八年级春季班18特殊三角形的存在性教案教学设计导学案Word下载.docx

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且A（2，0），B（0，4），

∴利用待定系数法，可得：

直线AB的解析式为；

（2）∵A（2，0），B（0，4），

∴即，．

∵△COD和△AOB全等，

∴OD=2或OD=4，

∴D点的坐标为（2，0）或（4，0）或（－2，0）或（－4，0）．

【总结】本题一方面考察一次函数解析式的求法，另一方面考察有关全等的运用，由于没有对应关系，注意要分类讨论．

【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P（x，y）是直线AB上一动点（点P不与点A重合），点C的坐标为（6，0），O是坐标原点，设△PCO的面积为S．

（1）求S与x之间的函数关系式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PCO的面积为15；

（3）过点P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于点E，点F， 

是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA?

若存在，求出点P 

的坐标；

若不存在，请说明理由．

【难度】★★★

（1）∵直线与x轴交于点A，

∴．

∵点P（x，y）是直线上一动点，

∴．

当时，，

当时，；

（2）令，

当时，，解得：

，此时，P（3，5），

，此时，P（13，－5）；

（3）∵△EOF≌△BOA，∴，，

当E（8，0），F（0，－8）时，则直线EF的解析式为，

令，解得：

，∴；

当E（－8，0），F（0，8）时，则直线EF的解析式为，

，∴．

综上，当△EOF≌△BOA时，点P 

的坐标为或．

【总结】考察动点与面积的结合及全等三角形的性质的综合应用，注意进行分类讨论．

等腰三角形的分类讨论是压轴题中一个热门考点，本类题目均和图形运动有关，需要

学生有较强的逻辑思维能力，能够根据运动的性质，把最终的图形画出，利用分类讨论的思想，结合题目中的已知条件建立等量关系．

【例3】直线与轴、轴分别交于点A、B，点A坐标为（，0），

将轴所在的直线沿直线翻折交轴于点，点F是直线AB上一动点．

（1）求直线的解析式；

（2）若，求的长；

（3）若是等腰三角形，直接写出点的坐标．

（1）∵点A坐标为（，0），，

∴B（0，），

∴直线的解析式为：

；

（2）延长CF交轴与点D

∵轴所在的直线沿直线翻折交轴于点，

∴，∴．

∵A（，0），∴，．

∵，，，

∴△CAF≌△DAF，∴CD=AC=6．

∵，

∴△CAD为等边三角形，∴CF=DF．

∴；

（3）∵点，

∴设．

当AO=OF时，，解得：

或，

此时或（舍去）；

当AO=AF时，，解得：

此时或；

当FO=AF时，，解得：

，

此时．

综上所述：

点的坐标为：

或或或．

【总结】考察一次函数解析式的求法和等腰三角形的分类讨论，注意利用两点距离公式将等腰三角形的问题转化为解方程进行求解．

【例4】如图，平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，

过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．

（1）求直线AM的解析式．

（2）P为直线AM上的一个动点，是否存在这样的点P，使得以P、B、M为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；

（1）∵函数y=2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，

∴B（0，12），A（－6，0），

∵点M为线段OB的中点，

∴M（0，6），

∴直线AM的解析式为；

（2）∵P为直线AM上的一个动点，

∴P（，），

当时，，解得：

此时P（，），或P（，）；

此时P（0，6）（舍去）或P（6，12）；

此时P（3，9）；

P（，）或P（，）或P（6，12）或P（3，9）．

【例5】如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为边

在第一象限内作等边△ABC．

（1）求点C的坐标；

（2）将△ABC沿着直线AB翻折，点C落在点D处，求直线AD的解析式；

（3）在x轴上是否存在E，使△ADE为等腰三角形?

