
由<
0可知cosα，tanα异号，从而α是第三或第四象限角．
综上可知，α是第三象限角．
12．若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα<
0，又P（m，n）是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
∵y＝3x，sinα<
0，∴点P（m，n）位于y＝3x在第三象限的图象上，
且m<
0，n<
0，n＝3m.
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
13．计算：
（1）sin390°
＋cos（－660°
）＋3tan405°
－cos540°
（2）sin＋tanπ－2cos0＋tan－sin.
（1）原式＝sin（360°
）＋cos（－2×
）＋3tan（360°
）－cos（360°
）＝sin30°
＋cos60°
＋3tan45°
－cos180°
＝＋＋3×
1－（－1）＝5.
（2）原式＝sin＋tanπ－2cos0＋
tan－sin＝sin＋tanπ－2cos0＋tan－sin＝1＋0－2＋1－＝－.
14．已知角θ的终边不在坐标轴上，且|sinθcosθ|＋sinθcosθ＝0，试判断＋tanθ的符号．
由|sinθcosθ|＋sinθcosθ＝0，得|sinθcosθ|＝－sinθcosθ.
因为角θ的终边不在坐标轴上，所以sinθcosθ<
所以tanθ<
所以＋tanθ<
课时作业4 任意角的三角函数
（二）
1．对三角函数线，下列说法正确的是（ ）
A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在
D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在
终边在y轴上的角的正切线不存在，故A，C错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B错，因此选D.
2．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是（ ）
A．MP<
OM<
0 B．OM>
0>
MP
C．OM<
MP<
0D．MP>
OM
因为π是第二象限角，
所以sinπ>
0，cosπ<
所以MP>
0，OM<
OM.
3．有三个命题：
①和的正弦线长度相等；
②和的正切线相同；
③和的余弦线长度相等．
其中正确说法的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3D．0
和的正弦线关于y轴对称，长度相等；
和两角的正切线相同；
和的余弦线长度相等．故①②③都正确．故选C.
4．使sinx≤cosx成立的x的一个区间是（ ）
C.D.
如图，画出三角函数线sinx＝MP，cosx＝OM，由于sin＝cos，sin＝cos，为使sinx≤cosx成立，由图可得在[－π，π）范围内，－≤x≤.
5．如果<
θ<
，那么下列各式中正确的是（ ）
A．cosθ<
tanθ<
sinθB．sinθ<
tanθ
C．tanθ<
sinθ<
cosθD．cosθ<
如图所示，作出角θ的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，由图可知AT>
MP>
OM，即tanθ>
sinθ>
cosθ，故选D.
6．比较大小：
sin1________sin（填“>
”或“<
”）．
因为0<
1<
，结合单位圆中的三角函数线，知sin1<
sin.
7．不等式tanα＋>
0的解集是________．
不等式的解集如图所示（阴影部分），
∴.
8．若cosθ>
sin，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．
因为cosθ>
sin，所以cosθ>
sin＝sin＝，易知角θ的取值范围是
9．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
（1）；
（2）－.
（1）因为∈，所以做出角的终边如图
（1）所示，交单位圆于点P作PM⊥x轴于点M，则有向线段MP＝sin，有向线段OM＝cos，设过A（1,0）垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段AT＝tan.综上所述，图
（1）中的有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线．
（2）因为－∈，所以在第三象限内做出－角的终边如图
（2）所示，交单位圆于点P′用类似
（1）的方法作图，可得图
（2）中的有向线段M′P′、OM′、A′T′分别为－角的正弦线、余弦线、正切线．
10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：
（1）tanα＝－1；
（2）sinα≤－.
（1）如图①所示，过点（1，－1）和原点作直线交单位圆于点P和P′，则OP和OP′就是角α的终边，所以∠xOP＝＝π－，∠xOP′＝－，
所以满足条件的所有角α的集合是
②
（2）如图②所示，过作与x轴平行线，交单位圆于点P和P′，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－，
∴∠xOP＝π，∠xOP′＝π，
∴满足条件所有角α的集合为
11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在（ ）
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第一、第三象限的角平分线上
作图（图略）可知角α的终边在直线y＝－x上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.
12．若θ∈，则sinθ的取值范围是________．
由图可知sin＝，
sin＝－1，>
－1，
即sinθ∈.
13．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边．
（1）sinα＝；
（2）cosα＝－.
（1）作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP，OQ为角α的终边，如图甲．
（2）作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM，ON为角α的终边，如图乙．
14．求下列函数的定义域．
（1）y＝；
（2）y＝lg（sinx－）＋.
（1）自变量x应满足2sinx－≥0，即sinx≥.图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即.
（2）由题意，自变量x应满足不等式组即
则不等式组的解的集合如图（阴影部分）所示，
课时作业5 同角三角函数的基本关系
1．已知α是第二象限角，且cosα＝－，则tanα的值是（ ）
A. B．－
∵α为第二象限角，∴sinα＝＝＝，∴tanα＝＝＝－.
2．下列结论中成立的是（ ）
A．sinα＝且cosα＝
B．tanα＝2且＝
C．tanα＝1且cosα＝±
D．sinα＝1且tanα·
cosα＝1
A中，sin2α＋cos2α＝≠1，故不成立；
B中，＝，即tanα＝3，与tanα＝2矛盾，故不成立；
D中，sinα＝1时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，此时tanα无意义，故不成立．
3．已知tanα＝2，则＝
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