小升初数学专项训练+典型例题分析找规律篇教师版.docx
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小升初数学专项训练+典型例题分析找规律篇教师版
名校真题测试卷找规律篇
时间:
15分钟满分5分姓名_________测试成绩_________
1(12年清华附中考题)
如果将八个数14,30,33,35,39,75,143,169平均分成两组,使得这两组数的乘积相等,那么分组的情况是什么?
2(13年三帆中学考题)
观察1+3=4 ; 4+5=9 ; 9+7=16 ; 16+9=25 ; 25+11=36 这五道算式,找出规律,
然后填写2001+( )=2002
3(12年西城实验考题)
一串分数:
其中的第2000个分数是.
4(12年东城二中考题)
在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少?
2……7……5……8……3
5(04年人大附中考题)
请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数,使得对于任何由0~9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中,都有某两个相邻的数字,是你所选出的那些数中当中的一个。
为了达到这些目的。
(1)请你说明:
11这个数必须选出来;
(2)请你说明:
37和73这两个数当中至少要选出一个;
(3)你能选出55个数满足要求吗?
【附答案】
1【解】分解质因数,找出质因数再分开,所以分组为33、35、30、169和14、39、75、143。
2【解】上面的规律是:
右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……,所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个,即4003。
3【解】分母为3的有2个,分母为4个,分母为7的为6个,这样个数2+4+6+8…88=1980<2000,这样2000个分数的分母为89,所以分数为20/89。
4【解】:
第一次写后和增加5,第二次写后的和增加15,第三次写后和增加45,第四次写后和增加135,第五次写后和增加405,……
它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列,公比为3。
它们的和为5+15+45+135+405+1215=1820,所以第六次后,和为1820+2+3=1825。
5【解】
(1),11,22,33,…99,这就9个数都是必选的,因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…,只出现11,因此11必选,同理要求前述9个数必选。
(2),比如这个数3737…37…,同时出现且只出现37和37,这就要求37和73必须选出一个来。
(3),同37的例子,
01和10必选其一,02和20必选其一,……09和90必选其一,选出9个
12和21必选其一,13和31必选其一,……19和91必选其一,选出8个。
23和32必选其一,24和42必选其一,……29和92必选其一,选出7个。
………
89和98必选其一,选出1个。
如果我们只选两个中的小数这样将会选出9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个。
再加上11~99这9个数就是54个。
小升初专项训练找规律篇
一、小升初考试热点及命题方向
找规律问题在小升初考试中几乎每年必考,但考题的分值较低,多以填空题型是出现。
在刚刚结束的12年小升初选拔考试中,人大附中,首师附中,十一学校,西城实验,三帆,西外,东城二中和五中都涉及并考察了这一类题型。
二、2007年考点预测
07年的这一题型必然将继续出现,题型的出题热点在利用通项表达式(即字母表示)总结出已知条件中等式的内在规律和联系,这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力,希望同学们多加练习。
三、典型例题解析
1与周期相关的找规律问题
【例1】、(★★)化小数后,小数点后若干位数字和为1992,求n为多少?
【解】化小数后,循环数字和都为27,这样1992÷27=73…21,所以n=6。
【例2】、(★★)有一数列1、2、4、7、11、16、22、29……那么这个数列中第2006个数除以5的余数为多少?
【解】数列除以5的余数为1、2、4、2、1、1、2、4、2、1…这样就使5个数一周期,所以2003÷5=400…3,所以余4。
【例3】、(★★★)某人连续打工24天,赚得190元(日工资10元,星期六做半天工,发半工资,星期日休息,无工资).已知他打工是从1月下旬的某一天开始的,这个月的1号恰好是星期日.问:
这人打工结束的那一天是2月几日?
【来源】第五届“华杯赛”初赛第16题
【解】因为3×7<24<4×7,所以24天中星期六和星期日的个数,都只能是3或4.又,190是10的整数倍。
所以24天中的星期六的天数是偶数.再由240-190=50(元),便可知道,这24天中恰有4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的,因此,这人打工结束的那一天必定是星期六.由此逆推回去,便可知道开始的那一天是星期四.因为1月1日是星期日,所以1月22日也是星期日,从而1月下旬唯一的一个星期四是1月26日.从1月26日往后算,可知第24天是2月18日,这就是打工结束的日子.
2图表中的找规律问题
【例4】、(★★)图中,任意_--个连续的小圆圈内三个数的连乘积郡是891,那么B=_______.
【来源】第十届<小数报>数学竞赛初赛填空题第5题
【解】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”,可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是,B=891÷(9×9)=11.
【例5】(★★★)自然数如下表的规则排列:
求:
(1)上起第10行,左起第13列的数;
(2)数127应排在上起第几行,左起第几列?
【解】:
本题考察学生“观察—归纳—猜想”的能力.此表排列特点:
①第一列的每一个数都是完全平方数,并且恰好等于所在行数的平方;②第一行第n个数是(n-1)2+1,②第n行中,以第一个数至第n个数依次递减1;④从第2列起该列中从第一个数至第n个数依次递增1.