若存在，请直接写出点E的坐标；

（1）∵函数的图像与x轴、y轴分别

交于A、B两点，∴，，

∴∴．

∵等边△ABC，∴，．

∵，∴，∴；

（2）∵，，∴D在y轴上，

∵，∴，

∴直线AD的解析式为：

（3）设E（，0），则，，．

此时E（，0），或E（，0）；

此时E（，0），或E（，0）（舍去）；

，此时E（，0），

∴综上所述，满足条件的E点坐标为：

（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．

【总结】本题主要考察一次函数解析式的求法和等腰三角形分类讨论，注意对直角三角形性质的运用．

【例6】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：

与轴、轴

的正半轴分别相交于点A、B，过点C（－4，－4）作平行于轴的直线交AB于点D，CD=10．

（2）求证：

△ABC是等腰直角三角形；

（3）将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

（1）∵过点C（－4，－4）作平行于轴的直线

交AB于点D，∴．

∵CD=10，∴，解得：

（2）∵直线：

与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，

∴A（8，0），B（0，4），

∴，，，

∴，，

∴△ABC是等腰直角三角形；

（3），，，．

（通过△A′B′P是等腰直角三角形构造全等三角形．）

【总结】考察等腰三角形的证明及一次函数解析式的确定．

【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B

的坐标为（0，）（＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥轴，垂足为C．记点P关于轴的对称点为（不在轴上），连接P、A、C．设点P的横坐标为．

（1）当时，求直线AB的解析式；

（2）在

（1）的条件下，若点的坐标是（1，），求的值；

（3）若点P在第一象限，是否存在，使△AC为等腰直角三角形?

若存在，请求出所有满足要求的的值；

（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），

∴直线AB的解析式为；

（2）若点P’的坐标是（1，），则点P的坐标是（1，），

（3）若，，

过作轴于点，

∴，

∴，解得：

若，，则

若，则、都在第一象限内，这与条件矛盾，

∴此时△P’AC不能为等腰直角三角形．

或．

【总结】本题解题思路比较简单，主要考察等腰直角三角形的性质和一次函数解析式的求法，解题时注意进行分析．

【例8】如图，矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线

段CP的延长线于点E，交直线AD于点M，且使得∠PBE＝∠CBP．如果AB＝2，

BC＝5，AP＝x，PM＝y．

（1）当AP＝3时，求PM的值；

（2）当点M在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果△EBC是以EB为腰的等腰三角形，求AP的长．

【解析】∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠MPB．

∵∠PBE＝∠CBP，∴∠PBE＝∠MPB，∴．

（1）在直角△ABM中，，

则，解得：

即；

（2）在直角△ABM中，，

（）；

（3）当时，可得：

则可得：

△AMB≌△DPC．

∴，∴，

∵，∴（负值舍去），∴；

当时，

可得：

，，∴．

在直角△ABM中，，

则，∴．

∵，∴，解得：

综上所述，或或．

【总结】本题主要考察等腰三角形的分类和勾股定理的综合应用，注意进行分类讨论以及方法的综合运用．

【例9】如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°

，AE⊥CD，点F是射线BC上一

点，FG⊥AD，垂足为点G，FG交线段AE于点H，AB＝12，CD＝17，AD＝13．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）当点F在线段BC上时，设CF＝x，AH＝y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（3）若△BHF是以BH为腰的等腰三角形，请直接写出AH的长．

（1）在直角△ADE中，，

∴，∴；

（2）过H作HM⊥BC

∵FG⊥AD，∴．

∵，∴．

∵△AED≌△HM，∴，

∵四边形ABMH是矩形，

∴，即（）；

（3）当点F在线段BC上时，

当时，∵，∴，

即，解得：

，；

当时，即，

∵，解得：

，舍去；

当点F在线段BC延长线上时，，

当时，∵，∴

，．

综上所述，或．

【总结】本题综合性较强，主要考察等腰三角形的分类讨论，注意从多个角度考虑．

【例10】如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD

于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°

．

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于点M，过点M作MN//AB交折线ADC于点N，联结PN，设EP＝x，

①当点N在线段AD上时（如图1），△PMN的形状是否发生变化?

若不变，求出△PMN的周长；

若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图2），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形?

若存在，请求出所有满足要求的x的值；

图1图2备用图

（1）过点E作EG⊥BC于点G

∵E是AB的中点，AB＝4，∴，

∵∠B＝60°

，∴，，

∴点E到BC的距离为；

（2）①当点N在线段AD上时（如图1），△PMN的形状不发生变化．

∵EG⊥BC，PM⊥EF，∴四边形EPMG为矩形，∴，．

也可得：

过点P作PH⊥MN于点H

∵MN//AB，∴，∴，

∴

∴△PMN的周长为；

②当点N在线段DC上时（如图2），△PMN的形状发生改变，但△CMN恒为等边三角形．

当PM=PN时，作PR⊥MN于R，则MR=NR

∵△CMN恒为等边三角形，

此时，；

当NM=PN时，，则．

∵，

∴点P与点F重合，△PMC为直角三角形

当NM=PM时，

∵

∴△MNC为等边三角形

此时，．

或或．

【总结】本题主要考察等腰三角形的分类和直角梯形的性质及勾股定理的综合运用，注意对N点的位置进行多重考虑．

【例11】如图1，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段

BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，交PE延长线于点F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图1），求证：

OG=OE；

（2）猜想线段BF与PE有怎样的数量关系，并结合图2证明你的猜想；

（3）联结PG，是否存在等腰△GBP，若存在，请直接写出满足条件的BP的长，若不存在，请说明理由．

【答案】见解析．

（1）∵BF⊥PE，

∵，，

∴，∵，，

∴△BOG≌△COE，∴OG=OE；

（2）过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N

∵PM∥AC，∴．

∵∠BPE＝∠ACB，∴∠BPE＝∠BPM，∴．

∵，，∴△PMF≌△PBF，∴MF=BF．

∵，PM∥AC，∴，

∵，，∴△MBN≌△EPN，∴

∵MF=BF，∴；

（3）∵边长为4的正方形ABCD中，∴．

由

（1）可知：

，∴，

当时，过G作GH⊥BC于H

在直角三角形GHC中，，，

∴，∴，∴；

当时，；

当时，P与C重合，；

综上所述，存在等腰△GBP，此时或或．

【例12】如图1，已知矩形ABCD中，AB＝8，点M在边BC上，且BM＝6，点P在边AD

或DC上，联结AM、AP、MP，设AD＝x．

（1）如图1，当S△ABM∶S四边形ADCM＝3∶7时，求x的值；

（2）如图2，当x＝8时，如果△AMP为等腰三角形，求△AMP的面积；

（3）直接写出使得△AMP为等腰三角形的点P最多有几个?

并指出使得点P个数最多

时x的取值范围．

图1图2备用图

（1）∵S△ABM∶S四边形ADCM＝3∶7时

（2）当x＝8时，四边形ABCD是正方形，且．

当时，此时P点在线段DC上，

∵，，∴△ABM≌△ADP，∴，，

当时，此时P点与A重合，△AMP不存在，舍去．

设，则，∵，∴，

解得：

，则，，

∴；

（3）当时，以A为圆心，AM的长度为半径画圆，与AD或BC的交点即为P．

当时，以M为圆心，AM的长度为半径画圆，与AD或BC的交点即为P．

当时，此时P点在线段AB垂直平分线与AD或BC的交点．

故最多有4个交点，此时．

【总结】考察矩形背景下的面积问题及等腰三角形的存在性，注意进行分类讨论．

【例13】如图1，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在

边AB、BC上，∠EOF＝90°

（1）求证BE＝CF；

（2）如图2，如果OG平分∠EOF，与边BC交于点G，请你猜想BG、CF和GF之间

的数量关系，并证明；

（3）设正方形ABCD的边长是，当点E在AB边上移动时，图2中的△GOF可能是

等腰三角形吗?

如果可能，请求出线段BG的长；

如果不可能，请说明理由．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∵∠EOF＝90°

∴，∴BE＝CF；

（2）

∴，∴GE＝GF；

∵，GE＝GF，BE＝CF，

（3）存在．

当时，∵，

∵，，

∴，∴BG＝CF；

∵正方形ABCD的边长是，∴

∵，∴，∴，

∵正方形ABCD的边长是，∴；

∵，∴，

此时E与B重合，F与C重合，则；

∵，∴，此时G与B重合，则，

【总结】本题主要考察正方形的性质及等腰三角形的分类讨论，注意进行分析．

【例14】已知：

梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB=AD，联结BD（如图1），点P沿

梯形的边，从点A→B→C→D→A移动，设点P移动距离为x，BP=y．

（1）求证：

∠A=2∠CBD；

（2）当点P从点A移动到点C时，y与x的函数关系如图2中的折线MNQ所示，试

求CD长；

（3）在

（2）的情况下，点P从点A→B→C→D→A移动过程中，△BDP是否可能为

等腰三角形?