由此
(1)〔(13-1)2+1〕+9=154;
(2)127=112+6=〔(12-1)2+1〕+5,即左起12列,上起第6行位置.
3较复杂的数列找规律
【例6】、(★★★)设1,3,9,27,81,243是6个给定的数。
从这六个数中每次或者取1个,或者取几个不同的数求和(每一个数只能取1次),可以得到一个新数,这样共得到63个新数。
把它们从小到大一次排列起来是1,3,4,9,10,12,…,第60个数是______。
【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题
【解】最大的(即第63个数)是
1+3+9+27+81+243=364
第60个数(倒数第4个数)是
364-1-3=360。
【例7】、(★★★)在两位数10,11,…,98,99中,将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加-个小数点,其余的数不变.问:
经过这样改变之后,所有数的和是多少?
【来源】第五届“华杯赛”初赛第15题
【解】原来的总和是10+11+…+98+99==4905,被7除余2的两位数是
7×2+2=16,7×3+2=23,…,7×13十2=93.
共12个数.这些数按题中要求添加小数点以后,都变为原数的,因此这-手续使总和减少了
(16+23+…+93)×(1-)=×=588.6
所以,经过改变之后,所有数的和是4905—588.6=4316.4.
【例8】、(★★★)小明每分钟吹-次肥皂泡,每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后,经过1分钟有-半破了,经过2分钟还有没有破,经过2分半钟全部肥皂泡都破了·小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候,没有破的肥皂泡共有个.
【来源】1990年小学数学奥林匹克决赛第8题
斐波那契数列非常有意思!
【解】小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候,第17次之前(包括第17次)吹出的肥皂泡全破了.此时没有破的肥皂泡共有100+100×+100×=155(个).
4与斐波那契数列相关的找规律
【引言】:
有个人想知道,一年之内一对兔子能繁殖多少对?
于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。
已知一对兔子每个月可以生一对小兔子,而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。
假如一年内没有发生死亡现象,那么,一对兔子一年内能繁殖成多少对?
现在我们先来找出兔子的繁殖规律,在第一个月,有一对成年兔子,第二个月它们生下一对小兔,因此有二对兔子,一对成年,一对未成年;到第三个月,第一对兔子生下一对小兔,第二对已成年,因此有三对兔子,二对成年,一对未成年。
月月如此。
第1个月到第6个月兔子的对数是:
1,2,3,5,8,13。
我们不难发现,上面这组数有这样一个规律:
即从第3个数起,每一个数都是前面两个数的和。
若继续按这规律写下去,一直写到第12个数,就得:
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233。
显然,第12个数就是一年内兔子的总对数。
所以一年内1对兔子能繁殖成233对。
在解决这个有趣的代数问题过程中,斐波那契得到了一个数列。
人们为纪念他这一发现,在这个数列前面增加一项“1”后得到数列:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……叫做“斐波那契数列”,这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。
【例9】(★★)数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题:
如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝,然后休息一年。
再在下一年又长出一条新枝,并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。
那么,第1年它只有主干,第2年有两枝,问15年后这棵树有多少分枝(假设没有任何死亡)?
【解】1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584
绝对是一棵大树。
【例10】(★★)有一堆火柴共10根,如果规定每次取1~3根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?
【解】此题要注重思路,因为没办法直接考虑,这样我们发现这题同样用找规律的方法,我们可以先看只有1根的情况开始:
1根,有:
1种;
2根,有1、1,2,共两种;
3根,可以有:
1、1、1,1、2,2、1,3,共4种;
4根,有:
1、1、1、1,1、1、2,1、2、1,2、1、1,2、2,1、3,3、1,共7=4+2+1种;
5根,有:
1、1、1、1、1,1、1、1、2,1、1、2、1,1、2、1、1,2、1、1、1,1、2、2,2、1、2,2、2、1,1、1、3,1、3、1,3、1、1,2、3,3、2,共13=7+4+2种;
6根,得到24=13+7+4种;
即:
n根,所有的取法种数是它的前三种取法的和。
由此得到,10根为274种。
[拓展]爬楼梯问题。
【例11】(★★★)对一个自然数作如下操作:
如果是偶数则除以2,如果是奇数则加,如此进行直到得数为1操作停止。
问经过9次操作变为1的数有多少个?
【来源】仁华考题
【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法,其次我们还得利用找规律来归纳出计算方法。
在复杂的或者步子比较多的计数中,找规律是一种非常常用的方法。
归纳总结上述规律,从第三项起,每一项都是前两项之和。
5有趣的猫捉耗子规律
注:
有一个很出名的游戏,猫捉耗子的游戏,一只猫让一群老鼠围成一圈报数,每次报单数的吃掉,有一只老鼠总不被吃掉,问这个老鼠站在哪个位置?
因此我们称之为猫捉耗子的问题。
【例12】、(★★★)50只耗子排成一排,1到50报号,奇数号的出列,剩下的偶数号再报号,再奇数列出列…一直这样,问最后一只剩下的是原来的几号?