若能，请求出所有能使△BDP为等腰三角形的x的取值，若不能，请说明

理由．

（1）过A作，垂足为E

∵AB=AD，，∴

∵，，∴，

∵，∴；

（2）由图像可知：

，，

过D作，垂足为F

可得，∴，

∴;

（3）当点P在AB上时，

①当时，由等腰三角形三线合一可得：

，则；

②当时，，∴；

③当时，此时P与A重合，∴；

当点P在BC上时，

时，，

∵，∴，解得：

当P在CD上时，不存在等腰三角形．

当P在DA上时，

①当时，，∴；

②当时，由等腰三角形三线合一可得：

或或或或或或．

【总结】本题综合性较强，一方面考查对几何图形的认识，另一方面考查对函数图像的理解，从而得出相应的线段长，在考求有关等腰三角形的问题时，注意要进行分类讨论．

（1）

直角三角形的特征非常明显，在平面直角坐标系内，直角三角形中一般有两个顶点是确定的，另一个顶点在某个函数图像上，通常用两点间的距离公式表示出第三条边后再讨论三角形的哪个角有可能是直角，根据这个直角的条件结合题目条件进行计算，此类综合题需要用到的知识较多，需要考察学生的思维、分析能力．

【例15】如图，矩形AOBC在直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为

（6，0），直线y=x与AC交于点D．有一动点P从O出发，沿线段OB以每秒2个单位长度的速度运动，当点P运动到点B时，点P停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，为直角三角形?

（2）当t为何值时，为等腰三角形?

（1）∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，0），

∴直线AB的解析式为

令，则，∴

当时，，，

当时，，∴，解得：

（2）当时，有三线合一可得：

，解得：

当时，，∴；

【总结】考察等腰三角形和直角三角形的分类讨论，注意方法的归纳总结．

【例16】如图所示，直线L与轴、轴分别交于A（6，0）、B（0，3）两点，点C（4，0）

为轴上一点，点P在线段AB（包括端点A、B）上运动．

（1）求直线L的解析式

（2）当点P的纵坐标为1时，按角的大小进行分类，请你确定△PAC是哪一类三角形，并说明理由．

（3）是否存在这样的点P，使得△POC为直角三角形?

若存在，求出点P的坐标；

（1）∵直线L与轴、轴分别交于

A（6，0）、B（0，3）两点，

∴直线L的解析式为；

（2）当点P的纵坐标为1时，

∵轴，

∴△PAC是直角三角形；

（3）当时，；

当时，设

∴或，

综上所述，满足条件的点P的坐标为：

【总结】本题主要考察一次函数解析式的确定及直角三角形的分类讨论，注意对方法的归纳总结．

【例17】如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，-3），与x轴交于点B，且与直

线y=平行．

（1）求直线l的函数解析式及点B的坐标；

（2）如直线l上有一点M（a，-6），过点M作x轴的垂线，交直线于点N，在线段MN

上求一点P，使△PAB是直角三角形，请求出点P的坐标．

【答案】详见解析．

（1）∵直线l经过点A（2，-3），

且与直线y=平行，

∴直线l的函数解析式为，；

（2）∵直线l上有一点M（a，-6），∴

可设

∵，∴

或，∴或；

，∴（舍去）

【总结】本题一方面考查两直线平行时，解析式满足的关系，另一方面考查直角三角形的分

类讨论，注意勾股定理的综合运用．

【例18】如图1，△ABC是边长为的等边三角形，已知G是边AB上的一个动点（G点

不与A、B点重合），且GE∥AC，GF∥BC，若AG＝x，S△GEF＝y．

（1）求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；

（2）点G在运动过程中，能否使△GEF成为直角三角形，若能，请求出AG长度；

若不能，请说明理由；

（3）点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形，若能，直接写出

S△GEF的值；

若不能，请说明由．

（1）∵△ABC是边长为的

等边三角形，且GE∥AC，GF∥BC，

∴△AFG是等边三角形，△BEG是等边三角形，

∴（）；

（2）当时，

或；

（3）若四边形GFEB构成平行四边形，

则△CEF是等边三角形，△FEG是等边三角形，

【总结】本题主要考察等边三角形的性质和直角三角形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用．

【例19】如图1，已知O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，联结

EO，OF⊥OE交BA延长线于点F，联结EF．

EO＝FO；

（2）若正方形的边长为2，OE＝2OA，求BE的长；

（3）当OE＝2OA时，将△FOE绕点O逆时针旋转到△F1OE1，使得∠BOE1＝30°

时，试猜想并证明△AOE1是什么三角形．

，

∴，∴OE＝OF；

（2）∵正方形的边长为2，OE＝2OA，

∴，∴，∴．

由

（1）可得：

（3）联结，过A做AM⊥，

∵∠BOE1＝30°

设，则，，，

∴，∴，

∴△AOE1是直角三角形．

【总结】本题主要考察正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，解题时注意从多个角度分析．

【例20】如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）．

（1）求B点坐标；

（2）如图2，若点C为轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，

∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；

（3）如图3